XVI_Terver (969543), страница 14
Текст из файла (страница 14)
При корректном построении вероятностной модели второе трансформируется в первое, но зто может быть не всегда. 93 ЗА. Формула полной неронтноотн 3.4. Формула полной вероятности Предположим, что в результате опыта может произойти одно из н событвий Ны Нз, ..., Н„, которые удовлетворяют следующим двум условиям: 1) они являются попарно несовместннымн, т.е.
при афти; 2) хотя бы одно из них обязательно должно произойти в результате опыта, другими словами, их объеднненне есть достоверное событвне, т.е. Определение 3.5. События Ны Нз, ..., Н„удовлетворяющие условиям 1 и 2, называют гнтаотпезамп. Заметим, что если события удовлетворяют второму из двух укаэанных требований, то их совокупность называют ттолной грутттаой событтанй. Таким образом, гипотезы — это попарно несовместные события, образующие полную группу событий. Пусть также имеется некоторое событие А и известны веролтиносвти гипотез Р(Нт), ..., Р(Н„), которые предполагаются ненулевыми, и условные веролнтноснти Р(А~Нт), ..., Р(А~Н„) события А при выполнении этих гипотез. Задача состоит в вычислении безусловной веролтвноснти события А.
Для решения этой задачи используют следующую теорему. Теорема 3.6. Пусть для некоторого события А и гипотез Нт, ..., Н„известны Р(Нт), ..., Р(Н„), которые положительны, и Р(А~Нт), ..., Р(А~Н„). Тогда безусловную вероятность Р(А) определяют по формуле Р(А) = Р(Н1) Р(А~Нт)+... + Р(Н„) Р(А~Н„), (35) которую называют формулой полной веролтпностпи. 94 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.
СХЕМА БЕРНУЛЛИ м Представим событие А в виде А = Ай = А(Нг +... + Н„) = АН1 +... + АН„ (на рис. 3.2, область, соответствующал событию А, заштрихована). С учетом того, что события АН;, г = 1, п, несовместны, имеем Р(А) = Р(АНг)+... +Р(АН„). В соответствии с формулой умкоженея верояпгностпей полу- чаем Р(АН,) = Р(Н,) РЩН,), ..., Р(АН„) = Р(Н„) Р(А~Н„).
Поэтому Р(А) = Р(Нг) Р(А~Н1) +... +Р(Н„) Р(А~Н„). в. Н, АНг Н„ Рис. 3.2 Формула полной вероятности при всей своей простоте играет весьма существенную роль в теории вероятностей. 95 3.4. Формуле поляой вероетлоети Пример 3.7. Путник должен попасть из пункта В в пункт А в соответствии со схемой дорог изображенной на рис. 3.3. Выбор любой дороги в любом пункте равновозможен. Найдем вероятность события А — достижения путником намеченной цели.
Для того чтобы попасть в пункт А, путник должен пройти один ю промежуточных пунктов Н1, Нз или Нз. Введем гипотезы Н;, где Н; означает, что путник выбрал в пункте В путь, ведущий в пункт Н;, 1 = 1,2,3. Ясно, что события Н; несовместные и одно из них обязательно происходит, причем в силу равновозможности выбора дорог из В в Н; Р(Н )— Остается вычислить условные вероятности Р(А~Н;), которые легко найти, если рассматривать новое просеврансшво элелеекшаримх исходов, соответствующее выбранной гипотезе Н;. Например, появление Н1 означает, что есть два равновозможных исхода (ю пункта Нз выходят две дороги), из которых лишь один благоприятствует событию А, т.е. А Р(А~Н1) = —. 1 Аналогично находим, что Р(А~Нз) =— 1 4 Рис. З.З Р(А~Нз) = О.
Согласно Формуле 3.5 полной вероятности, получаем 1 /1 1 Р(А) = — ~-+ — +0 = 0,25. ф 3 ~2 4 96 а УслОВнАЯ ВеРОЯтнОсть. схемА БеРнУлли Заметим, что данная задача может иметь техническую интерпретацию: сеть дорог — это сеть каналов передачи информации, а Р(А) — вероятность предачи сообщения по такой сети.
Пример 3.8. Студент Иванов выучил все Ф = 30 экзаменационных билетов, но иэ них на „пять" — лишь Ж1 = 6. Определим, зависит или нет вероятность извлечения „счастливого" билета (событие А) от того, первым или вторым выбирает Ивз нов свой билет. Рассмотрим две ситуации. Иванов выбирает билет первым. Тогда Ф1 6 1 Р(А) = — = — = —. Ю 30 5 Иванов выбирает билет вторым. Введем гипотезы: Н1— первый извлеченный билет оказался „счастливым", Нз — „несчастливым". Ясно, что В силу формулы (3.5) полной вероятности 1 5 4 6 1 Ф1 Р(А) — — — +— 5 29 5 29 5 Ж ' что совпадает с первой ситуацией. Изменится ли ответ, если Иванов будет выбирать билет третьим, четвертым, ..., последним? 3.5.
Формула Байеса Пусть по-прежнему некоторое собышие А может произойти с одним из событий Нм ..., Н„, образующих полную группу Ф, 1 Р(Н,) = — = —, Ф 5' Р(А)Н~) = Ф вЂ” 1 29' Ф вЂ” Ф1 4 Р(Н)= — =-, Ф 5' Р(А~Нг) = — = —. Н1 6 Ф вЂ” 1 29 97 3.5. Формула Байеса попарно несовмвстпныя событпий, называемых, как уже отмечалось, гипотпвзами. Предположим, что известны веролтпностпи гипотез Р(Нт), ..., Р(Н„) (Р(Н;) ) О, т = Гп) и что в результате опыта событие А произошло, т.е. получена дополнительнаа информация. Спрашивается, как „иэменятсяа вероятности гипотез, т.е. чему будут равны условные веролтпностпи Р(Н1 ~А), ..., Р(На~А), если известны также условные вероятности Р(А~Нт), ..., Р(А~Н„) события А7 Для ответа на этот вопрос используют следующую теорему.
