XVI_Terver (969543), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пространство элементарных исходов й состоит из 2" исходов, каждый из которых отождествляется с определенной последовательностью УНН...У. З.б. Схема Беряуххя Каждому элементарному исходу ы =УНН...У можно поставить в соответствие вероятность Р(ат) = Р(УНН...У) В силу независимости испытаний события У,Н,Н,...,У являются независимыми в совокупности, и потому по теореме умножения вероятностей имеем Р( )=р'д" ', т'=б,п, Формрлу (3.7) называют также биномиальноб, так как ее правая часть представляет собой (Й+ 1)-й член формулы бинома Ньютона 11]. 1 = (р+ д)" = С„д" + С~р д" ~ +... + Сйр "д™ +... + Сир". Набор вероятностей Р„(Й), Й = 6, п, называют биномиальным распределением ееролтпностпеб. Из формулы Бернулли вытекают два следствия.
1. Вероятность появления успеха (события А) в и испытаниях не более Й1 раз и не менее Йз рзз равна: йт Р(Й,<Й<Й,~= ~С»р'д™. й=йт (3.8) если в и испытаниях успех „У" имел место т раз, а неуспех „Н", следовательно, п — т раз. Событие А» происходит всякий раз, когда реализуется элементарный исход ат, в котором т' = Й.
Вероятность любого такого элементарного исхода равна р"д" ". Число таких исходов совпадает с числом способов, которыми можно расставить Й букв „У" на и местах, не учитывая порядок, в котором их расставляют. Число таких способов равно Сй. Так как Ай есть объединение (сумма) всех указанных элементарных исходов, то окончательно получаем для вероятности Р(А») = Р„(Й) формулу (3.7). ~ 102 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.
СХЕМА БЕРНУЛЛИ Это следует из того, что событвл Аь при разных й явллютсл несовместными. 2. В частном случае при й1 = 1 и Йэ = п из (3.8) получаем формулу для вычисления вероятности хотя бы одного успеха в и испытаниях: Р(й>Ц 1 а (3.9) Пример 3.11. Монету (симметричную) подбрасывают п = = 10 раз. Определим вероятность выпадения „герба": а) ровно пять раэ; б) не более пяти рэз; в) хотя бы один раз. В соответствии с формулой (ЗЛ) Бернулли имеем: /1~ 1о 262 а) Р1о(5) = С1о ~ — ~ = — =0,246; ~2~ 1024 ) ( ) с1о+ с1о+ с1о+ с|о+ с1о+ с1о 1024 — 0,623; 638 1024 ~ ~1о в) Р(й > Ц = 1 — ~ — ~ 0,999.
1,2~ Пример 3.12. Вероятность выигрьппа на один лотерейный билет равна 0,01. Определим, сколько билетов нужно купить, чтобы вероятность хотя бы одного выигрьппа в лотерее была не менее заданного значения Р, = 0,9. Пусть куплено и билетов. Предположим, что общее число билетов, разыгрывающихся в лотерее велико (во много раз больше купленных билетов). При этом можно считать, что каждый билет выигрывает независимо от остальных с вероятностью р = 0,01. Тогда вероятность получить й выигрьппных билетов можно определить, используя формулу Бернулли.
В частности, согласно (3.9), имеем при д = 1-р: РР>Ц 1 в 1 (1 )э>Р 103 З.б. Схема Беряулля откуда получаем 1п(1 — Р,) 1п0,1 1п(1-р) 1п0,99 Таким образом, нужно купить не менее 230 лотерейных биле- тов. При больших значениях числа испытаний и использование формулы Бернулли затруднительно в вычислительном плане. Здесь существенную помощь могут оказать приближенные формулы. Пусть число испытаний п по схеме Бернулли „велико", а вероятность успеха р в одном испытании „мала", причем „малб" также произведение Л = пр. Тогда Р„(й) определяют по приближенной формуле Р„(й) — —,е Л" й! Й=О,п, Замечание 3.5.
Слова „малб" и „велико" здесь и далее носят относительный характер. Рекомендации по выбору численных значений соответствующих величин будут приведены ниже. Пример 3.13. Вероятность выпуска бракованного сверла равна 0,015. Сверла укладывают в коробки по 100 штук. Найдем вероятность того, что в коробке, выбранной наудачу, не окажется ни одного бракованного сверла.
называемой формулой Пуассона. Совокупность вероятностей Р(*я; Л) = Л"е "/й!, й = О, 1, ..., называют распределением Пуассона. Значения функции Р(й; Л) для некоторых Л приведены в табл. П.1. Формула Пуассона справедлива также для числа неудач, но только в том случае, когда „малб" Л' = пд. 104 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Очевидно, что мы имеем дело со схемой Бернулли, причем и = 100, р = 0,015 и й = О. Поскольку число и испытаний „велико", а вероятность успеха р в каждом испытании „мала", воспользуемся приближенной формулой Пуассона, в которой Л =пр= 100 0,015 =1,5.
