Главная » Просмотр файлов » Максимов - Теория вероятностей, контрольные задания с образцами решений

Максимов - Теория вероятностей, контрольные задания с образцами решений (969553), страница 16

Файл №969553 Максимов - Теория вероятностей, контрольные задания с образцами решений (Все учебники) 16 страницаМаксимов - Теория вероятностей, контрольные задания с образцами решений (969553) страница 162015-05-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

з. М[ ° М[ 2Х, з=! пх,] =~м[х,). е — -! М = ПМ[Хь) для взаимно независимых случайных величин. ь=! Определение 5.8. Дисперсией случайной оеличины Х иазмваенкя маагемаигическое ожидание квадраига ее отклонения оги маигеиаигического ожидания! Ох — — М[(Х- !нт)з]. (5.11) ох= Г~х (5.12) называется средним квадратическим отклонением случайной величины. Она имеет размерность такую же, как Х, поэтому во многих вопросах удобнее, чем Вх. 2)х и пк — зто числовые характеристики рассеяния случайной величины Х. Формулы для вычисления дисперсии: ОХ=М[Х 1 — вт~л., 0 Х = 2 (хе — мз)~ ра в дискреп!ом случае, ОХ= )(х — тх) у(х)с(х в непрерывном случае. (5.15) Свойства дисперсии: 1.

ОС=О (С=сопя!). 2. 0[СХ1= С~О[Х1. (5.13) (5.14) 75 Величина Х=Х вЂ” нгх называется отклонением Х от ее математического ожидания. Другие обозначения дисперсии: 0 Х, 0[Х). Дисперсия нмеег размерность квадрата размерности самой случайной вели- ЧИНЫ. Величина л ~ ь 3. 0~~ Хь ~ = ~1З[Хь) для попарно независимых случайных величин. НЫ а=1 Математическое ожидание функции «р(Х) случайной величины Х вычисляется по формулам: М[«р(Х)1= „) «р(хь)рь в дискретном случае; (5.16) М[«р(Х)1 = ) «р(х) Дх)«бс в непрермвном случае.

(5.13] В частности М[Х )=~ харь вдискретном случае„(5.19) ь М[Х~]= [х~у(х)Ах внепрерывном случае. (5.20) Определение 5.9. Квантилью порядка р непрерывной случайной величины Х назыаается ее значение яр, являющееся корнем уравнения Е(х)= р, (521) Кваитиль порядка р = 1/2 называется медианой, порядка р = 11'4 — и и жней квартилью,порядка р=З/4 — верхней квартнлью. Медиана распределения Ме обладает свойством Р(Х<Ме)=Р(Х> Ме).

(5.22) Медиана случайной величины Х обозначается также символом МеХ. Определение 5ЛО. о1одой дискретной случайной величины называется значение, ириюаиаемое с наиболь«ией вероятностью ло сраимнию с двусоседними значениям«ь Модой иелрерывной случайной величины тоывается иючла максимума плотности вероятности (рис лЗ/. Обозначения модьс Мо, МоХ. й 5. Каноничесане дискретные распределения 1. Индикатор собьпия А есть случайная величина х(А), равная 1, если событие А произошло, и равная О, если ие произошло. При этом Р(А) = р. Тогда получаем таблицу распределения: ЦА) О 1 р 9 р ° 9=1 ЩГ(А)[=О.Ч+1 р= р.

7б При этом МХ=ОХ=а, (5.26) 4. Геометрическое распределение определяется формулой: Р(Х=Ц=рд'-з; й=0„1,2,..., (5.27) Случайная величина Х есть число испытаний в так называемой «геометрической схеме испытаний»: независимые испытания проводятся до первого появления события А. При этом событие А в каждом испытании может появиться с вероятностью р и не появиться с вероятностью 9 = 1 — р. Вероятвостк (5.27) являются членамн геомезрической прогрессии, от чего н происходит название распределения. Имеют место формулы МХ= —; ОХ=.~-. 1 й б. Канонические одномерньзе непрерывные распределении 1, Нормальное распределение (закон Гаусса) определяется плотноспю ве- роятности у'(х) = ехр —— 1 ~ (х- )'1 а,/2н и( 2пз (5.29) Краткое обозначение нормального закона: зт'(лз,п). Для него справедливы формулм: з злх=лг, 2).к=а (5.30) зч(х) = Ф~ — ) = 0.5+ Фо( ) .

(5.31) Здесь Ф(х) = зз е зи — функпня Лапласа, 1 г зз/з 72~~ (5,32) 2. Биномнальное распределение определяется формулой: Р(Хм7г)=С»р д«; 7гм0,1,...,зг, з)=1 — р„0<р<1 (523) Случайная величина Х есп* число появлений события А прн и независимых испытаниях по схеме Бернулли. Справелливы формулы: МХ=пр„ОХ= зд»7. (5.24) 3. Распределение Пуассона определяется формулой: ь Р(Х=я)= — е ~; к=0,1,2,...; а>0.

