XVI_Terver (969543), страница 21
Текст из файла (страница 21)
При изучении гамма-распределения весьма полезными являются следующие свойства гамма-функции: 1 (7+ 1) = 7Г(7) и Г(п) = (и — 1)! для целых и. Ррафики плотности р(х) и функции г'(х) гамма-распределения изображены на рис. 4.14 и 4.15. Рис. 4.15 Рис. 4.14 Как видно на рис. 4.12-4.15, распределение Вейбулла и гамма-распределение весьма близки между собой. Основным преимуществом закона Вейбулла перед гамма-распределением является то, что его функция распределения является элементарной функцией. Поэтому раньше, когда ЭВМ еще не были достаточно распространены, распределение Вейбулла использовалось гораздо чаще, чем гамма-распределение. Хотя в общем случае гамма-распределение и не является элементарной функцией, гамма-распределение обладает некоторьпяи весьма полезными свойствами.
Так, если у = я, т.е. у принимает целые значения, то мы получаем распределение Эрланза порядка Й, находящее важные применения в шеории массового обслуживания. Если же у = й/2, где я — нечетное число, а А = 1/2, то гамма-распределение превращается в так называемое роспределеиие ~э (хи-квадратов), роль которого в математической 149 4.Т. решение твиовыя арянеров статистике невозможно переоценить. Параметр й называют в этом случае числом степеней свободы распределения Хз, а само распределение — распределением Хз (хи-квадрат) с й степенями свободы.
Наконец, при у = 1 мы имеем дело все с тем же экспоненциальным распределением. Гамма распределение обладает и другими интересными свойствами, которые мы здесь не будем рассматривать. 4.7. Решение типовых примеров Пример 4.5. Игральную кость бросают один раз. Если выпадает четное число очков, игрок выигрывает 8 рублей, если нечетное, но больше одного — проигрывает 1 рубль, если выпадает одно очко — проигрывает 10 рублей. Найдем распределение случайной величины Х вЂ” величины выигрьппа в данной игре. Простпранство элеменпьарных исходов в данном случае имеет вид 11 = (~о1, <оз, О~3~ ы4, ыь, ыб), где м; — выпадение 4 очков. Считая, что игральная кость симметричная, имеем Р(сое) = —, 4 = 1, 6.
1 6' Случайная величина Х может принять всего три значения: х1 = 8, хз = — 1 и хз = — 10 (является диснретпной), причем каждому из этих значений соответствуют события (Х = 8) = (м: Х(ы) = 8) = (ыз, ш4, шб)> (Х = -1) = (ис Х( ) = -1) = С 3, бК ~Х =-10) =(: Х( ) =-10~ =( л,) 150 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ с вероянзностлни 1 рз = Р(Х = 81 = Р(ш2 со4~ояв) = Р(шз) +Р(аЧ) + Р(сов) = 2' 1 р2 =Р(Х = -Ц =Р(мз,ыз) =Р(ыз)+Р(шз) = —, 3' 1 рз =Р(Х = -10) = Р(ю1) = —.
6 Таблица 4.Б Таким образом, ряд рас- Х -10 -1 8 нределениа случабноб величины Х можно представить в /6 /3 / виде табл 4 5 Графическое изображение распределения случайной величины Х приведено на рис. 4.16. Найдем теперь фунниию распределения Р(х) случайной величины Х. В соответствии с определением функции распреде. х<-10; — 10 < х < -1; — 1<х<8; х)8. О, т =1/6, рз+р2 = 1/2, р1+р2+рз =13 Р1х) = Р(Х < х1 = График функции распределения Р1х) изображен на рис. 4.17. Рис. 4.17 Рис. 4.16 Пример 4.6. Производят четыре независимых опыта, в каждом из которых некоторое событие А появляется с вероятностью р = 0,8.
Построим ряд распределения и функцию 151 4.7. Решеппе типовых примеров распределения случайной величины Х вЂ” числа появлений события А в четырех опытах. В соответствии с условием задачи мы имеем дело со схемой Бернулли, т.е. число появлений события А распределено по бинолеиальнолеу закону с параметрами и = 4, р = 0,8 и д = 1 — р = = 0,2. Значит, случайная величина Х может принимать только значения 4, 4 = 0,4. Согласно Яорлеуле Бернулли Р1Х=4)=С~вру ~, 4=0,д, определим вероятности возможных значений случайной вели- чины Х: Р1Х = О) = Саро94 = 0 0016 Р1Х = 1) = С4~р19з =0 0256 Р1Х = 2) = С4гргуг = 0 1536, Р(Х = 3) = Сзрзу' = 0,4096, Р(Х = 4) = С4р490 0,4096. Таблица 4.6 Функция распределения случайной величины Х имеет вид О, х< О; 0,0016, 0<х(~1; 0,0272, 1<х< 2; г (х) = Р1Х < х) = 0,1808, 0,5904, 2<х<3; 3<х<4; Ряд распределения рассматриваемой случайной величины представлен в табл.
4.6. 152 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ График функции распределения Р(х) изображен на рис. 4.18. Рис. 4.18 Пример 4.7. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением О, х < 0; Р(х) = х', О < х < 1; 1, х > 1. Найдем: а) плотноетпь распределения р(х) случайной величины Х; б) вероятность попадания случайной величины Х в интервал от 0,25 до 0,5; в) вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее 0,3; г) вероятность того, что случайная величина Х примет значение большее 0,7; д) графики Р(х) и р(х). Воспользовавшись определением 4.5 и свойствами плотности распределения и функции распределения, (см.
