XVI_Terver (969543), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Аксиоматическое опреденение неронтности то 1пп Р(А„) = Р(А). Можно доказать, что аксиомы 3' и 4 в совокупности равносильны аксиоме 3. Покажем, как конструктивно можно задать вероятность для некоторых наиболее часто встречающихся на практике пространств элементарных исходов, содержащих бесконечное число элементарных исходов. Пусть й содержит счетное множество элементарных исходов 011, ..., м„, ... В этом случае любую вероятностную меру Р можно получить, задав вероятности р1 =Р( Л1), ..., р„=Р(01 ), элементарных исходов, где последовательность р1, ..., р„, должна удовлетворять только условиям неотрицательности р;~)0, 1ЕЯ, и нормированности р1 + " + рп + " ° = 1~ т.е.
~ р; является энакоположительным числовым рядом, сум1=1 ма которого равна единице. Вероятность любого события А равна сумме ~ р; вероятностей всех входящих в А элементар- НЫХ ИСХОДОВ 01;. Предположим теперь, что пространство элементарных исходов Й представляет собой числовую прямую (-оо, +со) с борелевскоб и-алгеброб на ней. Для задания вероятностной меры на числовой прямой можно взять произвольную неубывающую для любого х Е К непрерывную слева функцию Р(х), удовлетворяющую условиям Р(-оо) = 1пп Р(х) =О, Р(+ос) = 11ш Г(х) =1, к-+-00 е-++со 3 — 10047 66 г.
ви оятность и каждому собьггию Ае = ( — оо, х) поставить в соответствие вероятность Р(А ) =г(х), а событию А = [х1, хг) — вероятность Р(А) = Р(хг) — Р(х1). Найденная таким образом для всех событий А = [х1,хг) числовая функция Р(А) будет удовлетворять аксиомам в определении 2.7. Для других событий из борелевской о-алгебры на числовой прямой, вероятность определяется единственным образом с помощью так называемой теоремы о продолжении меры, формулировку и доказательство которой можно найти в специальной литературе'. Определение 2.8. Тройку (О,З, Р), состоящую кз пространства элементарных исходов Й, с о-алгеброй событий З и определенной на З вероятности Р, называют веролтпностпным простпранстпвом. Таким образом, понятие вероятностного пространства объединяет хорошо известные физические понятия: исход опыта, событие, вероятность события.
2.6. Решение типовых примеров Пример 2.11. Куб с окрашенными гранями распилен на 27 одинаковых кубиков. Найдем веролшностпь того, что у выбранного наудачу кубика будет окрашена одна грань (две грани, три грани). Общее число элсментпарнмт осводов в данном опыте И = = 27. Обозначим: А — событие, эаюпочающееся в том, что у выбранного кубика окрашена одна грань;  — две грани и С— 'См., например, Лове М. Теории вероятностей.
Мс Иад-во иностр. авт., 1962. 2.6. Решеиие шшовых примеров три грани. Событию А благоприятствует Фл = 6 элементарных исходов (число граней у исходного куба), событию  — Ин = 12 исходов (число ребер у исходного куба), а событию С вЂ” 8 исходов (число вершин у исходного куба). Поэтому 6 12 8 Р(А) = —, Р(В) = —, Р(С) = —. 27' 27' 27 Пример 2.12.
Из 33 карточек с написанными на них различными буквами русского алфавита наугад извлекаются пять карточек и располагаются слева направо в порядке извлечения. Найдем вероятность появления слова „РАДИО" (событие А). Поскольку карточки обратно не возвращаются и порядок выбора существен, то общее число элементарных исходов равно числу раэнетцениб без ноеизорениб из 33 элементов по пять элементов: Ж = Аззз = 28480320 Событию А благоприятствует только один элементарный исход (Ил = 1).
Значит, Р(А) = =~3,5 10 з. 1 28480320 Пример 2.13. Из колоды в 52 игральные карты выбирают наудачу три карты. Найдем вероятность того, что среди этих карт будут тройка „пик", семерка „пик", туз „пик". Поскольку порядок выбора в данном случае не существен н карты обратно в колоду не возвращаются, то число элементарных исходов равно числу сочеиьаниб без повторений иэ 52 элементов по три элемента, т.е. Ф = Сзз — — 22100.
Рассматриваемому событию А благоприятствует единствен- нын исход (Фл = 1). Поэтому Р(А) = — - 0,000045. 1 22100 68 2.ВЕРОЯТНОСТЬ Пример 2.14. Группа, состоящая из восьми человек, занимает место за круглым столом. Найдем вероятность того, что два определенных человека окажутся сидящими рядом. Так как упорядочивается все множество из восьми элементов, то мы имеем дело с пересшановкоб из восьми элементов. Поэтому ~7=Рз =8! Рассматриваемому событию А благоприятствуют такие перестановки, когда два отмеченных лица садятся рядом: всего восемь различных пар мест за столом и за каждую пару мест данные лица могут сесть двумя способами.
