XVI_Terver (969543), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

4.1. Определение случайной величины Для того чтобы лучше осознать связь, существуюшую между случайными величинами и случайными событиями, начнем с пояснения понятия случайной величины. Случайной величиной естественно называть числовую величину, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных эначений этой случайной вавичины.

Следовательно, для задания случайной величины необходимо каждому элементарному исходу поставить в соответствие число — значение, которое примет случайная величина, если в результате испытания произойдет именно этот исход. 125 4.1. Овревелевие случайной величивы Случайные величины будем обозначать прописными латинскими буквами, снабжал их при необходимости индексами: Х, У1, Я; и т.д., а их возможные значения — соответствующими строчными буквами: хз, уп„яб.

В русскоязычной литературе принято также обозначение случайных величин греческими буквами: Ч, пм р; и т.д. Рассмотрим примеры. Пример 4.1. В опыте с однократным бросанием игральной кости случайной величиной является число Х вьшавших очков. Множество возможных значений случайной величины Х имеет вид (х1=1, х2=2, ..., Хе=6). Если вспомнить, как выглядит простравсшео элеиектиарныя исяодое в этом опыте, то будет очевидно следующее соответствие между элементарными исходами м и значениями случайной величины Х: Х = 1 2 ... 6. Иными словами, каждому элементарному исходу ы;, я = 1,6, ставится в соответствие число 1.

Пример 4.2. Монету подбрасывают до первого появления „герба". В этом опыте можно ввести, например, такие случайные величины: Х вЂ” число бросаний до первого появления „герба" с множеством возможных значений 11, 2, 3, ...) и У вЂ” число „цифр", выпавших до первого появления „герба", с множеством возможных значений (О, 1, 2, ...) (ясно, что Х = = У+ Ц. В данном опыте пространство элементарных исходов Й можно отождествить с множеством 1Г, ЦГ, ЦЦГ, ..., Ц...ЦГ, ...1, 126 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ причем элементарному исходу Ц...

ЦГ ставится в соответствие число п1 + 1 или тв, где тп — число повторений буквы „Ц". Пример 4.3. На плоский экран падает частица. Будем считать, что нам известна вероятность попадания частицы в любое (измеримое, т.е. имеющее площадь) множество на экране.

Случайными величинами в данном случае будут, например, расстояние Х от центра экрана до точки падения, квадрат этого расстояния У = Хз, угол 2 в полярной системе координат и т.д. ф Теперь мы можем дать определение случайной величины. Определение 4.1.

Скалярную функцию Х(м), заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого х Е Й множество (ас Х(ш) < х) элементарных исходов, удовлетворяющих условию Х(ы) < х, является событием. Для краткости условимся в дальнейшем вместо записи (ьн Х(ш) < х) использовать запись (Х(ш) < х), если необходимо подчеркнуть связь случайной величины с пространством элементарных исходов й, или даже запись (Х < х), если не акцентируется внимание на этой связи. 4.2.

Функция распределения случайной величины Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить веролтиносшь того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распредаления вероятностпей, или распределением (веромпноспзей) случайной величины. При этом слово „вероятностей" обычно опускают. Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения. 4.2. Фуяллиа реслрелеееввв сеучвйвой еелвчивы 127 Определение 4.2.

Фунниией распределения (верояпиносплей) случайной величины Х называют функцию Р(х), зна чение которой в точке х равно вероятности события (Х < х), т.е. события, состоящего из тех и только тех эввмеюиарных исходов м, для которых Х(ю) < х: Р(х) = Р(Х < х). Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х. Теорема 4.1. Функция распределения обладает следующими свойствами: 1) 0<Р(х) <1; 2) Р(х~) < Р(хз) при х~ < хз (т.е. Р(х) — неубывающая функция); 3)'Р(-оо) = 11ш Р(х) =О, Р(+со) = 11ш Р(х) =1; 4) Р(х~ < Х < х2) = Р(хз) — Р(хл); 5) Р(х) =Р(х — О), где Р(х — О) = 1пп Р(у) (т.е.

