Максимов - Теория вероятностей, контрольные задания с образцами решений (969553), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Найти верскгность события В. 2.3. Вычислить Р(В) при р = 1/2. и Цепь состоит из трех последовательно включенных блоков. Цепь работает, когда все три блока работают совмеспю. Присвоим блокам номера 1, 2, 3 слева направо. Пусть Вь — событие, означающее безотказную работу блока с номером й (к = 1, 2, 3). Тогда В= В!В2В3. Первый блок состоит из одного элемента с номером 1, поэтому В! = А! Взорой блок состоит из двух элементов с номерами 2, 3, включенных параллельно. Поэтому блок работает, когда работает хотв бы один элемент блока, следовательно, В2 = А2+ Аз.
Третий блок солержнт 3 элемента с номерами 4, 5, 6, включенных параллельно, поэтому Ц = А«+ Аз + Аь. Таким образом, 2.1. В= А!(А2+ Аз)(А«+ Аз+ Аь). нснмо, то,:: Ч!"з) взаиьию. (А,))1=:-:::;,:.':,".,-"., ов— ятносги вегою рав- ех тип . Веро для произбрн галы. ). Какого ".М, -„'рг и 3-го тинаблзода'- ..:,,„'(!',г . и~м-:;.",-.,::..,,"' 027= ~„'.",",="..'.,": за 42 2.2. Так как элементы, а следовательно, и блоки работаоз незав можно применить теоремы сложения и умножения всрояпюстей для независимых событий.
Р(В) — — Р(Аг)-Р(Аг+ Аз).Р(А4+ Аз+ Аь) = =Р(,)~Р(А,)+Р(Аз)-Р(А,).Р(А,))[!-(! — Р(А,))(1-Р(А,)ф-Р .= р(2р — р~))1 — (! — р)~) 2.3. Р(В)= — (! — — )~! — --) = -. —.— = — — -0328. Ч 3. Ремонтно-наладочная Ори~ила залила обслуживает станки тр го, 2-го, З-го, которые находятся на заводе в соотношении 1:2:3 обрашения к бригаде за время Т для станков каждого типа соотвстст ны 0.5, 0.3, 0.2. 3.!. Найти среднюю (полную) вероятность того, что за время Т вольно выбран~к>го станка потребуется ремонтно-наладочная рабоз а 3.2. Поступил вызов в ремонтно-наладочную Ори~аду (событие А типа станок всроятнес всею потребовал усилий бригады? и Введем события Лг, означающие, что выбран стагюк А ( А = 1. 2, 3).
Г!о услгжиям залачи имеем вероя пик ги Р( Н! ) = !/(1+ 2+ 3) = !/6; Р(А/ Ц) = О 5; Р(И,) = 2/6= 1/3; Р(А/Нг) = 0.3; Р(Нз) = 3/6= 1/2; Р(А/Нз)= 02. 3.1. Ио формуле полной вероятности получаем Р(А)=Р( М / ). (,)Р(А/ 7,). (Н,)Р(А/Н,)= 1 2 3 ! =- — 05+ .03+ -02= -(05+06+06)----'-=0283. 1.7 3.2. По формуле Байеса находим Р( Ц/А) = Р( Ц /!з(А' Н,)/Р(А) =-(05'6)/(87,'6) =- 5/1 7; Р(Нг/А) = Р(Нг)Р(А,: Нг)/Р(А) = (06'6)/(!.7/6) = 6/! 7 Р(Нз/А) = 1 5/1 7 6/17 =' 6/1 7- Вероятнее всего гкп ребоваяись усилия бригады для станка 2-го ил па.
ч 4. За период в 13! год с 1865 по 1995 г. в Санкт-Петербурге 1О- среднесугочиая температура от минус 10 ло минус 5' (событие А) вась 35 раз, а в пределах от минус 6" до минус 5 (событие В) — 10 р нз этих статистических данных, примем Р(А)=35/131=. Р( В) = 10/13 1 = О 076 = рг.
