XVI_Terver (969543), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.2. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики При решении задач, заключающихся в определении вероятности, наибольшую трудность представляет подсчет общего числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию. В этом случае полезно обратиться к формулам комбинаторики. Теорема 2.1. Пусть даны п1 групп элементов, причем 1-я группа состоит из н; элементов. Общее чисю Ф способов, с помощью которых можно осуществить указанный выбор, определяется равенством д~ = н1н2 ° ° ° %а. Это выражение называют основной формулой комбинато- рики.
~ Воспользуемся методом математической индукции по числу групп т. Очевидно, что основная формула комбинаторики справедлива для т = 1. Предполагая ее справедливость для т > 1, покажем, что она выполняется также для т+ 1. Действительно, поскольку первые т элементов можно выбрать и1нг...гьа способами, а (т+ 1)-й элемент можно выбрать н +1 способами, то все т+ 1 элементов можно выбрать (н1нз... н, )но,+1 = = н1нз... нт+1 способзмн„~ Пример 2.2. В трех ящиках находятся радиодетали трех типов с различными значениями параметров. В первом ящике 46 2. ВЕРОЯТНОСТЬ ящике находится п1 = 20 резисторов, во втором — пз = 15 конденсаторов и в третьем — пз = 10 транзисторов. Найдем вероятность Р(А) того, что схема, собранная из выбранных наугад трех элементов разного типа, будет содержать элементы с минимальными значениями параметров.
Согласно определению 2.1 классической вероятности, Р(А) = —, 1~А где М вЂ” общее число элементарных исходов; М,~ — число исходов, благоприятствующих событию А. Очевидно, что а в силу основной формулы комбинаторики Ж = п1пзпз = 3000. Поэтому искомая вероятность Р(А) = —. 1 3000 Предположим теперь, что имеется группа из и различных элементов и из этой группы нужно выбрать тп элементов. Определение 2.2. Результат выбора т элементов из группы, содержащей о элементов, будем называть выборкой из и элементов по т.
Если при этом элемент после выбора снова возвращается в группу, то выборку называют выборкой с возврап4еккем. Если же выбранный элемент не участвует в дальнейшем выборе, то выборку называют выборкой без возвращения. Заметим, что в любом случае результат выбора тп элементов из группы, содержащей п элементов, будем называть выборкой. л.л. Вьгьислеиие иероетиостей с помощью формул иомбиивториии 47 Онределенне 2.3. Выборку, в которой не учитывают порядок выбора элементов, называют сочетпанием, а выборку, в которой учитывают порядок выбора элементов, — размещением.
При этом если рассматривают выборку с возвращением, то сочетание (размещение) называют сочепьанием (размещением) с поепьоренилми, а если рассматривают выборку беэ возвращения, то сочетание (размещение) называют сочетпанием (размещением) без поепьорениб, или просто сочетпанием (розмещением).
Замечание 2.1. Размещение без повторений из п элементов по и элементов называют перестпановноб из п элементов. Теорема 2.2. Число размещений (без повторений) из и элементов по тп определяется формулой А~~ = п(п — 1)... (и — то+ 1) = ть(п — 1)...2 1 (и — тп)(п — тп — 1)...2 1 (и — тп)ь' ~ Число А'„" размещений (беэ повторений) подсчитаем следующим образом: первым можно выбрать любой из п элементов, вторым — любой из и — 1 оставшихся,..., то-м — любой иэ и — та+1 элементов.
Воспользовавшись основной формулой комбинаторики (выбор осуществляется из групп размером и, и — 1, ..., и — пь+ 1), приходим к утверждению теоремы. ~ Замечание 2.2. Из этой теоремы, в частности, следует, что чисю Р„перстановок из ть элементов равно пь Пример 2.3. Из шести карточек, образующих слово „МАСТЕР", наудачу выбирают четыре и выкладывают слева направо. Найдем вероятность Р(А) того, что в результате получится слово „ТЕМА".
Элементарным исходом в данном опыте является любая четверка карточек с учетом порядка их выбора, т.е. размещение 48 г. вкюятность из и = 6 элементов по т = 4 элементов. Поэтому число этих исходов равно числу размещений из шести элементов по четыре элемента, т.е. ~Ч=А4=866. Очевидно, что число исходов, благоприятствующих событию А, д~А = 1. Следовательно, Пример 2.4.
К Новому году четырем детям были приготовлены подарки. Дед Мороз перепутал подарки и вручил их детям случайным образом. Найдем вероятность Р(А) того, что каждый ребенок получил свой подарок. В данном случае число элементарных исходов равно числу перестановок из п = 4 элементов, т.е. Ф = Р~ = 24. Поскольку число благоприятствующих событию А исходов то 1 Р(А) = —. 24 Теорема 2.3.
