XVI_Terver (969543), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Недиагонэльный элемент о;1 называют коеариацией случайных величин Х; и Х1 (ату зэ писывают также в виДе отУ = Р;уотот, и тогДа Р;. называют коэЯфициентпом корреляции Х; и Х ). Обозначив, как и прежде, Е матрицу, обратную к матрице Е, и использовав матричную запись, плотпностпь многомерного ~п-мерного) нормального распределения определим следующим выражением, аналогичным (5.2): (У) хх Е ~~ (~/2тт)" (бес Е) т Если матрица Е (а значит, и матрица Е = Е т) совпадает с единичной матрицей 1, а вектор тп = (О, ..., 0), то хт РХь...,Хх М''') х) ( я~ ) (ж Ж 1 — Е т (хт+"'+ха) Такую плотность по аналогии с одномерным случаем называют плотпноспъью стпандартпного многомерного (и-мерного) нормального распределения. Дадим геометрическую интерпретацию плотности нормального распределения.
190 Б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ РХьХъ(хд ~х2) о ~ которое с учетом (5.2) можно записать в виде Я(хд — дддд,хг — дддг) = Ь, (5.6) где Ь = -21п(2ха(д$егЕ)*), а Я(хд — дпд,хг — дддг) определяется д формулой (5.3). Последнее уравнение представлжт собой уравнение эллипса (точнее говоря, семейства эллипсов при разных значениях Ь). Оси симметрии О'хд и О'хг этого эллипса (рис. 5.5) проходят через точку О'(дддд;дддг), а их направления совпадают с напра влевиями собственных векторов матрицы Е. В свою очередь, собственные векторы е;, д = 1,2, матрицы Е определяются из уравнений [1У] е";Е = Л;е"; где Л; — собственные значения матрицы Е, т.е.
решения характеристического уравнения д1ег(Š— Л1) = О, Лгпдгпгг(1 — рг) — Л(огд + огг) + 1 = 0. Углы дг;, г = 1,2, между осями симметрии эллипса и осью Охд можно выразить через параметры од, аг и р по формуле 2ридп2 262ол =, од — пг (5.7) Начнем с двумерного случая. При этом (Хд,Х2) будем трактовать как координаты брошенной случайным образом на плоскость точки.
Функция рх„х,(хд,хг) задает некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Ливии уровня этой поверхности имеют уравнение 5.5. Мвогомервое вормаеьвое рвсвредееевве 191 Рис. 5.5 Оси симметрии эллипса (б.б) называют осямн рассеивания, сам эллипс — эяяипсом рассеивания (или эя внпсо.н равной ееро*тпностпн), а центр эллипса — точку О (т6 пИ) — Ченпьром рассеивания.
Из формулы (5.7), в частности, следует, что при р = О, о1 55 оз оси рассеивания параллельны координатным, при о1 —— <тз = о эллипс рассеивания представляет собой окружность радиуса и и в качестве осей рассеивания можно взять любые две перпендикулярные прямые, проходящие через точку О'. Вводя новую (прямоугольную) систему координат, оси которой совпадают с осями рассеивания, т.е. каноническую систему координат для эллипса рассеивания, можно показать, что в этой системе координаты (Х1, Хз) случайной точки имеют нормальное распределение с нулевым вектором средних значений 1п' = (О;О) и матрицеи ковариации Е' = ~ 1 ), где п1 —— —, у 1 оз — — —.
~Гл,' Если изменить масштабы на осях канонической системы координат, взяв за единицы отсчета о~~ и о~~ соответственно, то в такой системе координат координаты случайной точки будут иметь нормальное распределение с нулевым вектором средних 192 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ и единичной матрицей ковариаций, т.е. иметь двумерное стандартное нормальное распределение. Аналогично в случае и ) 2 уравнение или эквивалентное ему уравнение (х - тй) Е(х - тй) = Ь, Ь = -21п1(~/2~г)" а(бей Е) ~ ) в силу положительной определенности матрицы Е представляет собой уравнение и-мерного зллипсоида, называемого зллиисоидом рассеиваиил, его оси симметрии по-прежнему называются осями рассеивания.
