XVI_Terver (969543), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Решение типовых примеров П ример 5.13. Двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную функцию распределения О, я < 0 или у < 0; Р(х, у)— -и — 2я+ -х -2я Найдем: а) веролтности событий (-2<Х<2, 1<У<3), (Х>О, У>1) и (Х<1, У>2); б) частные функции распределения случайных величин Х и У.
198 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ а. В соответствии со свойством 5 двумерной функции распределения имеем Р(-2 < Х < 2, 1 ~ (У < 3) = Р(2,3) — Р(2, 1)— — Р(-2,3)+Р(-2,1) =1 — е 4 е е+е ю— -(1-е '-е '+е ')-О+О=е '-2е '+е ". Событие (Х > О, У ~> 1) представляет собой попадание дву- мерной случайной величины (Х, У) в квадрант (х ~ ~О,у ~ )Ц. Поэтому Р(Х > О, У > 1) = Р(+со, +оо) — Р(+со, 1)— —.г'(О, +со)+Г(0, 1) =1 — (1 — е ~) — О+.0 =е ~. Аналогично Р(Х < 1, У > 2) = Р(1, +оо) — Р(1,2) — Р(-оо, +оо) + +Р( 2) 1 -1 (1 -1 — 4+ -б) 0+0 — 4 -5 б. В соответствии со свойством 7 двумерной функции распределения частные распределения случайных величин Х и У задаются формулами О, х<0; Рх(х) = г(х, + ) = ~ 11 — е *, х>0; ЖУ(у) = Р(+со, у) = О, у<О; 1 — е ", у>0.
Пример 5.14. Двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную функцию распределения Г(х,у) = О, 31пх Зшу, вшх, ешу, 1, х ( (0 или у » (0; О < х < я/2 и 0 < у < к/2; О < х < к/2 и у > к/2; х>я/2 и 0<у<к/2; х > к/2 и у >и/2. 200 о. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ б) значения совместной функции распределения Р(х,у) в точках (4 5; 8) и (9; 11), а также вероятность события (4 ~(Х <9, 8~~У<11). а. Поскольку событие (Х = 3) совпадает с объедикекиел4 иеиересекаюи4ияся событпиб (Х = 3, 1' = 3), (Х = 3, У = 8) и (Х=З,У=12), то Р(х =з) =Р(х=з, у=з)+Р(х =з, у=8)+ +Р(Х=З, У=12) =0,55. Аналогично Р(Х = 5) = Р(Х = 5, У = 3) + Р(Х = 5, У = 8) + + Р(Х = 3, У = 12) = 0,45.
Ряд распределения случайной величины Х приведен в табл. 5.5. Таблица $.6 Таблица Б.Б Суммируя вероятности по столбцам (см. табл. 5.4), находим: Р(У =3) =Р(Х = 3, У=3)+Р(Х =5, У=3) =027, Р(У = 8) = Р(Х = З 1 = 8) + Р(Х = 5 1 = 8) = 0 4З Р(У = 12) = Р(Х = 3, У = 12) + Р(Х = 5, У = 12) = 0,30. Ряд распределения случайной величины У представлен в табл.
5.6. б. Используя определение 5.3 совместной функции распределения и то, что событие (Х < 4,5, У < 8) совпадает с событием (Х = 3, У= 3), получаем Р(4,5, 8) =Р(Х < 45, У < 8) = Р(Х = 3, У = 3) =017. 201 Б.б. Решеиие типовых примеров Аналогично событие (Х < 9,У < 11) совпадает с объедине- нием непересекающихся событий (Х = 3, У = 3), (Х = 3, У = 8), (Х = 5, У = 3) и (Х = 5, У = 8), и, значит, 7(9,11)=Р(Х<9,У<11)=Р(ХееЗ,УееЗ)+Р(Х=З,Уее8)+ + Р(Х = 5, У = 3) + Р(Х = 5, У = 8) = 0 70. Наконец, Р(4 < Х < 9, 8 < У < 1Ц = Р(Х = 5, У = 8) = 0,30. Пример 5.10.