Число С„'"' сочетаний (без повторений) из и элементов по т определяется формулой С~ = тп! (и — ш)! м Для нахождения числа сочетаний (без повторений) заметим, что сочетание от размещения отличается только тем, что л.2. Вычвслевие ееровтвостев с иомоюцыо формул комоиивториви 49 входящие в него элементы не упорядочены, т.е. могут быть выбраны в любой последовательности.
Но число способов, которыми можно упорядочить тп элементов, совпадает с числом парестановок из тп элементов, т.е. равно пт! Значит, каждое сочетание соответствует тп! размещениям и А'„" Сто и тн! Отсюда получаем утверждение теоремы. > Замечание 2.3. Число С™, называют также биномиальным ноэффнциентвом [1-2.6]. Пример 2.5. Группа состоит из н = 20 студентов. Для дежурства по институту наудачу выбирают та = 3 студента. Требуется найти вероятность Р(А) того, что будут выбраны первые три студента по списку. Для решения поставленной задачи достаточно заметить, что, поскольку порядок выбора студентов не существен, общее число элементарных исходов равно числу сочетаний из и = 20 по тп = 3, т.е. Ж = Сзо — — 1140. Учитывая, что число благоприятствующих событию А исходов д~А = 1~ получаем Р(А) = — 8,8 10 ~.
1 1140 Теорема 2.4. Число А~ размещений с повторениями из и элементов по тп определяется формулой ~ Поскольку выбор осуществляется из одной и той же группы, причем элемент после возвращения каждый раз снова возвращается в группу, то в силу основной формулы комбинаторики 50 г. вероятность число всех выборок с возвращением из и элементов по ти рав- но иит. !ь Мл =А1е — — 10 =10000. Поскольку благоприятствующий событию А исход один, то Р(А) = — = 0,0001. 1 10000 Теорема 2.5. Число С„'" сочетаний с повторениями иэ и элементов по и1 определяется формулой Си Си+ит — 1' (2.1) ~ Рассмотрим разность л +1 т +1 ' и+ти ' и+ти — 1' Подставляя в нее вместо С„'"++1 и С„'"++ 1 их значения (см.
теорему 2.3), имеем (и+ га — 1)! ти+1 +1 (И + И") и+'" и+ти 1 ( + Ц1(И вЂ” Ц1 (1и + 1)! (и — 2)! (и+ т — 1)! (и+ т)(и+ 1и — 1)!' (а1+ 1)!(и — 1)(и — 2)! (1и+ 1) !(и — 2)! (и+ ти — 1)! ц1 и+ти-1 (и+ га — и+ 1)!(и+ ти — 1)! (га+ 1) !(и — 1)! Пример 2.6. Замок камеры хранения открывается при наборе определенной комбинации иэ четырех цифр от 0 до 9. Пассажир забыл свой номер и набирает комбинацию наугад.
Найдем вероятность Р(А) того, что он откроет замок с первого раза. Элементарным исходом является появление любой четверки из цифр О, 9, т.е. любое размещение с повторением из и = 10 элементов по га = 4 элемента. Значит, 2.2. Выевсеекае аеролткостей с помощью формул комбккаторккк 51 Воспользуемся теперь методом математической индукции по переменной еп. Поскольку число выборок из и элементов по одному элементу равно и = С1 = С1, то формула (2.1) справедлива при еп = 1.
Пусть теперь формула (2.1) справедлива для некоторого п1 ) 1. Покажем, что она справедлива и для еп+ 1. Для этого разобьем все выборки с повторениями из и элементов по еп+ 1 элементов на и типов. К первому типу отнесем те выборки, в которых хотя бы один рэз встречается первый элемент, ко второму — выборки, в которых отсутствует первый элемент, но при этом хотя бы один рэз встречается второй элемент, к третьему — выборки, в которых отсутствуют первый и второй элементы, но хотя бы один рэз встречается третий элемент и т.д.
Наконец, в выборке и-го типа (единственной!) встречается только и-й элемент. Число выборок 1'-го типа равно Ст;+1, так как выбор еп элементов производится иэ группы, содержащей и — 1+ 1 элементов. Поэтому С +1 С +С + +Ст Св+т — 1+ Св+т-2+ "+ Ст' Используя теперь доказанное равенство ш т+1 т+1 С„+, = С,+т — С,+ при Й = п,п — 1, ..., 1, получаем + ' '+ (Стт+2 Стт+1) + Стт+1 Св+т' Формулы для числа размещений и сочетаний можно применять и при решении задач комбинаторики, описываемых в несколько отличных от приведенных выше постановках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