Будем трактовать п-мерный случайный вектор Х как координаты случайной точки в и-мерном пространстве. Пусть х~»...,х'„— каноническая система координат эллипсоидов рассеивания, тогда новые координаты (Х(, ..., Х„') случайной точки снова будут описываться и-мерным нормальным законом, имеющим нулевой вектор средних га' и диагональную матрицу ковариаций Е', причем ее диагональные элементы оЦ = 1/Л;, где Л;, 1 = 1, и, — собственные значения матрицы Е с учетом их кратностей.
Еще раз вводя новые координаты у; = о~х'; (т.е изменяя масштабы на осах канонической системы координат), получаем, что в последней системе координат ум...,у„координаты случайной точки будут распределены по стандартному нормальному закону. Таким образом, делая обратные преобразования, можно трактовать (невырожденный) нормально распределенный вектор Х с произвольным вектором средних тв и матрицей ковариаций Е как координаты случайной точки в некоторой (вообще говоря, не ортонормированной, но ортогональной) прямолинейной системе координат, причем эта точка имеет стандартное нормальное распределение.
Пример 5.12. Известно, что при стрельбе по плоской цели отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания хорошо описывается двумерным нормальным распределением. о.о. Мвогомервое иормавьвое ривдревееевие 193 1' 0,005 -0,0035 ( (~ -0,0035 0,0075 /' Определим собственные эначения и собственные векторы матрицы Е. Собственные эначения находим иэ уравнения 40400Лг 500Л+ 1 0 они равны Лд ю 0,0025, Лэ и 0,01. Решая уравнения -0,0035 д 0 0075 / = 0,0025ед ) -0,0035~ ~ =0,01е, „1' 0,005 д Л -0,0035 ( 0,005 ~, -0,0035 находим собственные векторы ед — (7, 5), еэ — (-5, 7).
Тогда уравнения осей рассеивания принимают вид яд-2 яэ-3 -5 7 х~ -2 яэ — 3 7 5 а матрица ковариаций в канонических координатах При испытании гаубицы было обнаружено, что в некоторой прямоугольной системе координат с центром в точке О прицеливания вектор Х = (Хд, Хэ) отклонений (в метрах) от точки О имеет вектор средних дУд = (2, 3) и матрицу коварнаций (в /300 140 д квадратных метрах) Е = ~ Найдем уравнения осей рассеивания двумерной случайной величины (Хд,Хэ).
Центр рассеивания находится в точке О'(2, 3). Матрица Е = Е д имеет вид 194 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Плотность распределения случайного вектора (Х1,Х2), представляющего собой координаты отклонения точки разрыва от точки О', вычисленные в ортонормированной системе координат, связанной с осями рассеивания, имеет вид + рх',х'(хмхг) = — е 2 ~400 1007 400я Для того чтобы получить стандартное нормальное распределение, мы должны за единицу масштаба по большей оси эллипса рассеивания принять 20 м, а по меньшей — 10 м.
Предположим теперь, что цель поражаетсл в том случае, когда точка разрыва снаряда находится от нее не далее чем в 10 м. Вычислим вероятность поражения цели одним снарядом. В соответствии с формулой (5.5) двумерная плотность распределения вектора Х = (Х1,Х2) имеет вид (см. вид матрицы Е) рХоХ7 (х1, х2) — 3 [0,005(з1-2) г -0,007(х1-2) (жг — 3)+0,0075(яг -3) ~) 400я И скомая вероятность равна вероятности попадания снаряда в область х21 + хг г< 100 и в силу свойства 6 двумерной плотности распределения определяется выражением 1 Р(Х1 + Хг ( 100) = рхьХг(ХМХг) С(Х1ПХг — Х з(+я 7~(100 -$(0,005(ж1-2) -0,007(ж1-2)(аг-З)+0,0075(жг-З) ] (( *',+*,'<100 Для вычисления последнего интеграла необходимо применить численные методы, поэтому окончательный ответ мы не приводим. 7Р Рассмотрим основные свойства многомерного нормального распределения. 195 о.о.