Совместная функция распределения непрерывной двумерной случайной величины 1Х, У) имеет вид и (х,у) = — ~ахеей - + †) ~вгсг8 — + †) (а > 0,6 > О). тз~ а 2)~ 6 2) Найдем совместную плотность распределения. Воспользовавшись равенством дхР(х,у) д" дхду получим Пример 5.17. Совместная плотность распределения непре. рывной случайной величины 1Х, У) имеет вид С р(х у) ( з , уг, „) . Найдем: а) постоянную С; б) частные плотности распределения случайных величин Х и У.
202 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ а. Постоянную С находим согласно свойству 3 совместнои плотности распределения Вычисления интеграла с помощью перехода к полярным коор- динатам (7П) дают: +00+00 20 +со Сдхду рдр (хг+уг+я)2,/ ~ Г (р2+я)2 СО 00 О рддр Стт Поэтому С = 1. б. Частпные плотпностпи распределения случайных величин Х и 1' вычисляются в соответствии со свойством 7 совместной плотности распределения: +со +00 ду тг Рх(х) = РхУ(х,у)<Ь вЂ” ( г+ 2+ )г 2( л+ )зГг +00 Г ах з Ру(у) = Рху(х,у)д ~ (хг+уг+,)г 2(уг+„)зГг' Пример 5.18.
Сов.иестпнал плотпностпь распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, 1') имеет вид х<0 или у<0; ~ о * "1пгЗ, х>0 и у>0. 203 5.6. Ретеаве типовых лрямеров Найдем: а) совместную функцию распределения; б) частные плотности распределения случайных величин Хи У; в) вероятность попадания случайного вектора (Х, У) в треугольник с вершинами в точках А(2, 1), В(2, 2) и С(5, 1).
а. Совместная функция распределения Р(х,у) =0 А при х < 0 или у < О, а при х > 0 и у > О, согласно определению 5., я 9 9 Р(х Р) — 1 (3 " "1тРЗ~1пДе = ~1н 3-™-м1п'ЗНе = х~р) о о о о 3 "1 3 1п 3 "1пЗ 1о =(1 — 3 *)Р— 3 "). о о б. Частная плотность распределения случайной величины Х равна 0 при х < О, а при х > 0 имеет вид рл(х) = 3 * "1п Зду=З *1пЗ.
о Аналогично частная функция распределения случаинои величины У равна 0 при у < О, а при у > 0 определяется выражением ру(р) = 3 * "1п З~Ь = 3 "1пЗ. о в. В соответствии со свойством 6 (см. теорему 5.2) совмест- ной плотности распределения вероятность попадания случаино- го вектора (Х, У) в треугольник с вершинами в точках А(2; ), А 2 1) 204 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В(2;2) и С(5;1) находим по свойству 6 теоремы 5.2: Р1(Х;У) е Щ = р(х,у)ахау, где область В представляет собой рассматриваемый треугольник (рис.
5.6). Рис. б.б Проводя интегрирование, получаем 3 <в — *)уз Р((Х;У) ЕЩ= 3 *1пЗсЬ 3 "1пЗйу= з — 3 *1пЗ ~ — — — 3*~ Их= (1 У'3 *з~ 1,3 27 г Пример 5.19. Проверим, являются ли случайные величины Х и У из примера 5.13 независинььаи. Из результатов примера 5.13 следует, что совместная функция распределения г (х, р) случайного вектора (Х, У) совпадает при всех х и р с произведением частных функций распределения 205 5.6.
Решеиие типовых примеров Рх(х) и Ру(у) случайных величин Х и У. Поэтому случайные величины Х и У являютсл независимыми согласно' определению 5.5. Пример 5.20. Распределение вероятностей двумерной случайной величины (Х, У) задано табл.
5.7. Проверим, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Таблииа 5.7 Ряды распределения случайных величин Х и У представлены в табл. 5.8 и 5.9. Таблииа 5.9 Таблица 5.8 Иэ табл. 5.7-5.9 следует, что вероятность события (Х = = -1, У = 2) совпадает с произведением вероятностей событий (Х = -1) и (У = 2). Это же свойство верно и для всех остальных возможных пар значений случайных величин Х и У.
Поэтому случайные величины Х и У являются независимыми согласно теореме 5.4. Пример 5.21. Проверим, являются ли случайные величины Х и У иэ примера 5.15 независимыми. Поскольку вероятность события (Х = 3, У = 31 не равна произведению вероятностей событий (Х = 3) и (У = 3), то, согласно теореме 5.3, случайные величины Х и У являются зависимыми.
