XVI_Terver (969543), страница 20
Текст из файла (страница 20)
т 1,5 Наконец, поскольку автомобиль в любом случае проведет у перекрестка не более 0,5 мин, то Р(я) =1, х>0,5. Таким образом, О, х < 0; Р(я) = —, О < я < 0 5; ) 1, х > 0,5. ГраФик функции распределения Р(х) приведен на рис. 4.5. Отметим, что в рассмотренном примере случайная величина Х представляля собой „смесь" дискретной и непрерывной случайных величин, причем Р(Х = 0) = Р(+0) — Р(0) — скачку функции распределения в точке я = О.
Можно привести и более сложные примеры, в которых случайные величины уже не являются „смесью" дискретной и непрерывной составапощих, однако зти примеры нужно отнести к разряду математических абстракций. 140 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Рис. 4.6 4.6. Некоторые непрерывные случайные величины Приведем примеры некоторых наиболее важных раснределеннй непрерывных случайных величин. То, что приводимые функции Р(х) являются функциями распределения, следует из замечания 4.1 и проверяться не будет. Равномерное распределение.
Случайнал величина имеет равномерное распределение на отрезке (а, Ь1, если ее плотпность распределения — а <х <Ь; 1 р(.) ь- ' О, х<а или х>Ь. Легко видеть, что фуннння распределения в этом случае определяется выражением Р(х) = 1'рафики плотности распределения р(х) и функщ4и распределения Р(х) приведены на рис. 4.6 и 4.7. О, х-а Ь вЂ” а' 1, х<а; а<х<Ь; х>Ь. 4.6.
Некоторые яепрерыввые случайные величавы 141 Рис. 4.7 Рис. 4.6 Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в интервал (х1, хг), лежащий внутри отрезка (а, О), равна г'(хг) — г'(х1) = (хг — х1)/(6 — а), т.е. пропорциональна длине этого интервала. Таким образом, равномерное распределение реализует схему геометрической вероятности при бросании точки на отрезок (а, Ь). Экспоиеициальное распределение. Случайная величина распределена по экскокеккиалькомр (покаэапьелькому) эакоку, если она имеет плотность распределения О, х < 0; Л >О где Л > 0 — параметр экспоненциального распределения. Для функции распределения в данном случае нетрудно получить следующее выражение: О, х< 0; Р(х) = ГраФики плотности распределения и функции распределения экспоненциально распределенной случайной величины приведены на рис.
4.8 и 4.9. 142 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Рис. 4.8 Рис. 4.9 Экспоненцизльно распределенная случайная величина может принимать только положительные значения. Примером случайной величины, имеющей экспоненцизльное распределение, является время распада радиоактивных элементов. При этом число 1 Т=— Л называют средним временем распада. Кроме того, употребляют также число 1п2 То =— Л ' называемое периодом полураспада. Название „период полураспада" основано на следующем физическом соображении. Пусть у нас первоначально имелось н атомов вещества.
Тогда спустя время То каждый атом распо дется с вероятностью 1 1 р=Г(То) =1 — е =1 — — = —. -МсгР 2 2 Поэтому в силу независимости отдельных распадов чисоо распавшихся эа время То атомов имеет биномиильное распределение с р = д = 1/2. Но, как мы увидим далее, согласно закону больигия чисел (см. 9.2), при больших н это число будет примерно равно и/2, т.е. период полураспада То представляет собой 4.б.
Некоторые кепрерыппые сеучейпые ееепчппы 143 время, в течение которого распадается половина имеющегося вещества. Экспоненциально распределенная случайная величина Х обладает весьма важным свойством, которое естественно назвать отпсутпстпвие.ы иоследебстпеил. Трактуя Х как время распада атома, рассмотрим событие А = (х1 < Х < х1+хг) и найдем условную веролтвкоствь этого события при условии выполнения события В = (Х > х1). В соответствии с определением условной вероятности Р(А~В) = Р(В) Но событие АВ, как нетрудно понять, совпадает с событием А.
Поэтому Р(А~В) = —. Р(А) Р(В) Далее, используя свойство 4 функции распределения (см. теорему 4.1), имеем: Р(А) = Р(х1 < Х < х1+ хз) = = (1 — е "1*'+*'~) — (1 — е "*') = е '(1 — е '), Р(В) = Р1Х ) х11 = 1 - Р(Х < х1) = е ~'. Значит, Р(А~В) = =1 — е ~'. е ~к' Таким образом, вероятность распада атома за время хз при условии, что перед этим он уже прожил время хм совпадает с безусловной вероятностью распада того же самого атома за 144 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ время хз. Именно зто свойство и представляет собой отсутствие последействия.