Тогда искомая вероятность е-ц51 50 Р - , ' = Р(0; 1,5). По табл. П.1 находим Р(0; 1,5) = 0,22313. Локальная формула Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний и „велико", причем „велики" также вероятности р успеха и у неудачи, то для всех Й справедлива приближенная формула ъ/ййр (л) ~ Ч3(х), называемая лональной формулой Муавра — Лапласа, где Й вЂ” пр /йЯ ' -е~/2 у(х)= — е *~. ~2х Функцию у называют плопзностпью спзандарпьного нормального (или гауссоеа) распределения. Значения функции ~р для некоторых х приведены в табл.
П.2. Поскольку функция ~р является четной, то при определении ~р для отрицательных х нужно воспользоваться равенством 105 З.б. Схема Бераулаи Пример 3.14. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Определим вероятность того, что при 400 выстрелах произойдет ровно 300 попаданий. В данном случае евеликиа и число п = 400 испытаний, и вероятности р = 0,8 успеха и д = 1 — р = 0,2 неудачи в одном испытании, поэтому воспользуемся локальной формулой Муавра — Лапласа при й = 300. Получим: ~/щщ= ~(40)) 0,8З,2=8, й — пр 300 — 320 х— — 5 — — 2, ~/йЯ 8 у(-2,5) 8 Отсюда, учитывал четность функции у(х), с помощью табл.
П.2 окончательно получаем 0>01753 0 0022. 8 Интегральная формула Муавра — Лапласа. Если число и испытаний по схеме Бернулли „велико", причем „велики" также вероятности р успеха и д неудачи, то для вероятности Р(й1 < й < йз) того, что число успехов й заключено в пределах от й1 до йз, справедливо приближенное соотношение Р(й1 <й(йз) Ф(хз)-Ф(х1)) называемое интегральной формулой Муавра — Лапласа, где й1 — пр йз — пр /аЯ ' /йЯ 1 Ф(х) = ~р(у)ду= — / е "~~йу. ~/2~г 106 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.
СХЕМА БЕРНУЛЛИ Функцию Ф(х) называют фуииииеб спзондортпного нормального (или гоуссоео) распределения, Определение З.Т. Функцию Фо(х) = /р(9) оу = — ~ е " / ср ~/2я,/ о о называют инпиегралом Лапласа. В табл. Н.З приведены значения Фе(х) для положительных х. В силу четности /Р(х) интеграл Лапласа Фе(х) являетсл нечетной функцией, т.е. Фе(-х) = Фо(х) и, кроме того, 1 ф(х) =фо(х)+-. 2 Используя интеграл Лапласа, интегральную формулу Муавра — Лапласа можно записать в виде Р(Й1 ( й ( йд ~ Фо(хз) - Фо(х1) Пример 3.1б. Найдем вероятность того, что при 600 бросаниях игральной кости выпадет от 90 до 120 „шестерок". Воспользуемся интегральной формулой Муавра — Лапласа, в которой нужно положить 90-600.1/6 1/600 1/6 ° 6/6 120-600 1/6 0/600 1/6 6/6 Тогда искомая вероятность приближенно равна: Р Фо(2,19) — Фо(-1,10) 107 З.б.
Схема Бернулли В соответствии с табл. П.З имеем Р 0,48574+ 0,36433 = 0,85007. ф Дадим некоторые рекомендации (носящие, вообще говоря, условный характер) по применению приближенных формул. Если число испытаний и = 10, 20, то приближенные формулы используют для грубых прикидочных расчетов.
При этом формулу Пуассона примеюпот в том случае, когда Л = пр или Л' =пд изменяются в пределах от 0 до 2 (при в = 10) и от 0 до 3 (при и = 20); в противном случае необходимо пользоваться формулами Муавра — Лапласа. При и = 20, 1% приближенные формулы уже можно использовать для прикладных инженерных расчетов. Формулу Пуассона рекомендуется применять, когда Л или Л' заключены в пределах от 0 до 3 (при и = 20) и от 0 до 7 (при п = 100). Если и = 100, 1000, то практически в любых инженерных расчетах можно обойтись приближенными формулами.
Формулу Пуассона используют в случае, когда Л или Л' изменяются в пределах от 0 до 7 (при и = 100) и от 0 до 15 (при п = 1000). Наконец, при п ) 1000 даже специальные таблицы рассчитывают с помощью приближенных формул (правда, для увеличения точности используют специальные поправки). В этом случае для применения формулы Пуассона необходимо, чтобы Л или Л' лежали в пределах от 0 до а, где а = 15 при и = 1000 и увеличивается с ростом и.