я1 (5.25) Фе(х) = з,— ) е ' сй — иормиролаипля функция Лапласа (5.33) 1 -гз0 ~2и Длл этих функций справедлявы формулм Ф(х) = 05+ Фе(х); (5.34) Фс(0)=0 Фе( — х)=-ФЕ(хл Ф( — х)=1-Ф(х) Фс(+со)=05; Ф(+ о)=1.(5.35) График Фо(х) прелстзвлен на рве. 5.4, а ее производной 9(х) = Ф (х) = — е ' (функция Гаусса) — па рис. 5 5, 1 -»Нз ,/г Рис„5.4 Рве. 5.5 Таблица значений нормированной функции Лапласа Фе(х). помещена в конце книги. Спранедливы формулы для нормал»лого распределепия: 1»0Х вЂ” 4 < 3) = 2Фс(Х); (5Зб) РЧХ- зл~ <и) = 2Фо(1)м06827.. (5.37) Р ~ Х вЂ” а~ < 2а) = 2Фо(2) = 0.9545.„ (5.38) РЦХ вЂ” зл~ < Згг) = 2Фс(3) = 0.9973. (5.39) Формула (5.39) определяет так называемое «правило трех сигм»: практически доспеерио, что все зпачепия пормал»иой случлйпой велячивы содермится в иатервзле (вз — Зо, зл+ Зп).

Ряс. 5.7 Р«с. 5.4 Типовой график плотности нормальной случайной величины представлен на рис, 5.6. График функции распределения нормальной случайной величины представлен иа рис. 5.7. 2. Показательное (экспоиенциальиое) распределение определяется плотностью вероятности ( О, х<0 Г(х)= ~ 'ьг * (Х>0). Справедливы формулы юх = ох = Ю" О, х<0; Р'(х) = (5.40) (5.4! ) (5.42) Графики плотности вероятности и функции распределения показательного закона представлены соответственна на рис. 5.е и рис.

5.9. Рсва Рнс. 5.9 — при х а[а„Ь); 1 0 при х и(а,Ь). (5.43) Для него справедливы формулы Ъ-а (Ь-а) г глх = '* г)х = 2 * 12 (5.44) 0 при хйа, г(х)= — ~ при айх<Ь, Ъ вЂ” а (5.45) 1 при х<Ь. Графики функций г (х) и Ь (х) для равномерного распределения представ- лены соответственно иа рис. 5.10 и рис. 5.

11. 3. Равномерное распределеиие иа отрезке (а, Ь) определяется плотвостью вероятности Рнс. 5.10 Рнс. 5.11 Глава б ДВУМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА в 1. Двумерною случайиаю величина, ее функцию распределению Определение 6.1.Двумерной случайной величиной называется порядочентт пара (Х, У) двух одномерных случайныг величин Х и У. При зтом предполагаются определенными вероятности произведения событий Хсх и Усу ллялюбыхвещестъенных х,у. Одномерные случайные величины Х, У называются компонентами двумерной случайной величины (Х,У).

Двумерную случайную величину называют также случайным двумерным вектором, случайной двумерной точкой, системой двух случайных величин. Определение 6.2. Функцией распределения гху(х,у) двумерной случайной величины (Х, У) называеяюя всрояптость ироиэведения событий Х с х н 1" с у, определенная для любых ветеспгвенньгх х, у: Гхт(х,у) = Р(Х сх, Усу). (6.1) Функция Гху(х, у) для краткости называется двумерной функцией распределения. Свойства двумерной функции распределенинз 1„уху( — со у)=0' Е~у(х,— оз)=0 2. гхт(+ о,+ э)=1. 3.

Рху(х, + о) = Гх(х); уху(+ос,у)= оу(у), (63) 4. сху(х,у) не убывает ио каждому нз своих аргументов при фиксированном другом аргументе. Формулы (6.3) называются формулами согласованности (обгцего вида). Онн означают, что нз функции распределения двумерной случайной величины монно получить функции распределения ее одномерных компонент, й 2. Дискрегнаи двумерная случайнаи величина ! Определение б 3. Двумерная случайная величина иаэываен!сл дискретной, если мнонгество ее значений (х, у) — конечное нли счетное Закон распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины (Х, У) можно задать формулой Р(Х=х„'г'=уз)=р!ь (г=1,...,т. я=1...,,н) При этом выполняется условие: н я :))'.ХР! =1- (6.5) г=! ь=! Формулу (6.4) в случае конечности чисел т н и можно оформить в виде таблицы распределения: Формулы согласованности для дискретной случайной величины имеют вид я Ю Р- = ~'„Рд.

