XVI_Terver (969543), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Поэтому Р(Х1 = О, Хз = О) = д~, и на пересечении столбца „О" со строкой „Ое нужно записать дз (табл. 5.2). Далее, Х1 = 1 и Хз — — О, если в первом испытании произошел успех, а во втором — неудача, и, значит, Таблица 5.2 Р(Х, =1,Х,=О)=рд. Аналогично заполняем второй столбец: Р(Х1 =О,Хе=1) = др, Р(Х,=1,Х,=Ц = р'. Наконец, на пересечении столбца „Рг," и строки еОе должно стоять Р(Х1 =О) = д'+рд=д(д+р) =д, а на пересечении столбца „Рх, е и строки „1"— Р(Х = 1) =рд+р'=р(р+д) =р. 174 5.
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Проверим правильность составления таблицы. Сумма элементов последнего столбца р+ о = 1, последней строки р+ о = 1. Так и должно быть. Построим теперь совместную функцию распределения случайныя величин Х1 и Хз.' Р(х1, хз) = Р(Х1 < хм Хз < хг) Поскольку при х1 < 0 или хз ( 0 нет ни одного элементарного исхода ы, для которого или Хз(и) < хз, то для таких х1 и хз событие (Х1 < хмХз < хз) невозможное, и, значит Р(х1>хз) = 0 при х1 < О или хз < О.
Далее, если 0<х1 <1 и 0<хз<1, то событие (Х~ <хмХг <хз) эквивалентно событию (Х1 = О, Хз = О), которое, как видно из табл. 5.2, происходит с вероятностью дз, и Р(х1,хг) = д~ Если же О < х1 < 1, а хз > 1, то событие 1Х1 < х1, Хз < хз) совпадает с объединением непересекающихся собмтиб (Х1=0,Хз=О) и (Х1 =О,Хз=1). Тогда Р(х1,хз) = уз + др = д. Аналогично Р(х1, хз) = д + др = д.
при х1 > 1 и 0 < хз ( 1. Наконец, если х| > 1 и хз >1, то событие (Х1 <хм Хз <хз) достоверно,и, следовательно, Р(хмхз) = 1. Совместная функция распределения Р(хмхз) задает поверхность в трехмерном пространстве, и ее не очень удобно изо- е.л. Дискретные двумерные случайные величины 175 бражать графически. Тем не менее такая попытка предпринята на рис. 5.3. Рис.
5.3 Пример 5.5. Игральная кость размечена таким образом, что сумма очков на противоположных гранях равна 7 (т.е. 1 — 6, 2 — 5, 3 — 4). Случайнзл величина Х— число очков, вьшавших на верхней грани, случайная величина У вЂ” то же на нижней грани. И случайная величина Х, и случайная величина У могут принимать любые значения от 1 до 6 с одинаковой вероятностью 1/6. Однако если случайная величина Х приняла значение 1(на верхней грани выпало 1 очко), то единственным значением случайной величины У может быть только 6 (на нижней грани обязательно выпадет 6 очков). Значит, строка „1" табл. 5.3 будет состоять нз нулей, за исключением пересечения со столбцом „6": на этом месте должна стоять вероятность 1/6.
Аналогично строка „2" будет иметь единственный отличный от нуля элемент на пересечении со столбцом „5", также равный 1/6 (на верхней грани выпало 2 очка, на нижней — 5), и т.д. Столбец еРх" и строку еРР" находим, суммируя соответствующие строки и столбцы; как и должно было быть, мы получаем в них одинаковые значения 1/6, соответствующие классической схеме. 176 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Таблица б.у Предоставляем возможность интересующемуся читателю самостоятельно построить совместную функцию распределения случайных величин Х и У.
5.3. Непрерывные случайные величины Определение 5.4. Непрерывной двумерной случайной веяннцной (Х, У) называют такую двумерную случайную величину (Х, У), совмеспгную функцию распределения которой Г(х1,хг) = Р(Х < х1,У < хг) можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла: ю х2 г" (хм хг) = р(у1, уг) ау~ ауг. Р(хмхг) = Рх,у(х11хг) 6.3.
Непрерывяые случайяые велвчяяы называют совмеспзной двумерной плотпностттью распределени.я случайных величин Х и У, или плотностью распределения случайного вектора (Х, У). Область интегрирования в двойном интеграле представляет собой квадрант (у1 < хм уз < хз1 с вершиной в точке (х>,.хз).
Как известно [ЧП], двойной интеграл можно представить в виде повторного, причем в любом порядке, следовательно, я> зт зт я> р(хт>хз) = Иу1 Р(ут >уз) ау2 = ауз Р(у1 > уз) у1 дел(х1,хг) дзР(хт,хз) дх1дхз дхздх> (5.1) Заметим, что аналогичный смысл имеет совместпная и-мерная плотпностпь распределения случайных величин Х1 " Хт» или плотпностпь распреде аения случайноао вентпора (Х1, ..., Х„): д»г'(х1,..., х„) р(хт,...,х„) = х1 ° ° ° ха Нетрудно доказать следующие свойства двумерной плотно- сти распределения. Так же как и в одномерном случае, будем предполагать, что Р(х1 хз) непрерывная (или непрерывнал за исключением отдельных точек или линий) функция по обоим аргументам. Тогда в соответствии с определением непрерывной случайной величины и теоремой о дифференцировании интеграла с пеРеменным верхним пределом [Ч1] совместная плотность распределения представляет собой (в точках ее непрерывности) вторую смешанную производную [Ч] совместной функции распределения: Б.