Многомерное нормальное распределение 1. Закон распределения каждой из координат случайного вектора Х, имеющего и-мерное нормальное распределив с вектором средних й = (пап ..., п2 ) и матрицей коверная(ий Е = сг;, является нормальным с параметрами етц и о;. ~ Докажем зто утверждение для случая в = 2 (общий случай требует более громоздких преобразований). Определим плотность распределения рг, (х1) в случае, когда Рх„л, (х1, х2) определяется формулами (5.2) и (5.3). Используя свойство 7 двумерной плотности распределения, находим +ое Рх,(х1) = 1 оХ2~ -4(е1 ие) 2яо1о2 1 — р2 где 1 Я(х1,х2) = — х Делая замену еа-щл Де1-т~) ае й= 2 1 после преобразований получаем +со / 1 У 1: о рх (х1) = / — е '1 Иу. ,/ 2~пт1 -00 Поскольку с учетом значения интеграла Пуассона [ЧП] +оо +оо | е "~~Ну = ~Г2 е ' Ж = ~2я, приходим к окончательному ответу рх,(х1) = е -(е1-пц)е/2п~е 1 2яо'1 196 б.
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ что и доказывает требуемое утверждение. Аналогично можно показать,что (ед — эвр)~ 1 рх,(хз) = е 2'"з Ляог 2. Ксли ковариационная матрица Е случайного вектора Х, распределенного по нормальному закону (невырожденному), является диагональной [111], то координаты вектора Х1, ..., Х„ являются независимыми случайными величинами. М Действительно, матрица Е = Е 1 также является диагональной и имеет вид О О СГй и, следовательно, формула (5.2) для совместной (и-мерной) плотности распределения имеет вид 1 рхп...,х„(хь ° ° ° хв) = х (~/2я)" о1... о„ (х~ — т~) (е — о~„) +-+ 1 ХЕ в' =РХ (Я1)" РХ„(еа) т.е.
случайные величины Х1, ..., Х„являются независимыми (см. замечание 5.3). > Заметим, что если о,Ч = О для некоторых 1 и у или, что то же самое, коэффициент корреляции р11 = О, то говорят, что случайные величины Х; и Х) являются неноррелнрованными.
Таким образом, из некоррелированности координат случайного вектора, распределенного по нормальному закону, следует (в силу теоремы 5.3) их независимость. Легко показать и обратное: независимые нормально распределенные случайные 197 Б.б. Репмппе тпповых примеров величины являются некоррелированными (в 7.4 будет показано, что для проювольно распределенных случайных векторов некоррелированность координат есть лишь необходимое условие независимости). 3. Если вектор Х = (Х1, ..., Х„) имеет нормальный закон распределения с вектором средних т = (т1, ..., п1„) и матрицей ковариаций Е, то вектор Х' = (Х1, ..., Х„1) также распределен по нормальному закону с вектором средних т' = = (т1, ..., т„1) и матрицей ковариаций Е', полученной ю матрицы Е вычеркиванием последних строки и столбца.
< Это свойство доказывается так же, как и свойство 1, но в силу громоздкости вывода оно здесь не приводится. ° Из свойства 3 методом математической индукции можно показать, что любой набор координат н-мерного случайного вектора Х = (Х1, ..., Х„), распределенного по нормальному закону, снова имеет нормальное распределение. В частности, двумерный случайный вектор (Х1, Х2) распределен по нормальному закону с вектором средних (т1, т2) и матрицей ковариа- йЕ~= о11 О'21 О22 5.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