Пример 5.22. Проверим, являются ли случайные величины Х и У иэ примера 5.17 независимыми. 206 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Из результатов примера 5.17 видно, что совместная плотность распределения р(х, у) случайного вектора (Х, У) не равна тождественно произведению частных плотностей распределения р г (х) и ру(у) случайных величин Х и У. Поэтому, согласно теореме 5.3, случайные величины Х и У являютсл зависимыми.
Пример 5.23. Проверим, являются ли случайные величины Х и У иэ примера 5.18 независимыми. В данном случае совместная плотность распределения р(х, у) случайного вектора (Х, У) тождественно равна произведению частных плотностей распределения рх(х) и ру(у) случайных величин Х и У. Значит, согласно теореме 5.4, случайные величины Х и У являются независимыми. Пример 5.24.
Известно, что рост Х1 и вес Хз взрослого мужчины (и женщины), проживающего в одном регионе, достаточно хорошо описывается двумерным нормальным законом раснределенив. В частности, рост (в сантиметрах) и вес (в килограммах) мужчин некоторой страны Нормзлии подчинены нормальному закону с вектпором средних значений ~74 = (172, 74) /45 28 1 и машриией ковариаиий Е = ~ Найдем вероятности следующих событий: а) рост случайно встретившегося нормзльца больше среднего;.
б) его вес меньше среднего; в) его рост больше среднего, а вес меньше среднего. а. Одномерное распределение случайной величины Х4 является нормальным со средним значением гн1 = 172 и дисперсией о~~ = 45. Поэтому вероятность того, что рост случайно встретившегося нормавьца будет больше среднего, равна: Р(Х1 > 172) = 1 — Ф17з,(4вв(172) = 1 — Фв(0) = 0,5.
б. Действуя, как и в предыдущем пункте, приходим к следующему результату: вероятность того, что вес случайно встретившегося нормзльца будет меньше среднего, также равна 0,5. 207 б.б. Репзеппе типовых примеров р= = ° 0,66, (712 28 зЯ~~2 ~45 40 имеем -~2 Я(х1-1722хз — 74) 2 2(42 42 (2 — 0,66 ( где Я(х1 — 172, хг — 74) = 1 (х1 — 172) г 2 0,66(х1-172) (хг — 74) (хг -74)2 1Г 40 1 — 0,662 45 45 40 Тогда Р(Х1 > 172,Х2 < 74) = 2т хз>172 хз <74 Проводя замену , — 172 = 46~/1 — 0,66Ъ 0, — 74= '40072-0,66 Ы0, вычисляя яззобоан (з(П] дх1 дх1 =445 40 (1 — 0,66 )г дхз дхз де д(р в.
Для того чтобы найти вероятность Р(Х1 > 172, Хг < 74) того, что рост случайно встретившегося нормальца будет больше среднего, а его вес меньше среднего, выпишем совместную плотность распределения случайных величин Х и У. Вычислив коэффициент корреляции 208 3.
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ и учитывая, что область интегрирования (хт > 172, х2 < 741 при этом переходит в область (г > О, Зх/2 < тр < 2тг), получаем 1-0,66 Р1,>166, 414т= 2тг 2Р +044 х йр гехр~ — — (т сов тр-2 О,ббт' совтрвштр+г вш 4р) туг= 2 2 2 ° 2 2 2 ЗР/2 0 20 >44-0,66' Г 2тг 1 1-2 О,ббсовтрвштр 346 т'2 тх 0,66 = — 1--~16 ' 0,11. 6 '16 ! — 0,66 / Таким образом, искомая вероятность равна примерно 0,11.
Отметим, что если бы рост и вес были независимыми величинами, то эта вероятность равнялась бы 0,5 0,5 = 0,25, т.е. была бы в два с лишним раза больше. Пример 5.25. 1рехмерньтйсзучвйньтйвектор Х=(Х21 Х2, Хз) распределен по нормазьному закону с вектором средних значений тй = (2,5, 1, 2) и матрицей ковариаций Найдем: а) совместную плотность распределения случайного вектора Х; б) одномерные плотности распределения случайных величин Хт1 Х2 и Хз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