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ еления облада Теорема 5.2. Двумерная плотность распределения д ет следующими свойствами: 1) р(х1,хг) ) О; ь, ь, 2) Р(а1 <Х <бд,аг<У<Ьг) = дх1 р(хмхг)дхг; л1 Оь +00+00 3) р(хмхг) дх1дхг = 1; 4) Р(х1<Х<х1+Глхмхг<У<хг+Ьхг) р(хмхг)йх1йхг', 5) Р(Х = х1, У = хг) = О; 6) Р((Х;у) еР) = р(х1,хг)ах1дхг,' и +ео 7) рх(х) = рх,у(х,у)ду; 8) ру(у) = рх,у(х,у) дх. м Свойства 1 — 5 аналогичны свойствам одномерной нлонь- С йство 6 является обобщением свой- ности распределения. войство ства 2.
Докажем утверждения верждения 7 и 8. Из свойства 7 двумернои (см. 5.1) и определения 5.4 двумерной функции распределения (см.. и плотности распределения вытекает: Рх(х) = Рх,у(х,+ос) = Рхъ (У|,Уг) дУ1 дУг, рь (У) = рх,к(+со,У) = Рх,к(У1,Уг)дУ1дУг, 179 5.3.
Непрерыввые сауввввые вевичввы откуда, дифференцируя интегралы по переменному верхнему пределу и учитывая формулу (4.2), получаем утверждение 7 для одномерных (часгппых, марзииольпых) плопгпоспге0 распределения рх(х) и рк(у) случайных величин Х и У. а Пример 5.6. Рассмотрим двумерную случайную величину, плотность распределения которой имеет вид А , х +хг<В; г г г.
р(х1>хг) = О, хг+хг > Вг. Для определения коэффициента А воспользуемся свойством 3 двумерной плотности распределения. Поскольку р(х1,хг) = О пРи хгг+ хг г> Вг, то р(хыхг)дх~дхг = Адх1дхг = иАВ = 1, — се -00 хг1+х2 2< мг и значит А = —. Таким образом, 1 Ф хмг О, х1+хг > В; г г г. р(хыхг) = — хг+хг < В . 1 г г г ,„оа ~ Нетрудно найти одномерную плотность распределения случаи- ной величины Х1.' +ео ~/лг:хг 1 рХ (х) р(х у) Ыв г Ив -~/Йг:хг 180 Б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Аналогичное выражение можно получить и для рх, (р).
Совместная функция распределения г'(х1, хг) в силу определения двумерной плотности распределения равна 1 Г1 г'(х1,хг) = — Д иу1дрг, лги где область Р представляет собой пересечение квадранта (Е1 <х1, рг <хг) и круга х1+ +хг < В ~ т.е. Р(х1 хг) с точ 1 постыл до множителя — со- яяг впадает с площадью области 1), имеющей двойную штриховку на рис. 5.4. Рис. 5.4 Предлагаем самостоятельно определить площадь области Р для различных значений х1 и хг. В заключение рассмотрим пример, показывающий, что даже на практике реально могут встретиться двумерные случайные величины, не являющиеся ни дискретными, ни непрерывными.
Пример 5.7. Рассмотрим двумерный случайный вектор (Х1, Хг) иэ примера 5.3. Результаты этого примера, в частности, показывают, что случайные величины Х1 и Хг являются непрерывными и распределенными по зкспоненциальному закону с параметрами Л1+ Лгг и Лг+ Лгг соответственно. Функция распределения двумерного случайного вектора (х„х,) е-Р~+Лм)*~ е-Р~+лм)*г.) ~-е "~*~ "'*' "ы~~'"(*ь*з), х1>0 и хг >О; Рх,х,(х1,хг) = х1 <0 или хг <О О, 181 0.4. Незавясвмые соучаюиае хояячявм непрерывна во всех точках.
Ее смедпаннзя производная дгххх„х, (хд > хг) Р(Х1 > Х2 Оо Оо Лг(Л1+ Лдг)Е 1Л>+Л>одх> Л'х'> Хд > Хг > О; Лд(Л2+ Лдг)е лнн >~'+~>2>*', хг > хд > О; О, хд<Оилихг<0 непрерывна во всех точках, кроме точек прямых хд = О; хг = О И Х1=Х2. Убедимся, что функция р(хд,хг) не является плотностью распределения двумерного случайного вектора (Хд, Хг). Действительно, +оо+оо +00+00 | р(хд> хг) дхддхг = р(хд, хг) дхддхг = -00 -00 о о +00 Х> ~| 2( д дг)е ~ Л (Л +Л ) -р>+л>о)х>-лхходх + г е о +оо + Лд(Лг+Лд2)е "'*' (Л'+ пдх'дхг дхд = х> =1— Лдг <1, Л1+ Лг+ Лдг что противоречит свойству 3 (см. теорему 5.2).
5.4. Независимые случайные величины Определение 5.5. Случайные величины Х и У называ ют независимыми, если соемеспдная функция распределения Рх,д (х, у) является произведением одномерных функций распре- 182 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ деления Рх(х) и Ру(р): Рх,у(х р) = Рх(х)РуЬ). В противном случае случайные величины называют зави- симыми. Пример 5.8. Снова обратимся к примеру 5.3 и определим, в каком случае компоненты Х2 и Х2 двумерного случайного вектора (Х1, Х2) будут независимыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
