XVI_Terver (969543), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Покажем, что АС С В. а. АВС вЂ” оба супруга старше 30 лет, причем муж старше жены. б. А 1 А — мужу больше 30 лет, но он не старше своей жены. в. АВС вЂ” оба супруга старше 30 лет, причем муж не старше своей жены. АС вЂ” пересечение событий; мужу больше 30 лет, а жене не больше 30 лет. Следовательно, муж старше жены, т.е. АС С В. Пример 1.13.
Пусть А,  — произвольные события. Докажем следующие равенства: а) (А 0 В) (А 0 В) = А; 6) (А0ВЦА0В)(А0В) = АВ. Используя свойства операций над событиями, получаем: а. (А0В)(А0В) =ААОАВ0АВОВВ=А0А(ВОВ)0ю= =А0А= А. 6. (А0ВИА0ВИА0В) =А(АОВ) =АВ. Пример 1.14. Выясним, в каких случаях совместны (в совокупности) события А0В, А0В и А0В? Так как (А 0 В)(А0 В)(А 0 В) = АВ, то события А0В, А 0 В и А 0 В совместны тогда и только тогда, когда совместны события А и В. Пример 1.15. Схема электрической цепи приведена на рис.
1.4. Выход из строя эле. мента е — событие А;, т' = 1, 4. Запишем выражения для событий А и А, если А означает разрыв цепи. Разрыв цепи произойдет, если выйдет иэ строя элемент Рис. 1.4 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 38 1 или все три элемента 2, 3, 4, т.е. произойдут событие А1 или событие АгАзА4. Поэтому А = А4 0 АгАз А4. В соответствии с законами де Моргана находим А = А1 0 АгАзА4 = А1 (Аг 0 Аз 0 А4) Вопросы и задачи 1.1. Что понимают под пространством элементарных исходов? 1.2. Что называют случайным событием? 1.8. Какое событие называют достоверным? Какое событие называют невозможным? 1.4.
Какие действия над событиями Вы знаете? 1.5. Какие два события называют несовместными? Какие события называют совместными? 1.6. Какие и событий (и ) 2) называют несовместными попарно? в совокупности? 1.7. Какие события называют противоположными? 1.8. Перечислите свойства операций над событиями. 1.9. В каком случае говорят, что событие А включено в событие В? 1.10.
Какими свойствами должна обладать некоторая система подмножеств пространства элементарных исходов й для того, чтобы быть ~т-алгеброй событий? алгеброй событий? 1.11. Что называют борелевской и-алгеброй на числовой прямой? Вопросы я аадачя 1.12. Случайным образом выбирают одну из 28 костей домино. Опишите пространство элементарных исходов й. Перечислите все элементарные исходы, из которых состоят следующие события: а) А — на выбранной кости очки совпадают; б)  — сумма очков на выбранной кости равна 6; в) С вЂ” произведение числа очков на кости нечетно; г) В1А; д) АВ; е) АС; ж) АВ1С; з) (АОВ)С.
Ответ: й = ((1,у), 1,у =0,6, 1<у1; а) А= ((0,0), (1,1), ..., (6,6Ц; б) В = ((0,6), (1,5), (2,4), (З,ЗЦ; в) С = 1(1,1), (1,3), (1,5), (3,3), (3,5), (5,5Ц; г) В~А =Ц0,6) (1 5) (2 4Ц; д) АВ= С(З ЗЦ' е) АС=((1,1), (3,3), (5,5Ц; ж) АВ1С=И; з) (АОВ)С = ((1,1), (1,5), (3,3), (5,5Ц. 1.13. Производят обследование случайным образом выбранной семьи, имеющей четырех детей, с целью определения пола этих детей. Пол каждого ребенка отмечают в порядке старшинства. Определите: а) иэ какого числа элементарных исходов состоит пространство элементарных исходов; б) сколько элементарных исходов соответствуют семьям, в которых первый ребенок — девочка; в) сколько элементарных исходов соответствуют семьям, в которых есть дети обоего пола.