Р<ь =,)'„Рн ь=! г=! где Р„=Р(Х=х,), !=1,...,т, р =Р(у=уз), й=1,...,н — одномерные тконы распределения компонент случайной величины. Функция распределения дискретной двумерной случайной величины записывается в внле Рхг(х, У) = ~, ~г,<Р!ь . (6.7) Н<гуь<у Здесь суммирование распространяется на те значения ! и я, для которых выполнаотся неравенства х! с х, уь < у. й 3.

Непрерывная двумернаа случайнаи величина Определение бА. Двумерная случайная величина (Х, У) называется иеирермвной, если существует такая неотрицательная бЬиядия уят(Х,У), наэынгенал двумерной плотность!о вероятности, что вероятность попадания случайной величины (Х,У) в область В равна двойному интегралу от плотности ио области Р! ! Р((Х, У) е хз) = Д /ху(х, 1') ззхф'. (6.8) зз Из формулы (6В) следует выражение длк функции распределеивя двумерной непрерывной случайной величины: з У Рхт(х,у) = Р(-со < Х < х, — со < У < у) = ~ ~ Уху(х,у)злу. (6.9) Свойства двумерной плотности вероатноспп 1.

Определена на всей плоскости хОу, дзот(х, у) 2. ' = Лт(х,у) в каждой точке непрерывности плотности. +Ю з О 3. ) Ухт(х,у)с(у=,Ух(х); ),Уху(х,у)с(т= Яу). (6.10) Формулы (6.10) носят название «формулы согласованности длк плотностейж 4. ) ~Дхт(х,у)йто) =1. й 4. Зависимость и независимосзь двух случайных величин Определение 6.5. Случайные величины Х, У назыеааиися независимыми, если независимыми латаются собыиизя Х<х и У<у для любых ееи1есюеенных х, у. В нротнвном случае случайные величины Х, У назыеяюиюя имиснмыми. Общее необходимое и достаточное условие независимости лвух саучайных величин: Гхт(х, у) = Рх(х)РУ(у), (6.12) где х, у — любые вещественные числа.

Необходимое и достаточное условие независимости двух непрерывных случайных величин: ухт(х,у)и /~(х)Дт(у), (6.13) где х, у — любые вещественные числа. Необхаюзмое и достаточное условие независимости двук дискретных случайных величии: Ри = Рз ° ' Рьх. (6.14) где з'= 1,..., лзз й = 1,..., л. 82 8 5. Коррелиционный момент н коэффициент корреляции Корреляниоюпяй момент н козффицие|п корреляции являются числовыми характеристиками связи мемду случайными велвчинами.

Определениебб. Корреляционным моментом Кхт, иначе — коваиацией двух случайных величин Х, У называется матемапшческое ожидание произведения отклонений эпи|х случанных величин от их математических ожндамий: (6.17) 83 Кху = М|1(Х- тх)(У вЂ” тт)~. (6.15) Формулы для вычисления Кят. -| а+ч Кзт = ~ ~(х тх)(у ту)Лт(» у)с(х4' (6.16) — лдя непрерывных случайных величин, п л К =~~(х! — х)(у,— ту)ра |=! з=! — для дискретных случайных величии. Определение67. Коэффициентом корреляции рп двухслучайных величин Х, У называется опиюшение их корреляционного момента к произяеоению средник квадратических откчонении| Р Кху (6.18) пхпт Определение 6.8.

Если Кхт = О, то случанные величины Х, У называются некоррелироеанн ими. Свойства коррелициоиного момента и коэффициента коррел|щии! 1. Кхт — М(ХУ] тяп|у . (6.19) 2. -16рхт 61. 3. Если случайные величины независимы, то они и некоррелнрованы. Обратное неверно: существуют зависимые некоррелнрованные случайные велнчн- 4. Для случайных величин Х, У = аХ+ Ь, связанных линейной зависимосп,ю, рху —— 1 ирна>0 ирхт — — — 1 при н<0.

5. Если (Рхт~ =1, то случайные величины Х, У связаны линейной зависимостью с вероятносп ю 1. Замечание 6.1. Величина М!ХУ], входящая в формулу (6.19), вычисляется по формуле М(ХУ) = ) ~хуУхт(х,у)<6пр в непрерывном случае, (6.20) и и М[ХУ1=~~ ) х,узри вдискретномслучае., (6.21) >=1 4=1 Для двумерной случайной величины (Х„У) наиболее употребительными числовыми характеристиками лвлаотся: 1. злх, тт — математические ожидания компонент — нх средние значения. 2. ох, пг — средние квадратические отклонения компонент — характеристики рассеяния компонент 3.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,03 Mb
Материал
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее