XVI_Terver (969543), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Какая связь существует между совместными и зависимыми событиями? 3.6. Какие события называют гипотезами? 3.?. Напишите формулу полной вероятности. 3.8. Напишите формулу Байеса. 3.9. Что называют схемой Бернулли? 3.10. Напишите формулу Бернулли. 3.11. Напишите формулу для вероятности того, что в п испытаниях по схеме Бернулли число успехов будет заключено в пределах от Й1 до йз. 3.12. Напюпите формулу для вероятности того, что в и испытаниях по схеме Бернулли произойдет, по крайней мере, один успех.
3.13. Напишите формулу Пуассона. 3.14. Напишите локальную формулу Муавра — Лапласа. 3.15. Напишите интегральную формулу Муавра — Лапласа. 3.16. В каких случаях можно применять формулу Пуассона? 3.17. В каких случаях можно применять локальную формулу Муавра — Лапласа? Воиросы и задачи 119 3.18. В каких случаях можно применять интегральную формулу Муавра — Лапласа? 3.19.
Что называют полиномиальной схемой? 3.20. Напишите формулу для вероятности того, что в полиномизльной схеме событие А| произойдет ровно п1 раз, ..., событие А,„произойдет ровно п рзз. 3.21. Подбрасывают наудачу три игральные кости. Наблюдаемые события: А — на трех костях выпадут разные числа очков,  — хотя бы на одной из костей выпадет „шестерка". Вычислите Р(А~В) и Р(В|А). Ответ: Р(А~В) =60/91, Р(В~А) =1/2. 3.22. В шкаф поставили девять новых однотипных приборов.
Для проведения опыта берут наугад три прибора, после работы их возвращают в шкаф. На вид прибор, бывший в употреблении, не отличается от нового. Определите вероятность того, что после проведения трех опытов в шкафу не останется новых приборов. Ответ: Р=1 (6/9 5/8 4/7) (3/9 2/8 1/7) -0,0028. 3.23. На карточках разрезной азбуки написаны 32 буквы русского алфавита. Пять карточек вынимают наудачу одна за другой и укладывают на стол в порядке появления.
Найдите вероятность того, что получится слово „КОНЕЦ". Ответ: Р= 1/32 1/31 1/30 1/29 1/28 м4,14 10 з. 3.24. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Если студент не отвечает на один вопрос, преподаватель задает другой. Найти вероятность того, что студент сдаст зачет. Ответ: Р=1 — 1/29-0,966. 3.25. Два стрелка стреляют в цель, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого стрелка вероятность попадания в цель равна 0,7, для второго — 0,8.
Какова вероятность попасть в цель хотя бы одному стрелку? Ответ: Р=0,94. 120 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ 3.26. Система состоит из 2 четырех узлов (рис. 3.5). Веро- 1 4 ятности Р; безотказной работы узлов равны соответствен- 3 но Р1, Р2, Рз и Р4. Вычислите вероятность безотказной рабоРис. З.В ты всей системы. Ответ: Р = Р1 [1 — (1 — Р2) (1 - Рз)) Р4. 3.27.
При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживают с вероятностью р. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Найдите вероятность того, что при и циклах объект будет обнаружен. Ответ: Р= 1 — (1 — р)". 3.28. В первой урне лежат 10 шаров, иэ них восемь бельп~, во второй — 20 шаров, из них четыре белых. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару, а затем из этих двух наудачу берется один шар. Найдите вероятность того, что это будет белый шар. Ответ: Р=05. 3.29.
На шахматную доску ставят двух слонов: белого и черного. Какова вероятность того, что при первом ходе один слон может побить другого? Ответ: Р=б/36 0,139. 3.30. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго — 10% и третьего — 5%. Определите вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30 телевизоров с первого завода, 20 — со второго и 50 — с третьего.
Ответ: Р=0,895. 121 Вопросы и задачи 3.31. На заводе, изготавливающем болты, на первом станке производят 25%, на втором 35% и на третьем 40% всех изделий. В продукции брак составляет 5%, 4% и 2% соответственно. а) Найдите вероятность того, что случайно выбранный болт будет дефектным. б) Пусть случайно выбранный болт оказался дефектным. Найдите вероятности Р1, Рз и Рз того, что болт был произведен на первом, втором, третьем станке.