4.1. Найти вероятность того, что а 5 ближайших лет событие А будет наблюдаться не менее трех раз. 4.2. С помощью приблюкенной формулы Пуассона найти вероятность того, что хотя бы в одном году из предстоящих 50 последовательных лет событие В произойдет. Ь 4 1. Наблюдения за среднесуточной температурой укладываются в схему Бернулли. Здесь число наблюдений и = 5. Пуси. Х вЂ” число случаев появления события А в течение 5 лег. Тогда по формуле Бернулли получаем Р( Х > 3) = Р(Х = 3) + Р( Х = 4) + Р(Х = 5) = .— -(~~Р~~(1-Р~) +СзьР~(1 — Р,)+СзР! —— 10.027з 073~+5 0274.073+027 = = О! 049+ О 01 94+ О 0014 = 01257 = 0 13.
4.2. Рбозначим через С событие, означающее, что хотя бы в одном году из предстояпшх 50 лет событие В произойдет. Рассматриваемое событие С является противоположным событию, означающему, что в предстоящие и = 50 лет событие В не произойдет ни разу. Тогда Р(С) = 1 — Р„о()эз). По приближенной формуле Пуассона Р д(р)м —,е ~ (а = пр) получаем о Р(С) = 1- Рьо,о(Рз)=! где а=50 рз-— 50 0.076=3.8. Р(С)=! — е э м! — 00224=09776. Сравним этот результат с вычислением по точной формуле: Р(С) = 1 — (1 — 0.076) = 0.9808; абсолютная погрешность Л = 0.032; относительная Ь = 0.0032/09808 = 0.0033- 03ч4.
4 5. По статистическим данным хотя бы один пожар, требующий выезда пожарной команды, может возникнуть в трех обслуживаемых районах города с номерамн 1, 2, 3 в течение времени Т соответственно с вероятностями р! — — 0 1, лч = 0.2, рз —— 0.3. Пусть Х вЂ” число районов из числа трех обслуживаемых, в которых эа время Т случижл хотя бы один пожар. Предполагается, что пожары воэникмот независимо. Требуется: 5.1. Составить ряд (таблицу) распределения случайной величины Х, 5.2.
Найти юя. 5.3. Вычислить Р(Х> тл). Ь 5.1. Пусть Аь — событие„означающее возникновение хотя бы одного пожара за время Т в районе с номером я (я = 1, 2,3). Тогда Р(Х = О) = Р(А!Аз Аз ) = О 9. О 8. О 7 = 0504; Р(Х=1)=Р(А1АзАз+А1АтАз+ А1АзАз)= 43 =Р( ~)Р(А~)Р(А )+Р(Л~)Р(Л~)Р(А )+Р(А,)Р(А )Р(А )= = ОЛ -О 8-0 7+ 09. 02- 0 7+ 09.
03-ОЗ = 0056+0226+ 0216 = 0398; Р(Х =З) =Р(,(Аа.(,) = ОЗ-О2.0З = 0006; Р(Х=2)=!-Р(Х=О) — Р(Х=1)-Р(Х=З)=! — 0504 — 0398 — 0006=0092 Пщ а 52. ют = О. 0504+1-0393+ 2-0 092+ 3-0 006 = 0398+ 0334+ 001 3 = 0600. 5 3. Р(Х > ю») = Р(Х > 0 6) = Р(Х = 1)+ Р(Х = 2)+Р(Х = 3) = = 0398+0.092+ 0.006 = 0.496. 4 6. Плотносп аероатноетв еатвавной аелачвин Х талана формулой - "':-", О, л<0 ~~*~ (о'~* с, ао. 62.
С. 62. с(х). 6.3. ю». 6.4. И». 6.5. и». 6.6. Р(Х > ю»). 6.7. Ме, 6.3. Поетроатырафвки 7(х) и Г(х). В 6Л. ~Ях)Ма=1. Онаода С) а = — 3 = — =1; С=З ~ (л+1) З(х+1)~ л 62 Х (х) = ~ Дк)сй. Прв л < 0 !с(л) = ~0 аб =-О. Прв л > 0 ~ ЗО Р()= Ь 8+! о(а+1) З(к+1)т~ (а+1)т О. л<0; ~*~ (и/<*+ц',* о 6.5. ю»= )х~(л)ай=3~ 4 =3) а не= о (л+!) о (х+!) +а 4я~ -р.' 64 и» вЂ” М(Х») — ю»а-, М(Х»)= 1»тлл)Ь=З1 (л 1) 1ыл= а (»+1) !1х — — 1 — Ч4 = 3/4 = 0.75.