Р(х)— л-~е-о непрерывная слева функция). < При доказательстве будем использовать свойства вероятностей событий, доказанные в теореме 2.8. Поскольку значение функции распределения в любой точке х являетсл вероятностью, то вз свойства 4 вероятности вытекает утверждение 1. Если х~ < хз, то событие (Х < х~) включено в событие (Х < хД и, согласно свойству 3, Р(Х < хД < Р(Х < хз), т.е. в соответствии с определением 4.2 выполнено утверждение 2.

Пусть х~, ..., х„, ... — любал возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к +оо. Собыщие (Х < +со), с одной стороны, является досщоверным, а с другой стороны, представляет собой объединение собышиб (Х < х„). Отсюда в силу аксиомы непрерывности следует второе равенство в утвержде. нии 3. Аналогично доказывается и первое равенство. 128 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Событие (Х < хз) при х~ < х2 представляет собой объединение двух непересекающихся собышиб: (Х < х~) — случайная величина Х приняла значение, меньшее х~, и (х~ < Х < хз)— случайная величина Х приняла значение, лежащее в промежутке [хь хз). Поэтому в соответствии с аксиомой сложения получаем утверждение 4.

Наконец, пусть х~, ..., х„, ... — любая возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к х. Событие (Х < х) является объединением событий (Х < хс). Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утверждению 5. ~ На рис. 4.1 приведен типичный вид функции распределения. Рис. 4.1 Замечание 4.1. Можно показать, что любая неубывающая непрерывная слева функция г'(х), удовлетворяющая условиям г(-оо) =0 и Г(+ос) =1, является функцией распределения некоторой случайной величины Х.

Для того чтобы подчеркнуть, какой именно случайной величине принадлежит функция распределения г'(х), далее иногда будем приписывать этой функции нижний индекс, обозначаю- 129 4.3. Дескретные случейеые вееичявы щий конкретную случайную величину. Например, для случай- ной величины Х Рх(х) = Р(Х < х). В некоторых учебниках функцией распределения называют функцию, значение которой в точке х равно вероятности события 1Х < х). Такое определение ничего не меняет во всех наших рассуждениях. Единственное изменение касается свойства 5: функция Р(х) будет непрерывна справа.

Чтобы избежать сложных математических конструкций, обычно при первоначальном изучении теории вероятностей ограничиваются только дискретными и непрерывными случайными величинами. Не давая пока строгие определения, приведем примеры: — дискретных случайных величин (число очков, вьшавших при бросании игральной кости; число бросаний монеты до первого появления „герба"; оценка студента на экзамене и т.д.); — непрерывных случайных величин (погрешность измерений; время до отказа прибора; время опоздания студента на лекцию и т.п). 4.3. Дискретные случайные величины Определение 4.3. Случайную величину Х называют дискрепекой, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Распределение дискретной случайной величины удобно описывать с помощью ряда распределения. Определение 4.4.

Р*дом распределения (верол|пностпей) дискреепкой случайной величины Х называют та блицу (табл. 4.1), состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в 130 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ нижней — вероятности р; = Р(Х = х;) того, что случайная величина примет эти значения. Чтобы подчеркнуть, что Таблииа 4.1 ряд распределения относится Х х1 хэ ... х; ... х„именно к случайной величи- Р,. р„не Х, будем наряду с обозначением р; употреблять также обозначение рх;.

Для проверки правильности составления табл. 4.1 рекомендуется просуммировать вероятности р;. В силу аксиомы кормироваккости эта сумма должна быть равна единице: Покажем теперь, как по ряду распределения дискретной случайной величины построить ее фунниив раскределекия .г'(х). Пусть Х вЂ” дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения х1, хэ, ..., х„расположены в порядке возрастания.

Тогда для всея х < х1 событие (Х < х) является невоэможным и поэтому в соответствии с определением 4.2 Г(х) =0 (рнс. 4.2). Если х1 < х < хэ, то собы- 4.3. Дисиретиыв случайиые величавы тие (Х < х) состоит из тех и только тех элемекщариых исходов ю, для которых Х(ы) = х~, и, следовательно, г(х) =рь Аналогично цри хз < х < хз событие (Х < х) состоит вз элементарных исходов ш, для которых либо Х(м) = х~, либо Х(ы) = хз, т.е. (Х < х) = (Х = х~)+ (Х = хз), а следовательно, Р(х) =Ю+рз и т.д.

Характеристики

Список файлов книги