При этом остальные шесть человек могут разместиться на оставшихся местах произвольно. Значит, ФА=2 8 Ре=2 8 61 и Р(А) = — - 0,29. 2 7 Для сравнения приведем еще одно решение поставленной задачи. Заметим, что поскольку нас интересуют только два определенных лица, то порядок размещения остальных не играет роли. В свою очередь, если первый человек сел на определенное место, то второй может сесть на оставшиеся семь мест. При этом в двух случаях оба лица окажутся рядом и Р(А) = —.
2 7 Пример 2.15. Из десяти первых букв русского алфавита составлены всевозможные трехбуквенные „слова". Найдем вероятность того, что случайно выбранное „слово" окажется „словом" „ИИИ". 2.б. Решевие типовых примеров Число различных „слов" равно числу размещений с повторениями из 10 элементов по три элемента, т.е. Поскольку благоприятствующий исход только один, то Р(А) = 0,001. Пример 2.16. Опыт состоит в четырехкратном случайном выборе с возвращением одной буквы из букв алфавита „А", „Б", „К", „Ое и еМ" и записывании РезУльтата выбоРа слева направо в порядке поступления букв.
Найдем вероятность того, что в результате будет записано слово „МАМА". Число элементарных исходов равно числу размещений с повторениями иэ пяти элементов по четыре элемента, т.е. У ~4 64 Слову „МАМА" соответствует лишь один исход. Поэтому Р(А) = — = 0,0016. 1 625 Пример 2.1Т. В урне имеются четыре шара различного цвета. Наудачу из урны извлекают шар и после определения его цвета возвращают обратно. Найдем вероятность того, что среди восьми выбранных шаров будут только шары одного цвета (событие А)? будет по два шара разного цвета (событие В).
Число элементарных исходов равно числу размещений Я Ае 48 с повторениями из четырех элементов по восемь элементов. Для того чтобы найти число исходов, благоприятствующих событию А, предположим сначала, что вынимают только шары 70 г. вкроятность первого цвета. Это можно сделать только одним способом.
Аналогично только одним способом можно выбрать шары второго, третьего и четвертого цветов. Поэтому Фл = 4 и 1 Р(А) = — - 0,00061. 1 Число исходов, благоприятствующих событию В, равно числу тех сочетаний с повторениями ю четырех элементов по восемь элементов, в которых каждый элемент повторяется по два раза, т.е. Ив = С(2 2 2 2) = 2520. Значит, Р(В) з 0'0385 2520 Пример 2.18. Первенство по баскетболу оспаривают 18 команд, которые путем жеребьевки распределены на две подгруппы по девять команд в каждой. Пять команд обычно занимают первые места. Найдем вероятность попадания всех лидирующих команд в одну подгруппу (событие А); трех лидирующих команд в одну подгруппу, а двух — в другую (событие В).
Пространство элементарных исходов в данном случае состоит из всевозможных способов выбрать ю 18 команд, среди которых пять лидирующих, девять команд в первую подгруппу (тогда вторую подгруппу будут составлять оставшиеся девять команд), причем события А и В происходят тогда, когда в первую подгруппу попадет определенное число лидирующих команд и команд аутсайдеров. Значит, мы имеем дело с гивергеометприческоб схемой в которой я = 2, п = 18, вз — — 5, пз = 9. Событие А происходит тогда, когда в первую подгруппу попадают или пять лидирующих команд и четыре команды- аутсайдера (та~ = 5, пзз = 4), или девять команд-аутсайдеров (пц =О, пзз =9). Значит, Р(А) Р(5 4) Р(0 9) з зз+ з зз 0 029 м 34 71 г.б.
Ретеиие типовых примеров Аналогично событие В происходит тогда„когда в первую подгруппу попадут или три лидирующие команды и шесть команд-аутсайдеров (та1 = 3, таг = 6) или две лидирующие команды и семь команд-аутсайдеров (тп1 = 2, 1пг = 7). Таким образом, СзС8 +СгСт Р(В) Р(2 6) Р(2 7) з 18+ з 1з 18 Пример 2.19. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а наудачу бросают монету радиуса т, т < а/2.
Найдем вероятность того, что монета попадет целиком внутрь одного квадрата. Пусть (х; р) — координаты У центра упавшей монеты. В силу о бесконечности шахматной доски можно считать, что элементарные исходы данного эксперимента полностью определяются А положением центра упавшей монеты относительно вершин ква- 3 дратв, содержащаго этот центр. о а-т т х Помещая начало координат в од- Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