6.5. ох = 'фх = ~ГЗ/2 и 0.866. 66. Р(Х>тх)=1 — Р(Х~шх)=! — Г(05)=!/(05+1) =1/(15)зм0296. 6.7. гт(Ме) = 1/2 ~ 1-(Ме+ !) = 1/2.„(Ме+ 1) = 2; Ме+1= Ч!2; Ме = ь'2-1е 026. 6.8. Для удобства восприятия строим графики 7 (х) и Р'(л) друг под другом (рис. 2.1). Рис. 2,1 7. Каким должно быть среднее квадратическое отклонение гг, чтобы толщина Х металлического листа, выпускаемого заводом, отличалась от номинала и = 2мм не более, чем на 5!в номинала с вероятностью, не меньшей 0.99? Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально. Ь По условию Р(~Х вЂ” гя~ < 0.05.21 е 099.
Для нахождения наибольшего допустимого (граничного) значения о, для сг применим 4юрмулу Р~Х-и~<?ыг) = 2Фсй). » — О. р„=03, Положительному ответу присвоен ранг р!т — — 01, ры — — 02, )зтз = 04. Найти коэффициент корреляции рят. й 8.1. Строим таблицы распределения для случайных величин Х, У, используя формулы согласованности. Для зтого складываем вероятности исходной таблицы по строкам и столбцам. Получаем: 8.2.
Находим тх и тг. тх = 0'04+1-06 = 06; ту = 0'05+1'05 = 05. 8.3. Находим пах — — М[Х 1, гьзг — — М[У 1. азх -— Оз.0.4+1 -0.6=0.6; цзг -— Оз.05+1~.05=0.5. 8.4. Находим Пх, Пг, о», аг. П» —— пах — тхз = 0.6-036 = 024; пх — —,/Ьх = 4024 м0.4899 8.5. Находим М[ХУ). М[ХУ]=0-0.03+0 1 01+1-0 02+1 1 04=04. 8.6. Находим Кху. Кхг = М[ХУ1 — тхтг = О 4- О 6.
05 = О 4- О 3 = 01, 8.7. Находим рят, рхг = Кхг/(пхст» ) м О.1/[0.4899 05) 0.408. События А, В обнвруживаот значительнуюпавожительную связь. 4 Юг — — азг — ту = 0.5 — 025 = 025; пг =./Пг — — А25 = 0.5. 46 где Фс[х) — нормированная функция Лапласа. Положим !'а„= 0.1; 2Фс(Х) = 099. Отсюда Фа[в) = 0 495. По таблице находим Х.= 2576. Тогда а„= ОЛ/2, = О.!/2.576 и 0.039. Таким образом, о < 0.039мм. 4 8. Х, У вЂ” индикаторы событий А, В, означаюпщх положительные ответы соответственно на вопросы ц, ~3 социологической анкеты.
По данным социологического опроса двумерная случайная величина [Х, У) имеет следующую табющу !жспределения. 9. Двумерная случайная величина (Х,г') распределена равномерно в области г2. Л вЂ” четверть круга (рис. 2.2): х +у <1, х > О, у~ О.
,=,[1-" 9.1. Составить плотносп вероятность Уху(х»у). .О 9,2. Найти гх(х). гг(у). Вычислить: О 1 9.З. глх, лг.'9.4 пх сгг'9.5. рху Рмс. 2.2 9.6. Выяснять, зависимы илн нет Х, 1'. ь 9.1. гят(х,у)=с( * ' ' так как )ят(х,у)=1гкр при (4/к, (х,у) нВ; 1( О, (х у)аВ, (,у)но,гле ~гг=к/4 — ло ~аль )). +с о тг-яз +:ь 92. 1х(х)= ) )ху(х,у)фг= ) Осф+ ) — сф+ ) Осф= — тй — х при -м ' а о 6, хи[О,Ц; ~х(х)=0 при хи[О,Ц. Аналогично: Яу)= —,~! — у при у и[О,Ц, )г(у)= О прн у К[О, Ц. 4 Г г 9 3. гих — — ~хая(х)с1г= ~х — 91-хг дх = — — [ъ/1-х Н(1 — х )= -со о о 2 2 г,згг! 4 4 =- — — (1-х у ~--.—.Аналогично: гл Зк ' 9.4.Находим 0х '0г,ггх,аг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