Во многих задачах рассматривают такие независимые одинаковые испытания, в каждом из которых может произойти не одно из двух несовместныз собыщий (успех и неудача), как в схеме Бернулли, а одно из тп таких событий. Определение 3.8. Опыт, состоящий в и-кратном повторении одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых может произойти одно и только одно иэ пь несовместных событий А~, ..., А,„, причем событие А; наступает с вероят- 108 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.
СХЕМА БЕРНУЛЛИ постыл р;, называют полиномиальной (мульизиноминаль- ной) схемой. Теорема 3.9. Вероятность Р(п1,...,п,„) того, что в и испытаниях событие А1 произойдет ровно и1 раз, событие А2 произойдет ровно п2 раз, ..., событие А произойдет ровно и,„ Раз (и1+и2+ ° +%л п)~ равна п! И1 %и! м По аналогии со схемой Бернулли в полиномиальной схеме исход каждого опыта можно записать в виде набора чисел Й1, Й2, ..., й„, й; = 1, и2, где число й; на 1-м месте означает, что в 1-м испытании произошло событие А», Поскольку испытания являются независимыми, то исходу й1, й2, ..., й„ соответствует вероятность р»1 ...р»„, которую можно записать в виде р1' ...р,"„'"> где пю й = 1, т, — число испытаний, в которых произошло событие А».
Теперь, для того чтобы найти вероятность Р(п1,...,и,а), необходимо подсчитать число способов, которыми п1 символов А1, и2 символов А2, ..., п символов А,„можно расставить на п местах (см. также 2.2). Поскольку порядок расстановки не существенен, то п1 символов А1 можно расставить на и местах С,",' способами. Затем па символов А2 можно расставить на оставшихсл и — и1 местах С„"'а, способами. ПРоДолжаЯ зту процедуру и используя основную формулу комбинаторика, получаем, что общее число способов равно: Са1 СЛ2 Сп ' х и я-а1 " ' я-а|-...-а„, п1. (и — и1). (и - и1)! (и - п1 - " - и -1)! и! х и2 ! (п п1 п2)! п,„!О! и1!п2.'...и ! Отсюда приходим к утверждению теоремы. > Набор вероятностей Р(п1,..., и,„) также называют полиномиальным распределением. 109 З.Т.
Ревниво типовых примеров Вероятность Р(пм...,и,„) можно получить как коэффициент при х"' ...х,"„в разложении полинома (Р1х1+" +Ртхт)" по степеням хп ..., х~а. Пример 3.16. В некотором государстве живут 60% блондинов, 25% брюнетов и 15% шатенов. Найдем вероятность того, что среди восьми наудачу отобранных подданных этого государства окажутся четыре блондина, три брюнета и один шатен.
В данном случае мы имеем дело с полиномиальной схемой, в которой пт = 3, р1 = 0,6, рэ = 0,25, рз = 0,15,п = 8,п1 = 4,пэ = 3 и пэ = 1. Тогда Замечание 3.6. Иногда в практических приложениях рассматривают обобщенную схему Бернулли или обобщенную пояиномиояьную (муяьптноминояьную) схему, для которой третье условие в определениях схемы Бернулли или полиномиальной схемы заменяют следующим: вероятность р успеха или вероятность рь появления события Аь в е-м испытании могут меняться с изменением номера т' = 1, п.
Для обобщенных схем также можно указать соответствующие формулы для вероятностей сложных событий, рассматривавшихся выше'. 3.7. Решение типовых примеров Пример 3. 17. Одновременно бросают две игральные кости (белую и черную). Рассмотрим следующие события: А — на белой кости выпало более двух очков;  — в сумме выпало четное число очков; С вЂ” в сумме вьшало менее десяти очков. 'Венпщевь Е.С. теорие веровтиостей.
М.: Наука, 19б9. 110 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Вычислим условные верояп1ности Р(А)В), Р(В)А), Р(А~С), Р(С~А), Р(В~С) и Р(С~В) и определим, какие иэ событиб А, В и С являютсл независимььни. Нетрудно подсчитать в соответствии с классическим опре- делением вероятности, что 2 1 5 Р(А) = —, Р(В) = —, Р(С) = —, 3' 2' 6' Р(АВ) = —, Р(АС) = —, Р(ВС) = —. 1 1 7 3' 2' Г8 Поэтому Р(А~В) = —, Р(В~А) = —, Р(А~С) = —, 2 1 3 3' 2' 5' 3 7 7 Р(С~А) = —, Р(В~С) = —, Р(С~В) = —. 4' 15' 9 Отсюда, в частности, следует, что независимыми являются события А и В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