Допускал некоторую вольность речи, отсутствие последействия можно трактовать как независимость остаточного времени жизни атома от того времени, которое он уже прожил. Можно показать и обратное: если случайная величина Х обладает свойством отсутствия последействия, то она обязательно должна быть распределена по экспоненциальному закону. Таким образом, отсутствие последействия является хз рактеристическим свойством экспоненциально распределенных случайных величин.
Практика показывает, что экспоненциальное распределение имеют и другие физические величины, например: времена между падениями метеоритов в определенный район, времена между соседними поступлениями вызовов на телефонную станцию и т.д. Экспоненциальное распределение тесно связано с распределением Пуассона, а именно: если времена между последовательными наступлениями некоторого события представляют собой независимые (определение независимости случайньпс величин будет дано в 5.4) экспоненцизльно распределенные (с одним и тем же параметром Л) случайные величикы, то число наступлений этого события за время $ распределено по закону Пуассона с параметром Л$. Отметим также, что дискретным аналогом экспоненциального распределения являетсл геомеп1рическое распределение.
Нормальное распределение. Случайная величина распределена по нормальному (или гауссову) закону, или имеет нормальное (гауссово) распределение, если ее плотность 1 (я — ив) ~ ~ртьо(х) = е 2о' ( — оо < т <+со, о ) 0). о ~~2~г Нормальное распределение зависит от двух параметров: т, называемого ма~пемапзическим ожиданием или средним 4.б. Невоторно вепрерьтввые случвйвые воавчввьт 145 значением, и о, называемого средннм кеадратпинньтм отпклонением.
Графики плотности ~ро,„(х) и функции нормального распределения для различных значений тп и о приведены на рис. 4.10 и рис. 4.П. Рис. 4.10 Рис. 4.11 Как следует из этих рисунков, параметр тп опредеяяет положение „центра симметрии" плотности нормального распределения, т.е. график плотности нормального распределения симметричен относительно прямой х = тп, а а — разброс значений случайной величины относительно центра симметрии. Если тп = 0 и о = 1, то такой нормальный закон называ ют стпандартпным и его функцию распределения обозначают Ф(х), а плотность распределения — у(х). С тьвотпностпмо и функцией стпандартпного нор.вольного распределения мы уже встречались в локальной и интпегральной формулах Муаера— Лапласа (см.
3.6). Как известно вз курса математического анализа Щ, инте- -вт 'г грал ) е * гах не может быть выражен через элементарные фув.'кции. Поэтому во всех справочниках и в большинстве учебников по теории вероятностей приведены таблицы значе- 146 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ний функции стандартного нормального распределения. Напомним, что в табл. П.З даны значения иг«гаегра,аа Лапласа а Фо(х) = / «р(у)Иу. Покажем, как, используя эту таблицу, нанти о вероятность попадания случайной величины, распределеннои по нормальному закону с произвольными параметрами ги и «г, в интервал (а, 6).
В соответствии со свойством 2 плотности распределения (см. теорему 4.2) вероятносгь попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами гп и о', в интервал (а, Ь) задается формулой у «г~~2~г Проводя замену х = (у — га)/«г, этот интеграл можно записать в виде (6-па)/а' (Ь-гв)/а Р(а < Х < Ь) = « — е * /~«(х = (««(х)«(х. ./ 42я (а-п~)/а (а-«в)/а Таким образом, окончательно получаем Р(а<Х<Ь)=Фо~ — ) — Фо~ — ~ (43) о ) ~, «г Распределение Вейбулла. Случайнал величина распределена по эаиоку Веббулла, если она имеет плотность распре.
деления х<0; х > 0 (а > О, /3 > 0). 4.б. Некоторые веврерыввые сеучаввые веквчввы 147 Нетрудно проверить, что функция распределения в этом случае определяется следующим выражением: (о, х<0; х>0 (се>0, ~У>0). Семейство распределений Вейбулла является двухпараметрическим (а,,д — параметры) и описывает положительные случайные величины. Графики плотности р(х) и функции Р(х) распределения Вейбулла представлены на рис. 4.12 и 4.13.
Рис. 4.13 Рис. 4.12 Считают, что распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. Если д = 1, то распределение Вейбулла превращается в экспонешпеальное распределение, а если,О = 2 — в так называемое распределение Релея (эакон Реяея). Гамма-распределение. Другим распределением, также достаточно хорошо описывающим времена безотказной работы различных технических устройств, является гамма-распределение с плотностью О, х< 0; р(х) = Л7хт 1 е ~, х>0 (Л>0,'у>0), г(у) 148 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ где Г(7) = х е *ах о есть гамма-функция Эйлера [УЦ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
