Максимов - Теория вероятностей, контрольные задания с образцами решений (969553), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Чему равно МХу е Двумерная сяучайгган велнюпю 15. Если случайные величины Х, У независимы, то чему равен нх козффн ююнгкг реляпвит 16. Случайные велвчины Х, К независимы в распределены одинакоао— нормально с параметрами иг,а. Напипнпс плотность вероятности двумерной (Х.У). 58 17. Корреляциоиияя матрица двумерной случайной величины (Х,У) равна (4Л К =~ ~. Чему равгя каэьуфициеит юрреляции Рхгу ч и-мерцая случа, иа. величипа.
Прцавльмые теоремы 13. Случайные величины Хп Хз, ..., Մ— взаимно независимы и имеют фуиюпш распрелелеиия гх(х,), гх (хт), ..., гх (яь). Напишите фуишвца распределения и -мерной случайиой величины ( Хп Хз,..., Х„) . 19. Сформулируйте теорему Бернулли о приближении относительной частоты к вераятиости собьппя. ч Вопрос с доказательством 20. Напишите и докажите формулу для верояпнзств произведеиия и любых событий. Коитрольиый тест 4 по теории веровтиостей ч Алгебра событий 1. Чта означает, что сабле А влечет за собой событие В7 2.
Выразите выражеиие А+ В через произведение событий по формуле Де Моргана ч Алгебра верояти мт й 3. Что озиачн ., что события А и В независимы7 4. Напишите формулу леллой вероятиости и объясните смысл входпцих в иее событий. 5. Два орудия независимо стреляют па одной цели. Вероятность попадания в цель для каждого орудия равна 0.7. Найти вероятность хагя бы одиого попадания в цел если кажтое орудие сделало по одному выстрелу. 6.Дава .го Р(АВ)=05; Р(АВ)=03. Найдите уславиую вероятность Р(ВУА).
° Одномерная лискрстпая случаю" иач велвчииа 7, Чта такое мода дискрстиой случайиой величилы7 8. Составьте ряд распределеиия (таблицу распределения) для бииомиальиого закона с вероятностью успеха р = 05 при числе испытаний и = 3. Сколько здесь мод7 Укажите их. 9. Испытания производятся иезависима до появления первого успеха (геометрическая схема испьпвиий). Вераатиость успеха р = 0.7. Нейдите вераятиосгь тога, что испытаний будет более двух. 1О.
Случайиая величина Х распределена па закону Пуассона с параметром а = 4. Укажите среди ее квадратическое отклонение и х . 11. Что таюе медиана непрерывной случайной величииы7 Как ее иайти? 12. Напишите функцию распределения для равномерного закона распределения на отрезке [и, а) . 13. Случайная величина Х распределена по показательному закону с параметром 2. = 2. Найдите вероятносп Р(Х > Ц.
14. ух(х) = ~х~ при х и[-1, Ц, ух(х) = О при х Ф[ — 1, Ц. Найдите Пт. ° Двумерная случайная величина 15. Как найти плотность вероятности уху(х,у) двумерной непрерывной случайной величины, зная ее функцию распределения? 1б. Чему равен коэффициент корреляции рхт двумерной случайной величины (Х,1'), если 1'м1-2Х? 17. Случайные величины Х, 1' независимы, и каждая распределена равномерно на отрезке [О, Ц. Составьте плотность вероятности /хт(х, у) двумерной случайной величины (Х, У). Будет ли случайная величина (Х, Г) распределена равномерно в квадрате Р = [х 10 < х < 1, О й у < 11? ° и-мернмг случайная величина. Пределъные теоремы. 18.
Что такое функция распределения Ех х х (хпхз, ..., х„) и-мерной случайной величины (Хп Хз, ... „Х„)? 19. Сформулируйте закон болыпих чисел (теорема Чебышева) для случая, когда рассматриваемые случайные величины Хп..., Х„попарно независимы, одинаково распределены и имеют конечные математическое ожидание т и дисперсию .О. ° Вопрос с доказательством 20. Докажите теорему Пуассона о сходнмости биномиалъного распределения к распределению Пуассона при и -+ о ( и — число возможных значений биномиалъной случайной величины).
ЧАСТЬ 4 КОНПЕКГ-СПРАВОЧНИК (опорные сведении пв теории вероятностей) Глава 1 АЛГЕБРА СОБЫТИЙ Рассматривается эксперимент Е (опыт, испытание, наблюдение). Предполагается, что его можно проводип неоднократно. В резулътате экснеримеюпа могут появляться различные события, составляющие некоторое множество Е.
и 1. Классификации собьпнй Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате проведения эксперимента Е. Достоверное событие обозначается буквой У или Х2. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет в результате провеления эксперимента Е. Оно обозначается символом пустого множества И. Случайным назмваегся событие, которое может произойти или не произойти в результате проведения эксперимента Е. Случайные собьпня обозначатотся первыми буквами латинского алфавита: А, В, С, ....