теоремы 4.1 и 4.2, имеем: О, х < 0; а) р(х) =Р'(х) = 2х, 0<х< 1; О, х > 1; 153 4.Т. Репииие типовых примеров б) Р10,25 < х < 0,5) =Р(0,5) Р(0 25) 0 бг 0 251 0 1875 в) Р(х <0,3) =Р(0,3) =0,3~ =0,09; г) РСх > О 7) = 1 — Р(х < О 7) = 1 — Р(0 7) = 1 — 0 7т = 0 51 д) графики Р(х) и р(х) приведены на рис. 4.19 и 4.20. Рис. 4.20 Рис. 4.19 Пример 4.8. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задается формулой х Р(х) = с+багс18-.
а Найдем: а) постоянные с и Ь; б) плотность распределения случайной величины Х; в) Р(х~ < Х < хг). В соответствии с определениями 4.2 и 4.5 и свойствами функции и плотности распределения (см. теоремы 4.1, 4.2): и) постоянные 6 и с определяем из условий 11ш Р(х) =1. е-++со 1пп Р(х) =О, 154 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Имеем: х~ я 1пп Р(х) = Иш (с+Ьагс~б-) =с-Ь-=О, х-+-00 х-+-00 1 а) 2 х1 7Г Иш Р(х) = 1пп (с+ЬагсФЕ-) =с+6 — =1, х-++со х-++оо 1 а) 2 Из системы уравнений с-Ь- =О; 2 с+Ь- =1 2 находим, что с = — и Ь = — и поэтому Р(х) = -+ — агс~Š—; 1 1 1 1 х 2 1г 2 х О' б) плотность распределения равна /1 1 х~' а р(х) = Р'(х) = ( -+ — агой-~ = ~,2 я а,) я(хз+ аз) ' в) вероятность попадания Х в интервал (хм хз) равна: Р(хг < Х < хз) = Р(хз) — Р(х1) = 1 1 хз 1 1 х1 1 г х2 х1~ = — + — агония — — — — — агой — = — ~егер — — агсйб — ) .
2 1г а 2 я а я~ а а) Пример 4.9. Непрерывная случайная величина Х имеет следующую плотность распределения: О, х < 1; а/х х) 1 Определим: а) коэффициент а; б) функцию распределения Р(х); в) графики р(х) и Р(х); г) вероятность Р(2 < Х < 3) попадания случайной величины Х в интервал (2, 3); д) вероятность того, что при четырех независимых испытаниях случайная величина Х ни разу не попадет в интервал (2, 3). 155 4.7. Реппппее типовых првыеров а. Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством 3 плотности распределения.
Тогда +Ос +ос +Ос | Г а а р(х) Их = 1 — ах =-- / х2 -ОО -00 1 откуда получаем а = 1. б. В соответствии с определением 4.5 плотности распреде. ления х 01Ь=О, х<1; Р(х) = | е~р х — 1 — — х > 1. уэ х 1 в. Графики функций р(х) и Р(х) иэображены на рис. 4.21 и 4.22. г р(2 <х< 31=Р(3) — Р(2) = 3 — % = а. д. Вероятность того, что Х не попадет в интервал (2,3) при одном испытании равна 1 — 1/6 = 5/6, та же вероятность при четырех испытаниях равна (5/6)4 — 0,48.
Рис. 4.21 Рис. 4.22 156 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Пример 4.10. Случайное отклонение размера детали от номинала имеет нормальное распределение со средним значением т = 1мм и средним квадратвичнмм ояисаокснвсм о = 2мм. Найдем: а) вероятность того, что отклонение от номинала будет отрицательным; б) процент деталей, размер которых будет иметь отклонение от номинала не более 5мм; в) верхнюю границу отклонения от номинала, обеспечиваемую с вероятностью 0,9. Обозначим через Х отклонение от номинала.
Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами т = 1 мм и о = 2мм. а. Используя формулу (4.3) и данные из табл. П.З, содержащей значения интпеграло Лапласа, находим: Р(Х < О) — Фо( ) Фо( )— г-11 = Фо ( — ) — Фо(-оо) = -0,19146 — (-0,5) = 0,30854. б. Аналогично Р1-5 < Х < 5) = Фо( 2 ) Фо( 2 ) = Фо(2) — Фе(-3) = 0,47725 — ( — 0,49865) = 0,9759. Таким образом, в пределах допуска ~бмм находится 97,59% деталей. в.
Для ответа на третий вопрос нужно найти такое число и+, при котором Р1Х < я+1 = 0,9. Поскольку Р(Х <х ) Фо( ) Фо( ) = Фо( ) + 0,5 = 0,9, 157 4.7. Решеиие типо ввш примеров то Фо ( — *) = 0,4, = 1,28 и х+ = 3,56. Значит, с вероятностью 0,9 отклонение от номина- ла будет меньше 3,56. Пример 4.11. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами т = 0 и о'. При каком значении среднего квадратичного отклонения а вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал (а,Ь), 0 < а < Ь < оо, будет наибольшей? Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (а, Ь) можно определить по формуле (4.3): Р(а < Х < Ь) = Фо(-) — Фо (-).
Поскольку Фо(Ь!сг) и Фо(а/о) — дифференцируемые по а функции, то необходимым условием экстремума является равенство нулю производной (Р(а < Х < Ь))'„. Отсюда, согласно определению интеграла Лапласа, имеем (Р(а < Х < Ь)),', = - — гу( — ) + — 222( — ) = О, где 1 <р(х) = — е * / ~/2~г есть плотность стандартного нормального распределения. Производя элементарные арифметические преобразования, приходим к уравнению -ее/12ее) Ь -Ье/(гее) относительно а > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
