XVI_Terver (969543), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Наконец, при х ) х„событие (Х < х) досшоверио и и'(х) = 1. Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно постоянной функцией, принимающей на промежутке (-оо, х~] значение О, на промежутках (х;, х,+~], 1 ~( 1 < и, — значение р~ + ... + р; и на промежутке (хи, +со) — значение 1. Для задания закона распределения дискретной случайной величины, наряду с рядом распределения и функцией распределения используют другие способы. Так, его можно задать аналитически в виде некоторой формулы или графически.
Например, распределение игральной кости (см. пример 4.1) описывают формулой 1 Р(Х = 1) = -, 1 = 1, 6. 6' Графическое изображение этого распределения приведено на рис. 4.3. 132 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 0,2 0,1 2 3 4 Рис. 4.3 4.4. Некоторые дискретные случайные величины В этом параграфе рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся на практике распределения диснретпных случайныя величин. Биномиальное распределение. Дискретная случайнал величина Х распределена по биномиальному эаиону, если она принимает значения О, 1, 2,..., и в соответствии с распределением, заданным формулой Р1Х=4) =Р„Я =С„'р'й" ', 4 =0,п, или, что тоже самое, рядом распределения, представленным в табл.
4.2, где О < р, а < 1 и р+ д = 1. Таблица 4.3 Проверим корректность определения биномиального распределения. Действительно, Р„(4) ) О 4.4. Некоторые дискретные слутайиые ееличивы 133 ЯР (4) = Я,СЮу" = (р+ Ч)" = 1: ите «=О Внномиальное распределение являетсл не чем иным, как распределением числа успехов Х в п испытаниях по схеме Бернулли с еероятпностпью успеха р и неудачи д = 1 — р (см.
3.6). Распределение Пуссона. Дискретная случайнзл величина Х распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями Р(Х = 4) =Р(1; Л) = —.е Ле л ~! 1 = О, 1,..., или, по-другому, с вероятностями, представленными рядом распределения в табл. 4.3, где Л ) Π— параметр распределения Пуассона. Таблица 4.8 Убедимся в том, что распределение Пуассона определено корректно: Л' „ „ Л' ~ Р(4; Л) = ~~) —,е " = е "~ы —., = е "е" = 1. е=е 1ыо ' С распределением Пуссона мы тоже уже встречались в формуле Пуассона (см. 3.6).
Распределение Пуассона также называют законом редких событиий, поскольку оно всегда проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с машй вероятностью происходит „редкое" собьивие. В соответствии с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном 134 4. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества. Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть Х вЂ” число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех.
Тогда Х— дискретная случайнэл величина, принимающая значения О, 1, 2, ..., к, ... Определим вероятность события (Х = н). Очевидно, что Х = О, если в первом же испытании произойдет успех. Поэтому Р(Х = 0) =р. Далее, Х = 1 в том случае, когда в первом испытании произошла неудача, а во втором — успех. Но вероятность такого события (см.
теорему 3.8), равна ор, т.е. Аналогично Х = 2, если в первых двух испытаниях произошли неудачи, а в третьем — успех, и, значит, Р(Х = 2) = дар. Продолжая эту процедуру, получашл Р(Х=4) =рд', 1=0,1, Таким образом, случайная величина Х имеет ряд распределения, представленный в табл. 4.4. Таблица 4.4 Случайную величину с таким рядом распределения нэзывэ. ют распределенной согласно гео.кеозрннескол4у закону. Правильность составления табл.
4.4 вытекает иэ равенства ~~) Р(Х =1) =~~) ра' =р~~> д'= — =1. з=е е.е. Неерерневые сеучеавые вееиеивте 4.5. Непрерывные случайные величины Определение 4.5. Непрерывной называют случайную величипу Х, функцию рвспредееенил которой Р(х) можно представить в виде Р(х) = р(у) Иу. (4.1) Функцию р(х) называют п.аотппостпью распределения (ве- ро*тппостпеб) случайной величины Х. р(х) = г"(х), (4.2) что следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом [У1]. Только такие случайные величины мы и будем рассматривать в дальнейшем.
Замечание 4.2. Соотношения (4.1) и (4.2), связывающие между собой функцию и плотность распределения, делают понятной следующую терминологию, часто употребляемую на практике. Функцию распределения Р(х) называют иптпе- Предполагают, что несобственный интеграл в представлении (4.1) сходится.
Как и прежде, для того чтобы подчеркнуть принадлежность плотности распределения случайной величине Х, будем наряду с записью р(х) употреблять запись рх(х). Все реально встречающиеся плотности распределения случайных величин явлюотся непрерывными (за исключением, быть может, конечного числа точек) функциями. Следовательно, функция распределения для непрерывной случайной величины является непрерывной на всей числовой оси и в точках непрерывности плотности распределения р(х) имеет место равенство 136 4.
ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ гральным законом раснределеннл случайной величины, а плотность распределения р(х) — диЯференциальным законом раснределеннл той же случайной величины. На рис 4.4 представлен типичный вид плотности распределения. Рис. 4.4 Теорема 4.2. Плотность распределения обладает следующими свойствами: 1) р(х) >О; 2) Р(х1 < Х < хг) = р(х) дх; +00 с1 3) р(х) дх = 1; 4) Р(х < Х < х+ Ьх) м р(х)Ьх в точках непрерывности плотности распределения; 5) Р(Х =х) =О. ~ Утверждение 1 следует из того, что плотность распределения является проиэводной от функции распределения, в силу свойства 1 функции распределения она является неубывающей функцвеб, а производная неубывающей функции неотрица тельна.
137 4.5. Непрерывные случайные вееиеивы Согласно свойству 2 функции распределения, Р(х1 < Х < хз) = Р(хз) — Р(х1). Отсюда в соответствии с определением непрерывной случайной величины и свойством аддитивности сходящегося несобственного интеграла [ Л] имеем ее е1 ее Р(хг) — Р(хд) = р(х) дх — р(х) сКх = р(х) сКх, Х1 что и доказывает утверждение 2. В частности, при х1 — — -оо, хе = +ос собьивие (х1 < Х < хз) является достиоеерным, и поэтому справедливо утверждение 3.
Согласно свойству 4 (см. теорему 4.1), Р(х < Х < х + Ьх) = Р(х+ Ьх) — Р(х) = ЬР(х). Если Ьх „малб" (см. рис. 4.4), то имеем ЬР(х) ЙР(х) = Р'(х)Ьх = р(х)Ьх, что и доказывает утверждение 4. Наконец, поскольку в силу определения 4.5 функция распределения случайной величины есть несобственный интеграл от плотности, то она является непрерывной, что приводит нас к утверждению 5. > Замечание 4.3. В силу свойства 2 плотности распределения вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток [х1,хз) численно равна площади криволинейной трапеции, заштрихованной на рис. 4.4. Согласно свойству 3 площадь, заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения, равна единице. В соответствии со свойством 4 вероятность попадания случайной величины Х в некоторый „малый" промежуток 138 4.
ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (х, х + Ьх) практически пропорциональна Ьх с коэффициентом пропорциональности, равным значению плотности распределения в точке х. Поэтому выражение р(х)Ьх или р(х)4х называют иногда элементпом веролгпмостпи. Можно также сказать, что непрерывная случайная величина реализует геометирическую схему с коэффициентом пропорциональности р(х), но только в „малой" окресшвосши точки х.
Наконец, согласно свойству 5, вероятность попадания в любую (заданную до опыта) точку для непрерывной случайной величины равна нулю. 4~ В заключение отметим, что на практике иногда встречаются случайные величины, которые нельзя отнести ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, как показывает следующий пример. 'Пример 4.4.
На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором т1 = 1 мин горит зеленый свет, тз — — 0,5 мин— красный, снова 1 мин — зеленый, 0,5 мин — красный и т.д. В случайный момент времени, не связанный с работой светофора, к перекрестку подъезжает автомобиль. Пусть Х вЂ” время ожидания у перекрестка. Покажем, что Х не является ни дискретной, ни непрерывной случайной величиной. Обозначим т = г1 +тз = 1,5 мин цикл работы светофора. Естественно считать, что автомобиль подъезжает к перекрестку в случайный момент времени по отношению к циклу работы светофора.
Тогда, с одной стороны, с вероятностью т1 ~т = 2/3 автомобиль проедет перекресток не останавливаясь, т.е. Х принимает значение 0 с вероятностью 2/3 ) О. Поэтому Х не может быть непрерывной случайной величиной. С другой стороны, на второй 0,5-минутной части цикла работы светофора время ожидания Х может принять любое значение от 0 до 0,5. Значит, Х не может быть также дискретной случайной величиной. Для того чтобы лучше понять существо дела, построим функцию распределения г'(х) случайной величины Х.
Посколь- 4.е. Неврерыввые елучайвые ееавчввы ~ЗО ку время ожидания не может принять отрицательное значение, то Р(я) = 0 для всех х < О. Далее если О < х < 0,5, то событие 1Х < х1 происходит в том случае, когда автомобиль либо попадет на первую часть цикла работы светофора (зеленый свет), либо подъедет к светофору при красном свете, но до включения зеленого света останется время, меньшее х. В соответствии с определением геоые~ирическоб вероятности т1+я я+1 Р(я) = Р1Х < я) = — = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