Ответ: а) Р = 0,0345; б) Р1 = 125/345-0,36, Рг = 140/345- 0,406, Ръ = 80/345 - 0,23. 3.32. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго — 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Определите вероятность того, что в цель попал первый стрелок.
О т в е т: Р = 6/7 0,857. 3.33. Три стрелка производят по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для каждого из стрелков равны Р1 > Рз и Рз соответственно. Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если после стрельбы в мишени оказались две пробоины? Ответ: Р1(1 — Рз)Рз (1 Р1)РзРз+ Р1(1 Р2)Рз + Р1Рз(1 Рз) 3.34. Наудачу подбрасывают три монеты. Найдите вероятность того, что вьшадут ровно два „герба".
Ответ: Р= 3/8-0,375. 3.35. Бросают пять игральных костей. Вычислите вероятность того, что на трех из них выпадет пятерка. Ответ: Р = С~а(1/6)~(5/6)з -0,032. 122 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ 3.36. Бросают 10 одинаковых игральных костей. Определите вероятность того, что ни на одной иэ них не выпадет шесть очков. Ответ: Р = (5/6)1о-0,16. 3.37. Оптовая база снабжает 10 магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4 независимо от заявок других магазинов. Найдите вероятность того, что в день поступит четыре заявки.
Ответ: Ры0,251, 3.38. Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки — 0,485. В некоторой семье шестеро детей. Какова вероятность того, что среди них не более двух девочек? Ответ: Р-0,3723. 3.39. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (ничейный исход исключается) три партии из четырех или нять из восьми? О т в е т: Вероятнее выиграть три партии из четырех. 3.40. Сколько нужно параллельно соединить элементов, вероятность безотказной работы каждого нз которых за время 1 равна 0,9, чтобы вероятность безотказной работы всей систе. мы за время 4 была не менее 0,999? Ответ: не менее трех. 3.41.
Известно, что на выпечку 1000 булочек с изюмом нужно израсходовать 10000 иэюмин. Найдите вероятность того,что: а) наудачу выбранная було пса не будет содержать изюма; б) среди пяти выбранных наудачу булочек две не будут содержать изюм, а в остальных будет хотя бы по одной изюмине. Ответ: а) Р = е 'о — 0,0000468; б) Р Са~е-1о)э~1 е-~о)э-219.10-в Волросы я задачи 123 3.42. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов.
Вероятность того, что в течение минуты какому-либо абоненту понадобится соединение, равна 0,0007. Вычислите вероятность того, что за минуту на телефонную станцию поступит не менее трех вызовов. Ответ: Р-1 — Р(0; 0,7) — Р(1; 0,7) -Р(2; 0,7) = 0,03414. 3.43. Известно, что 40% автомобилей, следующих по шоссе, у развилки поворачивают направо и 50% — налево.
Какова вероятность того, что из 400 автомобилей, проехавших по шоссе, ровно 250 повернули налево? Ответ: Р ~ ~р(1,02)/~/460 6,4 6,6 0,024. 3.44. Симметричную монету подбрасывают 10000 раз. Найдите вероятность того, что наблюденная частота выпадения „герба" будет отличаться от 1/2 не более чем на 2%. Ответ: Р-Фе(2) — Фе(-2) =0,9545. ЗА5. Найдите вероятность того, что среди 10 случайным образом выбранных человек у четырех дни рождения будут в первом квартале, у трех — во втором, у двух — в третьем и у одного — в четвертом. Ответ: Р= 10! 0,25~с/(4!3!2!1!) 0,012.
4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛу СВАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В предыдущих главах мы изучали случайные события, что позволяло нам исследовать вероятностные свойства (закономерности) случайных экспериментов на качественном уровне („да" — „нет"): попадание в цель — промах, отказал прибор за время $ — не отказал и т.д. Однако с момента возникновения теории вероятностей ее основной задачей было изучение не вероятностных свойств экспериментов со случайными исходами, а связанных с этими экспериментами числовых величин, которые естественно назвать случайными величинами. Начиная с настоящей главы и до конца книги мы будем изучать именно случайные величины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
