XVI_Terver (969543), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Б.о. Ретеиие типовых примеров а. Вычислим определитель матрицы Е и матрицу Е, обратную к матрице Е (11)( 2 1 йеЗЕ = без 1 3 0,5 2 0,5 2 = 13,25, 4 -3 0,5 7,75 — 3,5 -35 5 1 8 Е=Е ~ = — -3 13,25 0 5 1 Тогда (х - оз)Е(х - т) = (х( — 2,5 хз — 1 хз — 2) х х — -3 7,75 -3,5 хз — 1 1 = — [8(хз — 2,5) — 6(х1 — 2,5) (хз — 1) + 7,75(хз — 1) + + (х( — 2,5)(хз — 2) — 7(хз — 1)(хз — 2) + 5(хз — 2)~~ > 1 Рх(х) (,/2я)з ДУ25 х ехр — — ~8(х( -2,5) -6(х(-2,5)(хз-1) +7,75(хз-1) + 3 1 <-( ~-2 5(( ~-2( — 7( г — 1(( г — 2(<-5(щ — 2(~)]. б. Случайные величины Хм Хз и Хз распределены по нормальному закону с параметрами гп1 = 2,5 и сг1 = Л, пзг = 1 и совместнал плотность распределения случайного вектора Х, согласно (5.5), имеет вид 210 6.
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ и <тз = ~ГЗ, тз = 2 и пз = ~Г2. Поэтому Рх,(х) = е-(х-з,6)'/4 Рх (х) = — е 1я 1) ~е, 1 Р,(х) е-(*-з)'/з 1 2~/2тг Пример 5.26. Двумерная случайная величина (Х1, Хз), представляющая собой координаты падения случайной точки на плоскость, распределена по нормальному закону с вектором средних значений тХ = (1, 2) и матрицей ковариаций Е у = 36 -2 5 Найдем: а) оси рассеивания двумерной случайной величины (Х1, Хз); б) вероятность попадания случайной величины Х1 в интервал (1/3, 1); в) вероятность попадания двумерной случайной величины (Х1, Хз) в область Р, ограниченную эллипсом [1?1], 5х1+ 4х1хз + Зхз — 18х1 — Збхз + 41 = О.
а. Направление осей рассеивания совпадает с направлением собственных векторов матрицы [1У] 2 Собственные значения матрицы Еу определим из уравнения бес(Е~ — Л1) = Йе1 = Л вЂ” 13Л+ Зб = О. 2 8-Л/ Они равны Л1 — — 4, Лз = 9. Решая систему '1,2 8/ 211 Б.б. Решение типовых аримероа находим нормированные собственные векторы Поскольку оси рассеивания проходят через точку О'(1;2), то уравнения осей рассеивания имеют вид х1 — 1 хг — 2 х1 — 1 хг — 2 и 2 -1 1 2 В частности, в системе координат х~10'х~г с центром в точке О' и базисными векторами Щ е1' и ег' координаты (Х',;Хг) случайной точки имеют нормальное распределение с вектором средних йг о, = (О; 0) и матрицей ковариаций х* 0 1УЛг 0 1У9 ег' ( 1 2 ~ГЛг г~ ~Г45 5~/45 5~ е1' ( 1 1 ~/Х~ ~ Л' ~/200) ' то в этой последней системе координаты (1~~,Уг) случайной точки будут иметь стандартпное нормальное распределение.
б. Случайная величина Хг имеет нормальное распределение со средним значением гпх, = 1 и средним квадратичным оп~- нлонениен сто, = ~(2/3. Паьтому Р(- <Х1 <1) =Ф д(1) — Ф, д(-) = =Ф( — '') — Ф('~~ ') =Ф(0)-Ф(-~/2) =0,42. в. Матрица квадратичной формы 5х1г + 4х1хг + 8хг, которая представляет собой многочлен второй степени, определяющий Наконец, если ввести систему координат у10'уг с центром в той же точке О' и бззисными векторами 212 5.
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ рассматриваемый эллипс, совпадает с матрицей ЕЕ. Поэтому оси симметрии эллипса параллельны осям рассеивания случаиной величины (Х1, Х2). Более того, проводя вычисления, получаем, что центр эллипса совпадает с центром рассеивания О'. Значит в системе координат, образованной осями рас- 1 Ф сеивания, т.е. в системе координат с центром в точке О и базисными векторами е1' и е2', эллипс имеет каноническое уравнение. Поскольку матрица квадратичной формы в уравнении рассматриваемого эллипса совпадает с матрицей Еу, видим, что этот эллипс является одновременно эллипсом рассевванил, и в системе координат у10у2 он превращается в окружность р2+ р2 = 4. Поэтому вероятность попадания двумерной случай- 1 2 ной величины (Х1, Х2) в область 12 равна вероятности попадз ния двумерной случайной величины (1~~, Ъ'2), распределенной по стандартному нормальному закону, в круг радиуса 2 и определяется формулой гг 1 я+22 Р((Х1, Х2) Е Щ = Р(Ъ'~~+1г2~ (41 = Д вЂ” е 2 Ир1Ыу2.