Теорема 3.7. Пусть для некоторого события А, Р(А) > О, и гипотез Нм ..., Н„известны Р(Нт), ..., Р(На) (Р(Н,) > О, т = Гп) и Р(А~Нт), ..., Р(А~Н„). Тогда условная вероятность Р(Н,~А), т = 1, и, гипотезы Н; при условии события А определяется формулой Байесп Р(Н,)Р(А~Н;) Р(Нт)Р(А$Нд) +" + Р(На)Р(А!На) м Согласно определению 3.1 условной вероятности, Р(Н;~А) = Р(А) Выраутзя теперь по формуле умножения веролтпностпей Р(АН;) через Р(А~Н;) и Р(Н;), получаем Р(АН;) = Р(Н;)Р(А~Н;). Поэтому Р(Нт)Р(А~Н;) Р(А) Подставляя вместо вероятности Р(А) ее значение, вычисленное в соответствии с формулой (3.5) полной всролтпностпи, приходим к утверждению теоремы. ° 98 3.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Формула Байеса находит широкое применение в математической статистике, теории принятия решений и их приложениях. Заметим, что вероятпностпи Р(Н1), ..., Р(Н„) обычно называют априорнььии (т.е. полученными „до опыта"), а условные еероятпностпи Р(НцА), ..., Р(Н„~А) — апостпериорнььии (т.е. полученными „после опыта"). Пример 3.9. Врач после осмотра больного считает, что возможно одно из двух заболеваний, которые мы зашифруем номерами 1 н 2, причем степень своей уверенности в отношении правильности диагноза он оцениваниет как 40% и 60% соответственно.
Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании 1 в 90% случаев и при заболевании 2 — в 20% случаев. Анализ дал положительную реакцию. Как изменится мнение врача после зтого7 Обозначим через А событие, означающее, что анализ дал положительную реакцию. Естественно ввести следующие гипотезы: Н~ — имеет место заболевание 1; Нз — имеет место заболевание 2.
Из условий задачи ясно, что априорные вероятности гипотез равны: Р(Н1) =0,4 и Р(Нз) =0,6, а условные вероятности события А при наличии гипотез Н1 и Нз равны 0,9 и 0,2 соответственно. Используя формулу Байеса, находим Р(Н;~А) = ' ' = 0,75. 0,4 0,9 з 1 + 1 '0~ Итак, врач с большей уверенностью признает наличие заболе- вания 1. Пример 3.10. Рассмотрим случай, когда Р(А~Н;) = сопвФ = С, т' = 1, и, З.б. Схема Бернулли т.е. на вероятность появления события А все гипотезы влияют одинаково.
Тогда, согласно формуле Байеса, получаем Р(Н;~А) = Р(Н;), т.е. дополнительная информация о появлении события А не имеет никакой ценности, поскольку не меняет наших представлений об априорных вероятностях гипотез. 3.6. Схема Бернулли Повторные испытания — это последовательное проведение н раэ одного и того же опыта или одновременное проведение н одинаковых опытов. Например, при контроле уровня надежности прибора могут либо проводить н испытаний с одним и тем же прибором, если после отказа полностью восстанавливают его исходные свойства, либо ставить на испытания п опытных образцов этого прибора, которые считают идентичными. Определение 3.6. Схемоб Берну ьли (или носледоваюпемьностпыо независимых одинаковых исныгнаний, или биномиально6 схемой испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяюшую следующим условиям: 1) при каждом испытании различают лишь два исхода: появление некоторого собмтвиа А, называемого „успехом", либо появление его дополнения А,называемого „неудачей"; 2) испытания являются нсэввисимыни, т.е.
вероятность успеха в Й-м испытании не зависит от исходов всех испытаний до Й-го; 3) всроюиностиь успеха во всех испытаниях постоянна и равна Р(А) =р. Вероятность неудачи в каждом испытании обозначим о, т.е. Р(А) = 1 — р = в. 100 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Приведем примеры реальных испытаний, которые в той или иной степени „вписываются" в рамки сформулированной модели испытаний по схеме Бернулли. 1. Последовательное подбрасывание н раз симметричной монеты (здесь успехом является появление „герба" с вероятностью р = 1/2) или последовательное бросание и раэ игральной кости (здесь успехом можно считать, например, появление шестерки с вероятностью р = 1/6).
Эти две реальные схемы испытаний являются примером идеального соответствия схеме испытаний Бернулли. 2. Последовательность н выстрелов стрелкй по мишени можно лишь приближенно рассматривать как схему испытаний Бернулли, так как независимость результатов стрельбы может нарушаться либо иэ-эа „пристрелки" спортсмена, либо вследствии его утомляемости. 3. Испытания н иэделий в течение заданного срока при контроле уровня их надежности, как правило, хорошо согласуются с моделью испытаний по схеме Бернулли, если на испытания поставлены идентичные образцы. При рассмотрении схемы испытаний Бернулли основной задачей является нахождение вероятности события Аю состоящего в том, что в н испытаниях успех наступит ровно й раэ, й = О, н.
Для решения этой задачи используют следующую теорему, обозначая вероятность Р(Аь) через Р„(й). Теорема 3.8. Вероятность Р„(й) того, что в и испытаниях по схеме Бернулли произойдет ровно й успехов, определяется формулой Бернулли Р(й) Срд й бн. (3.7) ~ Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН...У, состоящей иэ н букв „У" и „Н", причем буква „У" на ~-м месте означает, что в 1-м испытании произошел успех, а „Н" — неудача.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
