XVI_Terver (969543), страница 11
Текст из файла (страница 11)
2.2 ну из вершин указанного квадрата (рис. 2.2), можно записать множество элементарных исходов в виде Й=((х;р): 0 <х(а, 0 <у(а). Область А, соответствующая рассматриваемому событию, име. ет вид А= ((х;р): т <х < а — т, т < р(а — т), т.е. является квадратом со стороной а — 2т. В соответствии с формулой геометрической вероятности находим (А) рИ) (а — 2т)г р(П) аг 72 2.ВЕРОЯТНОСТЬ Пример 2.20.
В любые моменты интервала времени Т равновозможны поступления в приемник двух независимых сигналов. Сигналы искажаются, если разность между моментами их поступления меньше т. Опре$З делим вероятность того, что сигналы будут искажены. Изобразим случайные момен- ты $1 и 82 поступления сигналов в А приемник в виде точки на плоскости с координатами (х; у). Областью возможных значений является квадрат площадью р(й) = = Т2 (рис. 2.3). Сигналы будут Рис. 2.3 искажены, если ~$1 — 82~ < т. Эта область лежит между прямыми 42 — 81 = т и 11 — $2 = — т. Площадь ее равна р(А) =Т вЂ” (Т вЂ” т) .
Следовательно, р(А) Тз — (Т вЂ” т)2 (Т вЂ” т)2 р(й) Т Т Вопросы и задачи 2.1. Приведите классическое определение вероятности. 2.2. Напишите основную формулу комбинаторики. 2.3. Что называют выбором с возвращением? без возвращения? 2.4. Что называют сочетанием? размещением? перестановкой? Вопроси и задачи 73 2.5.
Приведите формулы для числа сочетаний и размещений из и элементов по т элементов с поторениями и без повторений и для числа перестановок из и элементов. 2.6. Чему равно число размещений с повторениями из п элементов по ш элементов, в которых первый элемент встречается ровно гп1 раз, второй элемент — таз раз, ..., и-й элемент— гп„раз? 2.7. Что называют гипергеометрической схемой? Напишите формулу, используя которую можно вычислить вероятности событий в гипергеометрической схеме.
2.8. Приведите геометрическое определение вероятности. 2.9. Приведите статистическое определение вероятности. 2.10. Дайте аксиоматическое определение вероятности. 2.11. Перечислите основные свойства вероятности. 2.12. Как можно задать вероятность в случае конечного пространства элементарных исходов? счетного пространства элементарных исходов? 2.13.
Как можно задать вероятность на числовой прямой? 2.14. Что называют вероятностным пространством? 2.15. У человека имеется Ф ключей, из которых только один подходит к его двери. Он последовательно испытывает их, выбирал случайным образом (без возвращения). Найдите вероятность того, что этот процесс закончится на Й-м испытании Й<Ф. Ответ: Р=1(Ж. 2.16. Из десяти первых букв русского алфавита выбирают наудачу без возвращения четыре буквы и записывают в порядке поступления слева направо. Какова вероятность того, что составленное „слово" будет оканчиваться на букву „А"? Ответ: Р=1/10. 74 2. ВЕРОЯТНОСТЬ 2.17.
Иэ шести карточек с буквами „Л", „И", „Т", „Е", „Р", „А" выбирают наугад в определенном порядке четыре. Йайдите вероятность того, что при этом получится слово „ТИРЕ". Ответ: Р=1/А4 ~~0,0028. 2.18. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь то, что эти цифры различны, набрал их наугад. Определите вероятность того, что набраны нужные цифры. О т в е т: Р = 1/Аэю м 0,011. 2.19. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найдите вероятность того, что номер набран правильно. Ответ: Р=1/А~~ — — 0,05. 2.20. Среди 25 экзаменационных билетов пять „хороших". 'Три студента по очереди берут по одному билету. Найдите вероятности следующих событий: А — третий студент взял „хороший" билет;  — все три студента взяли „хороший" билет.
Ответ: Р(А) =5/25; Р(В) =1/230 ж0,0044. 2.21. В урне пять белых и четыре черных шара. Из урны в случайном порядке извлекают все находшциеся в ней шары. Найдите вероятность того; что вторым по порядку будет вынут белый шар. Ответ: Р = 5/9 ж 0,56. 2.22. Кодовые комбинации содержат пять различных цифр от 1 до 5. Какова вероятность того, что цифры в случайным образом выбранной кодовой комбинации образуют последовательность 1, 2, 3, 4, 57 Ответ: Р=1/51-0,0083. 2.23. Иэ урны, содержащей 10 перенумерованных шаров, наугад выбирают один за другим все находюциеся в ней шары. Вопросы и задачи 75 Найдите вероятность того, что все номера вынутьпс шаров будут идти по порядку. Ответ: Р=1/10! 2,8 10 7.
