XVI_Terver (969543), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В теории надежности принято говорить, что элементы соединены последовательно, если ТУ прекращает функционировать при отказе любого элемента, и соединены параллельно, если прекращение функционирования ТУ наступает только при отказе всех т элементов. Условное изображение последовательного и параллельного соединений представлено на рнс. 1.3, а и б соответственно. Обозначим А событие, означающее отказ ТУ, а А; событие, означающее отказ 1-го элемента (1 = 1,тп). Тогда события А и А; связаны соотношениями: для рис. 1.3, а А = А1 0... 0 А для рис.
1.3, б А = А1 й... П А Рис. 1.3 Очевидно, что при параллельном соединении элементов событие А включено в каждое событие А;, 1 = 1, т, а при последовательном соединении, наоборот, любое событие А;, 1 = 1,т, включено в событие А. У 1.2. Событию, действии иод ними Приведем основные свойства операций над событиями, справедливость которых нетрудно проверить с помощью диаграмм Эйлера — Венна (проделайте зто самостоятельно).
1. Коммутативность суммы и произведения: А0В = В0А, АВ = ВА. 2. Ассоциативность суммы и произведения: А0ВОС=А0(В0С), (АВ)С=А(ВС). 3. Дистрибутивность относительно сложения: (А0В)С = АС0ВС. 4. Дистрибутивность относительно умножения (новое свойство, не выполняющееся для чисел): АВ 0 С = (А 0 С) (В 0 С). 5. Включение А в В, т.е. А С В, влечет за собой включение В в А, т.е. А Э В. 6.
Совпадение двойного дополнения с исходным событием: А=А. 7. Совпадение суммы и произведения одинаковых событий с самим событием А0А=АА= А. 8. Зоиоиы де Моргана: А0В=АВ, АВ = А 0 В. Замечание 1.2. Законы де Моргана верны для любого конечного числа событий: А1 0 Аз 0... 0 А„= А1 Аз ... А„ хх...л„=тих о...их. 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 1.3. Сигма-алгебра событий 32 'Строгое обоснование основ теории вероятностей можно найти в специальной математической литературе (см., например: Колмоеорое А.Н, Основные понятия теории вероятностей. Мл Наука, 1974).
Настоящий параграф носит ознакомительный характер и ни в коем случае не претендует на строгость изложения'. Необходимость его введения обусловлена тем, что современная теория вероятностей основывается на понятии вероятностного пространства, одним из трех компонентов которого являетсл сигма-алгебра событий. В предыдущем параграфе мы назвали событием любое подмножество пространства элементарных исходов Й. Такое определение допустимо, если Й является конечным или счетным множеством. Оказывается, однако, что в случае несчетного множества элементарных исходов уже нельзя построить логически непротиворечивую теорию, называя событием произвольное подмножество множества Й.
Поэтому событиями в этом случае называют не любые подмножества элементарных исходов, а только подмножества из Й, принадлежащие некоторому классу В. Этот класс в теории множеств принято называть сигма-алгеброй событий (пишут о-алгебра). С точки зрения здравого смысла собыпше — это то, что мы наблюдаем после проведения опыта. В частности, если можно после опыта установить, произошли или нет события А и В, то можно также сказать, произошли или нет события А и В, объединение, пересечение и разность событий А и В. Таким образом, о- апгебра событий обязана быть классом подмножеств, замкнутым относительно приведенных операций над подмножествами, т.е. указанные операции над элементами (подмножествами) данного класса приводят к элементам (подмножествам) того же класса.
Дадим теперь строгое определение о-алгебры событий. 33 1.3. Сигма-аагебрв событий Определение 1.11. Сигма-алгеброй (ст-алгеброй) 3 называют непустую систему подмножеств некоторого множества .7, удовлетворяющую следующим двум условиям. 1. Если подмножество А принадлежит З, то дополнение А принадлежит З. 2. Если подмножества А1, Аз, ..., А„,... принадлежат З, то нх объединение А1 0 Аз 0 ... 0 А„0 ... и их пересечение А1А0 ...
А„... принадлежит З. Поскольку .7 = А 0 А и И =,7, то множество .7 и пустое множество Э принадлежат 2Ъ. Рассмотрим пространство элементарных исходов Й. Элементы некоторой о-алгебры В, заданной на Й, будем называть событпилми. В этом случае о-алгебру З принято называть сигма-алгеброй (сг-алгеброй) событпий. Любая о-алгебра событий содержит дос~воверное собьнние Й и невозможное событпие ю. В случае конечного или счетного пространства элементарных исходов Й в качестве о-алгебры событий обычно рассма тривают множество всех подмножеств Й.