Ответ: а) 16; б) 8; в) 14. 1.14. По мишени производят три выстрела. Пусть событие А;, 1 = 1, 2, 3, — попадание при с-м выстреле. Представьте в виде объединения и пересечения событий А; или А; следующие события: а) А — три попадания в мишень; б)  — три промаха; в) С вЂ” хотя бы одно попадание; г) Ю вЂ” хотя бы один промах; Е СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ д) Š— не менее двух попаданий; е) Р— не больше одного попадания; ж) С вЂ” попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле. Ответ: а) А = А1АгАз' б) В = А1 Аг Аз' в) С=А10Аг0Аз1 г) Р=А10Аг0Аз~ д) Е = А1АгАз 0 А1АгАз 0 А1АгАз 0 А1АгАз,' е) Р=А1АгАз0А1АгАзиА1АгАз0А1АгАз, ж) С=А1Аг. 1.15.
Монету подбрасывают три раза. Опишите пространство элементарных исходов Й и определите подмножества, соответствующие следующим событиям: а) А — „герб" вьшал ровно один раз; б)  — ни разу не выпала „цифра"; в) С вЂ” вьшаяо больше „гербов", чем „цифр"; г) Р— „герб" выпал не менее двух раз подряд. Ответ: й = ((Г, Г, Г), (Ц, Г, Г), (Г, Ц, Г), (Г, Г, Ц), (Г, Ц, Ц), (Ц, Г, Ц), (Ц, Ц, Г), (Ц, Ц, Ц)); а) А = ((Г,Ц,Ц), (Ц,Г,Ц), (Ц,Ц,Г)1; б) В = ((Г,Г)Г)); в) С = ((Г,Г,Г), (Ц,Г,Г), (Г,Ц,Г), (Г,Г,Ц)); г) Р = ((Г,Г,Г), (Ц,Г,Г), (Г,Г,Ц)). 1.16. Пусть А, В, С вЂ” случайные события.
Выясните смысл неравенств: а) АВС=А; б) АиВОС=А. Ответ: а) А С ВС, т.е. событие ВС происходит всегда, когда происходит событие А; б) В С А, С С А, т.е. всякий раз, когда происходит В или С, происходит также и А. 1.17. Пусть А С В. Упростите выражения: а) АВ; б) АОВ; в) АВС; г) АИВ~3С. Ответ: а) АВ=А; б) АНВ=В; в) АВС=АС; г) АОВУС=ВОС. Вопросы и задачи 41 1.18. Используя свойства операций над событиями, докажите следующие равенства: щхоВос=АВС; б)хВс=АоВос.
1.19. Два игрока играют в шахматы. Событие А — выиграл первый игрок, событие  — выиграл второй игрок. Что означают события: а) АВ; б) В~А; в) А~В? Ответ: Во всех случаях ничья. 1.20. Схема электрической цепи приведена на рис. 1.5. Через участок схемы, вышедший из строя, ток не проходит. Пусть событие А; — выход из строя элемента 4, 4 = 1, 6.
Выразите события А и А через события А;, если А — выход из строя 6 всей схемы. Ответ: А = А4Аз 0 Аз(Аз 0 г 3 0А4) 0Ае', А = (А~Хр)(Аз(Аз 0 А4))Ае. Рис. 1.5 1.21. На рис. 1.6 представлена структурная схема надежности некоторой системы. Пусть события А и А; означают отказ системы.и згго элемента соот- 1 3 ветственно, 4 = 1, 4. Выразите г события А и А через события А; и А;, 4=1,4. О т в е т: А = (А 4 Аг 0 Аз) А4; А = (А1 0 Аз)Аз 0 А4 Рис. 1.6 2.ВЕРОЯТНОСТЬ Говоря о собмшклх, мы с различной степенью уверенности относимся к возможности их наступления. Так, с большей уверенностью можно утверждать, что при однократном подбрасывании монеты выпадет „герб", чем при однократном бросании игральной кости — 6 очков.