2.24. В шкафу находятся 10 пар ботинок. Из них наугад выбирают четыре ботинка. Найдите вероятность того, что среди выбранных ботинок отсутствуют парные. О, . Р 24С4/~4 069 2.25. Иэ урны, содержащей шары с номерами 1, 2, ..., 9, пять рэз наугад вынимают шар и каждый рэз возвращают обратно. Найдите вероятность того, что из номеров шаров можно составить возрастающую последовательность. Ответ: Р= Со/9о-0,0021. 2.26. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вопии три человека.
Каждый из них случайным образом может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найдите вероятности следующих событий: А — все пассажиры выйдут на четвертом этаже;  — все пассажиры выйдут на одном и том же этаже; С вЂ” все пассажиры выйдут на разных этажах. Ответ: Р(А) = 1/6з п~ 0,0046; Р(В) = 6/бз 0,028; Р(С) = Аз/бз 0 56 2.27. Какова вероятность того, что в группе из и (и < 365) случайно отобранных студентов хотя бы у двоих окажется один и тот же день рождения? О т в е т: Р = 1 — А~зев/365". 2.28.
Найдите вероятность того, что дни рождения 12 случайным образом выбранных человек придутся на разные месяцы года. Ответ: Р=12!/12ш 5,4 10 е. 2.29. Десять студентов договорились о поездке эа город, но не договорились о вагоне. Любой из студентов наугад может сесть в любой из десяти вагонов поезда. Какова вероятность того, что они все попадут в разные вагоны? Ответ: Р=10!/10'е-0,00036. 2. ВЕРОЯТНОСТЬ 2.30. В отделение связи поступило шесть телеграмм. Телеграммы случайным образом распределяют по четырем каналам, причем каждая телеграмма может быть передана по любому из четырех каналов. Найдите вероятность того, что на первый канал попадут три телеграммы, на второй — две телеграммы, на третий — одна телеграмма и четвертый канал не будет загружен.
Ответ: Р = С(3, 2, 1, 0)/44 - 0 23. 2.31. Чему равна вероятность того,что дни рождения шести наугад выбранных человек придутся в точности на два месяца? О т в е т: Р = С~~з 1((1/6)е — 2(1/12)е] 0,000092. 2.32. В партии из 50 изделий четыре нестандартных. Определите вероятность того, что среди выбранных наугад 10 изделий есть хотя бы одно нестандартное. Ответ: Р=1 — С4С4е/Сзе ю0,60.
2.33. На стелаже в библиотеке стоят 15 учебников, причем пять ю них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найдите вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете. Ответ: Р=1 — С~зС1~е/С~1з 0,74. 2.34. Колоду ю 52 карт случайным образом делят пополам. Найдите вероятность того, что в каждой половине будет по два „туза". Ответ: Р=С4С4з/СД =0,39. 2.35. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу четырех карт из колоды в 52 карты ровно две окажутся трефовой масти? Ответ: Р=С~~Сзз/Сзз 0,39.
2.36. Некто купил карточку „Спортлото 6 из 49" и отметил в ней шесть из имеющихсл 49 номеров. В тираже разыгрываются шесть „выигрышных" номеров. Найдите вероятности Вопросы и задачи следующих событий: Аз — угадано три номера; Аа — угадано четыре номера; Аз — угадано пять номеров; Аз — угадано шесть номеров. Ответ: Р(Аз) = Се~С~д/С$ -0)018. Р(А4) Се~С~аз/С4~9 0)00097 Р(Аз) = Сз~С43/С~а9 118 10 3; Р(Аз) =Сз~С4~3/С49 7,2' 10 3.
2,87. Из колоды в 32 карты наугад выбирают четыре карты. Найдите вероятности того, что среди них окажется: один „туз" (событие А); хотя бы один „туз" (событие В); хотя бы один „туз" и обязательно „туз пик" (событие С). О т в е т: Р(А) = С4~Сззз/С343 0,36; Р(В) = 1- С4~Сз~з/Сз~з 0,43; Р(С) = С11Сзз1/Сзз --0 125. 2.88. Стержень длиной 1 ломают на три части, причем точки разлома выбирают наудачу. Найдите вероятность того, что из получившихся частей можно составить треугольник. Ответ: Р= 1/4 =0,25; 2.39. Два приятеля условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит.
Чему равна вероятность встречи приятелей, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти в любое время'? Ответ: Р=11/Зби0,31. 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Рассмотрим события А и В, связанные с одним и тем же опытом. Пусть ю каких-то источников нам стало ювестно, что событие В наступило, но не известно, какой конкретно из элемектаркых исходов, составляющих событие В, произошел. Что можно сказать в этом случае о верояткости события А? Вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В произошло, принято называть условкоб верояткостъю и обозначать Р(А)В).
Понятие условной вероятности играет важнейшую роль в современной теории вероятностей. Условная вероятность позволяет учитывать дополнительную информацию при определении вероятности события. В ряде случаев при помощи условной вероятности можно существенно упростить вычисление вероятности. Понятию условной вероятности и посвящена настоящая глава. 3.1. Определение условной вероятности Предположим сначала, что мы находимся в рамках классической схемы. Пусть событиям А и В благоприятствуют Фл и Ин элемектаркых исходов соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