Замечание 1.3. Если в условии 2 счетное множество событий заменить на конечное, то получим определение алгебры собы0пий. Любая о-алгебра событий обязательно является алгеброй событий. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Пример 1.8. Пусть опыт состоит в подбрасывании один раз тетраэдра, каждая грань которого помечена одним из чисел 1, 2, 3 и 4. Очевидно, что пространство элементарных исходов Й в этом опыте имеет вид Й = (~1 ыз~ ыз 0~07 где о; — падение тетраздра на грань с числом 0, 1 = 1 4 2 — 10047 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 34 Поскольку в рассматриваемом опыте может происходить одно иэ следующих событий: (ж1), (ыг), (аз) (ь14)> (ы1> «'~2)> 1»11> ь13)> (»11> ь14)> (»12> <>13)> 1»12> ы4)> 1ь13> <14)> (ь11> ы2> ыЗ)> (»>1> ь12> ы4)> (ы1> ыз> ы4)> (~'12> ь>3> ы4)> (Ы1> Ь12> ЫЗ> ~'14)> то алгебра событий будет содержать все подмножества й, включая й (достоверное событие) и Я (невозможное событие).
Пример 1.9. Пусть опыт состоит в случайном бросании точки на числовую прямую К1 = ( — со, +со), которая в данном случае будет представлять собой пространство элементарных исходов й. Ясно, что, зная результат опыта, всегда можно установить, попала или нет точка в любой из промежутков [а, Ь], [а, Ь), (а, Ь], (а, Ь). Поэтому относительно а-алгебры событий 23 предполагают, что она содержит все эти промежутки. В принципе могут существовать различные о-алгебры, удовлетворяющие этому требованию.
Но среди них есть одна о-алгебра, элементы которой принадлежат всем остальным. Ее называют минимальной или борелеескоб, о-а,язеброб на числовой прямой. Аналогично определяют борелевскую сг-алгебру и в К», и) 1. В заключение заметим, что с точки зрения повседневной практики подмножества пространства П элементарных исходов, не являющиеся событиями, представляют собой чистую математическую абстракцию и в практических задачах никогда не встречаются. Даже само доказательство их существования представляет весьма сложную задачу. Поэтому мы предлагаем при первоначальном знакомстве с теорией веро- 35 1А. Решевве типовых примеров ятностей под событием понимать произвольное подмножество пространства Й элементарных исходов, а под и-алгеброй событий — совокупность всех подмножеств множества Й.
1.4. Решение типовых примеров Пример 1.10. Опыт состоит в однократном бросании игральной кости. Опишем пространство элементарных исходов Й и укажем состав подмножеств, соответствующих следующим событиям: а) А — число очков, вьшавших на верхней грани игральной кости, кратно трем; б)  — на верхней грани игральной кости выпало нечетное число очков; в) С вЂ” число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, больше трех; г)  — число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, меньше семи; д) Š— число очков, вьшавших на верхней грани игральной кости, не является целым числом; е) Р— число очков, вьшавших на верхней грани игральной кости, заключено в пределах от 0,5 до 1,5. Установим пары совместных событий.
Пространство элементарных исходов в данном опыте имеет вид Й = (а~1> ь~з~ <~~3~ ь~4~ мб~ <~б)ь где ы; — выпадение на верхней грани игральной кости б очков. а. Очевидно, что событие А происходит тогда и только тогда, когда выпадает либо 3, либо 6 очков,т.е. А = (юб, ыб). Аналогично получаем следующие выражения для остальных описанных событий. б В=(ып ыз, ыб) в.
С = (ш4 ыб ыб)' г. В = ~ь~м ь~2, ь~з~ ь~4~ ь~б~ шб) = Й. 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 36 д. Е= И. е. Р=(иь). Сопоставляя попарно события и проверяя наличие общих злементов, находим пары совместных событий: А и В; А и С; А и В; В и С; В и Р; В и Р; С и ВЧ Р и Р. Пример 1.11. Игральную кость бросают один раз. События А, В, С, Р, Е и Р определены в примере 1.10.
Опишем следующие события: а) 01— - В; б) Сз =С; в) Сз =АВ; г) 04=АОВ; д) Сз =А~В; е) Сз=ЕОЮ; ж) 07 = ЕР. а. Событием, противоположным событию В, является выпадение четного числа очков, т.е. 01 = (ыз, ы~, шз). Аналогичные рассуждения приводят нас к следующим результатам. б. Сз = (ю1,ыз,шз) — выпало не более 3 очков. в. Сз = (ыз) — выпавшее число очков нечетно и кратно трем, т.е. равно трем. г 04=(мм ьз, ьз, азу — вьшавшеечислоочковилинечетно, или кратно трем. д.
(юз) — выпавшее число очков четко и кратно трем, т.е. равно 6. е. Сз = И 0 Р = Р = Й. ж. 07 = вР = а. Пример 1.12. Из множества супружеских пар наугад выбирают одну пару. Событие А — мужу больше 30 лет, событие  — муж старше жены, событие С вЂ” жене больше 30 лет. Выясним смысл событий: а) АВС; 37 1А. Ретеиие типовых примеров 6) АГАВ; в) АВС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