Дополнительным, или противоположным событию А, называется событие, обозначаемое А, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А . Элементарным событием ш называется непосредственный исход эксперимента Е. Множеспю всех элементарных событий называется пространством элементарных событий иобозначается ьг. События наглядно иллюстрируются с помощью диа- — Х граммы Венна (англ. математик, 1832-1923) (рис. 1.1).
Дос- А товерное событие изображается юыдратом; случайное событие А — областью внутри квадрата; цопспнительное событие А — областью внутри квадрата вне области, изображающей событие А (рис. 1.1). Для того, чтобы диаграммы Венна ие казались слишком рвс- 1.1 абстрактными, можно представить себе эксперимент Е как стрельбу по мишени, являющейся квадратом, с условием, что выпущенный снаряд обязательно попадет в мишень. Тогда А есть событие, означающее попада.- ние в заданную область.
Вместо снаряда молшо говорить о случайной точке, бросаемой в квадрат. й 2. Действии тщ собьггнямн ! Суммой (или обаединением) событий назыеопися событие. колюрое происходит июгда и интеко линда, когда происходит лота бы одно из данных собыиянь Обозначеняя суммы событий: алгебраические: А+В. А+В+С,,) Аг,. теоретико-множественные: А() В, А() В() С.
( ) Аь, логичесхие: А нли В, А или В или С. 61 На диырамме Венна сумма событий А и В нзображаегся областью, которая накрывастся областями, изображагощимн события А и В (рис. 1.2). ! Произведением (объединением, пересечением) событий называется событие, нроислодянгее нюгда и нюлько тогда, когда все данные собития происгодят вместе (одновременно). Обозначения произведения событий: алгебраические: АВ, АВС, П Аь, теоретико-множественные: АПВ, АПВПС. ПАа.' лопгческие: А и В, А н В и С. На диаграмме Ванна произведение событий АВ изображается общей частью областей, изображающих события А н В (рис.
1.3). Рис. 1.2 Рнс. 1.3 Рис. 1.4 Свойства операций сложения, умножения, дополнения. А+А=А; А+г=з; А+И=А; АА=А; АЗ=И; (1.1) А+ В = В+ А -переместнтельный закон сложения; (1.2) (А+ В)+ С = А+(В+ С) — сочетательный закон сложения„(13) АВ = ВА — переместнтельный закон умножения; (1.4) (АВ)С= А(ВС) — сочетательный закон умножения; (1.5) (А+ В)С= АС+ ВС вЂ” распределительный закон; (1.б) А=А; (1.7) А+ В = АВ; АВ =- А +  — правила Де Моргана. (1.8) ! Собьаиия называются несовместными, если их произведение есть невозможное событие: А1Аз...А„= к5. Если события попарно несовместны, то они несовместны и в совокуглюсти. ! Полной группой событий называется множество собыишй, сумма которых есть достоверное событие: А~ + Аз +...
+ А„= 1. 8 частности, А+А=1. (1.9) ! Событие В называется частным случаем события А, если с появлением события В ноявяленюя и событие А. Говорят также: событие В влечет за собой событие А, чаю записывается ввиде В щ А. 62 На диаграмме Венна событие В, влекущее за собой собьпие А, изобрюкается подобластью области, юабражающей А (рис 1А). Элементарное собьпие аэ обладает харакгеристическим свойством, которое может служвць определением элементарного события: каким бы ни было событие А „порожденное экспериментом Е, всегда либо го с А, либо ю с А .
События А и В называются эявивалентнымн, если они происходят или не лроисходят совместно нрн проведении эксперимента Е. Зались эквивалентности событий: А = В. Справедлива формула А=В сэ Асв и ВсА. Глава 2 КОМБИНАТОРИКА Комбинаторикой называется раздел математики, посвященный решению задач выбора элементов из заданного множества и расположения их в круппы по заданным правилам. Полученные группы элементов называются соединениями.
Онн могут отличаться друг от друга как составом элементов и нх общим числом, так и порядкам следования элемегпов. й 1. Комбниаториый принцип умноженмя Пусть требуется выполнить последовательно в операций, при этом первую операцию можно выполнить л1 способами, вторую — лэ способами, и т. д., л -ю — ль способами. Тогда все к операций могут быть выполнены числом способов, равным произведению (2.1) лглэ...
ль. й 2. Размещении ! Определение 2.1. Размещениями из л элементов ло в элементов называются соединения, каждое из которых состоит из к хваленним, взятых из данных л элененлнгн Ори этом размещения отличаются гйгуг от друга как санами элементами ншк и их лорадкввь Числа размещений из л элементов по А' элементов вычисляется по формуле А„=л(л — 1)(л — 2)...~л — (й — 1)] (1<й<л). (22) Замечание 2.1. Имея в виду приложения теории вероятностей к математической статистике, полезно освсппь статистический аспект некоторых соцдине- 63 Будем называть исходное множество из и элементов генеральной совокупностью объема и, а соединение, нз него еюстроенное, — выборкой объема й. Прн этом выбранные по одному из генералыюй совокупности элементы могут не возвращаться обратно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