22+22 <4 Переходя к полярным координатам, получаем 2т 2 2 Р((Х1,Х2) ЕВ)= байр '4 — е 2 рйр=1 — е 0,14. ,/ 2я 0 О Таким образом, искомая вероятность приближенно равна 0,14. Вопросы и задачи 5.1. Что называют и-мерной случайной величиной (п-мерным случайным вектором)? 5.2. Дайте определение совместной функции распределения (вероятностей) и-мерной случайной величины (и-мерного случайного вектора).
Вопросы и задачи 213 5.3. Какими свойствами обладает функция распределения и-мерного случайного вектора? 5.4. Как найти вероятность попадания двумерной случайной величины (Х, У) в прямоугольник (а~ < х < аз, 6~ ( (у < Ьз) с помощью совместной функции распределения Рху (я, у)? 5.5. Какую двумерную случайную величину называют дискретной? 5.6. Каким образом можно задать распределение двумерной случайной величины? 5.7. Какую двумерную случайную величину называют непрерывной? 5.8. Дайте определение совместной (и-мерной) плотности распределения (вероятностей). 5.9.
Какими свойствами обладает двумерная плотность распределения? 5.10. Как найти одномерные плотности распределения по двумерной плотности распределения? 5.11. Как найти вероятность попадания в некоторую область с помощью плотности распределения? 5.12. Как найти совместную плотность распределения, если известна совместнал функция распределения непрерывной случайной величины? 5.13.
Как найти совместную функцию распределения и- мерной непрерывной случайной величины, если известна ее совместная плотность распределения'? 5.14. Какие случайные величины называют независимыми? 5.15. Могут ли случайные величины быть независимыми попарно,но зависимыми в совокупности? 5.16. Как проверить независимость двух дискретных случайных величин? 214 5.
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 5.17. Как проверить независимость двух непрерывных случайных величин? 5.18. Запишите выражение совместной плотности распределения для двух нормально распределенных независимых случайных величин. 5.19. Запишите выражение совместной плотности распределения двумерного нормального закона (в общем случае). 5.20. Что называют вектором средних и матрицей ковариаций двумерного случайного вектора, имеющего нормальное распределение? Чему равен коэффициент корреляции координат двумерного случайного вектора, имеющего нормальный закон распределения? 5.21. Запишите выражение плотности п-мерного нормального распределения. 5.22.
Что называют вектором средних значений и матрицей ковариаций многомерного нормального распределения? Чему равен коэффициент корреляции координат и-мерного случайного вектора, имеющего многомерное нормальное распределение? 5.23. Какой нормальный закон называют стандартным? 5.24. Что называют эллипсом рассеивания двумерного нормального закона? Как определить угол поворота осей симметрии эллипса рассеивания двумерного закона относительно осей координат? 5.25. Что называют эллипсоидом рассеивания многомерного нормального закона? Как можно получить и-мерный случайный вектор, распределенный по произвольному нормальному закону, с помощью п-мерного случайного вектора, распределенного по стандартному нормальному закону? 5.26.
Какие свойства многомерного нормального распределения Вы знаете? 215 Воиросы и задачи 6.2Т. Двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную функцию распределения Р(х,у) = — (4агс18хагс18у+ 2з агсвйх+ 2иагсвйу+ к ). 1 2 4з2 5.28. Двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную функцию распределения х < 0 или у < 0; О, вши+ в1оу — вш(и+ у) 0<х<— 2 0<х<— 2 х> — иО 2 х> — ну 2 и 0<у< 2,. и у>з/2; 2 Ф вши — сова+ 1 2 вшу — сову+ 1 > < у < —. >- 2 Найдите: а) вероятности событий (з/12 < Х < у/4, (я/12 < У < я/4), (Х > я/4, У > я/4) и (Х < я/3, У > я/6); б) частные функции распределения случайных величин Х иУ; в) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми.
Вычислите: а) вероятности событий (-1 < Х < 1, 1 < У < ~/3) и (Х >1,У> ~Г31; б) частные функции распределения случайных величин Х иУ; в) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Ответ: а) Р( — 1 < Х < 1, 1 < У < ~ГЗ) = 1/24, Р(Х > 1, У > ~ГЗ) = = 1/24; б) Гх(х) = — (2агсМх+ и), Ру(у) = — (2агсФКу+ к); в) да, являются. 216 Б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 0 т в е т: а) Р(х/12 < Х < гг/4, я/12 < У < л/4) = (2~/3 - 3)/4, Р(Х > х/4, У > гг/4) = (~/2 — 1)/2, Р1Х < «/3, У > и/61 = 1/2; 5.29.
Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (Х, У) задано табл. 5.10. Найдите: а) ряды распределения случайных величин Х и У; б) значения совместной функции распределения Р(х,у) случайных величин Х и У в точках (2,5; 25) и (9; 11), а также вероятность события (2 » (Х < 9, 10 < У < 30); в) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Тайища $.10 Ответ: а) ряды распределения случайных величин Х и У приведены в табл. 5.11 и 5.12; б) Р(2,5, 25) = 0,17, Р(9, 11) = 0,14, Р(2 < Х < 9, 10 < У < 301 = 0,50; в) нет, не являются. О, ( ) иве — сезя+1 2 11 О, вв Гà — сов Н+ 1 2 1, в) нет, не являются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