Говорят, что первое событие более вероятно, чем второе. Что же такое веролшкость события? Возникает мысль поставить каждому событию А в соответствие некоторое число Р(А), которое характеризует меру возможности появления этого события. Если принять, что Р(й) = 1 и Р(Э) = 0 (хотя возможны и другие допущения), то естественно ожидать, что для любого события А выполняется условие 0 < Р(А) < 1. Определение вероятности как меры возможности появления события в современной математике вводится на основании аксиом. Но, прежде чем перейти к аксиоматическому определению, остановимся на нескольких других определениях, которые исторически возникли рвльше. Они, с одной стороны, позволяют лучше понять смысл аксиоматического определения, а с другой — во многих случаях являются рабочим инструментом для решения практических задач. Приведем их, следуя хронологическому порядку появления.
2.1. Классическое определение вероятности В классическом определении вероятности исходят из того, что кросшракство элвмвкшаркых исходов й содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможны. Понятие равновоэможности поясним следующим образом. Элемекпзаркые исходы в некотором опыте называют равковоэможкыми, если в силу условий проведения опыта 43 2.1.
Клеесичесхее определение еераатлоети можно считать, что ни один из них не является объективно более возможным, чем другие. Опыт, удовлетворяющий условию равновозможности элементарных исходов, часто называют также „классической схемой". Пусть Ф вЂ” общеечисло равновозможных элементарных исходов в й, а ФА — число элементарных исходов, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А. Определение 2.1. Вероятпностпью события А называют отношение числа МА благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу Ж равновозможных элементарных исходов, т.е.
Р(А) = —. д~А Ж Данное определение вероятности события принято называть кяпссическим определением еероятпности. Заметим, что наряду с названием „классическая схема" используют такженазвания „случайный выбор",„равновероятный выбор" и т.д. Пример 2.1. Иэ урны, содержащей х = 10 белых и 1 = = 20 черных шаров (шары отличаются лишь цветом), наугад вынимают один шар. 'Хребуется найти вероятность Р(А) события А, заключающегося в том, что из урны извлечен белый шар. Для решения поставленной задачи заметим, что число элементарных исходов в данном опыте совпадает с общим числом шаров в урне Ж= я+1 = 30, причем все исходы равновозможны, а число благоприятствую- щих событию А исходов 44 г. вкроятность Поэтому в соответствии с определением классической вероятности й 1 Р(А) = — = —.
ф й+1 3 Используя классическое определение вероятности события, докажем следующие свойства. Свойство 2.1. Для любого события А вероятность удовлетворяет неравенству Р(А) ) О. Свойство очевидно, так как отношение Мл/Ф не может быть отрицательным. Свойство 2.2. Для достоверного события й (которое содержит все Ф элементарных исходов) Р(й) =1. Свойство 2.3. Если события А и В несовместны (АВ = Я), то Р(А+ В) = Р(А) + Р(В). Действительно, если событию А благоприятствуют Ж~ исходов, а событию  — Фз исходов, то в силу несовместности А и В событию А+ В благоприятствуют Ф~ + Фз исходов.
Следовательно, Оказывается, что эти три свойства являются основными. Из них как следствия можно получить другие полезные свойства (подробнее они будут рассмотрены ниже), например: Р(А) = 1 — Р(А); Р(Я) = О; Р(А) < Р(В), если А С В. Недостаток классического определения заключается в том, что оно применимо только к пространствам элементарных исходов, состоящим из конечного числа равновозможных исходов. 2.2. Вычисление леролтностей с помшцыо формул комбинаторики 45 Этим определением нельзя воспользоваться даже в тех случаях, когда пространство элементарных исходов конечно, но среди исходов есть более предпочтительные или менее предпочтительные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
