XVI_Terver (969543), страница 23
Текст из файла (страница 23)
При этом сами случайные величины Хт, Хт,, Х„называют коордннатптьнн случайного вектпора. В частности, при и = 1 говорят об одномерной, при и = 2 — двумерной с.аучайной еелнчнне (или двумерном случайном вектпоре). Для и-мерного случайного вектора воспользуемся обозначе. пнями (Хм ..., Х„) и Х = (Хт, ..., Х„). В случае двумерных и трехмерных случайных векторов наряду с обозначениями (Хм Хз) и (Хы Хг, Хз) будем испольэовать также обозначения (Х, У) и (Х, У, Я). 166 5.
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Множество значений и-мерного случайного вектора можно отждествить с точками и-мерного линейного арифметического пространства Ж" [1У]. Замечание 5.1. Обратим внимание, что в данном выпуске в отличие от предыдущих [1У] вектор пространства й" будем обозначать матрицей-строкой. Приведем примеры случайных векторов. Пример 5.1.
Отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания при стрельбе по плоской цели можно задать двумерной случайной величиной (Х, у), где Х вЂ” отклонение по дальности, а 1' — отклонение в боковом направлении. При стрельбе по воздушной цели необходимо рассматривать трехмерный случайный вектор (Х, У, 2), где Х, У, Я— координаты отклонения точки разрыва зенитного снаряда от точки прицеливания в некоторой пространственной системе координат [П1]. Пример 5.2. При испытании прибора на надежность совокупность внешних воздействий в некоторый момент времени можно описать случайным вектором [Х, У, Я, ...).
Здесь, например, Х вЂ” температура окружающей среды, У вЂ” атмосферное давление, 2 — амплитуда вибрации платформы, на которой установлен прибор и т.д. Размерность этого вектора зависит от количества учитываемых факторов и может быть достаточно большой. ф Свойства многомерных случайных векторов мы будем в основном изучать на примере двумерного случайного вектора, делая, если это потребуется, пояснения для случайного вектора произвольной размерности.
Напомним, что рассмотрение одномерной случайной величины начиналось с обсуждения способа задания ее закова распределения. В частности, закон распределения одномерной случайной величины можно задать с помощью фрикции распределения. То же можно сказать и по отношению к п-мерному 167 5.1.
Совмеетвае фувввве реевРедееевве случайному вектору. Отметим, что в дальнейшем для пересечения событий (Х1 < х1),..., (Х„< х„) вместо записи (Х1 <х1)п...п(Х„<х„) будем использовать запись (Хт < х1,..., Х„< х„). Определение 5.2. Фуннцией распределения (вероятпностпей) Г (Х1 ° ° °,Ха) = ГХ„...,Х„(Х1 ° ° Ха) (и-мерного) случайноео вентпора (Х1, ..., Х„) называют функцию, значение которой в точке (х1, ..., х„) е Й" равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий (Х1 <хт),...,(Х„<х„), т.е. Р(хт,..., х„) = Рх, ... х„(х1,..., х„) = Р(Х1 < х1,..., Х„< х„). Функцию распределения Р(хт,...,х„) называют также совместпной (и-мерной) фуннт4ией распределения случайных величин Х1,..., Х„.
В частности, при п = 1 будем говорить об одномерной, при и = 2— о двумерной функции распреде- вт лен ия. а Значение двумерной функции распределения в точке (а1, аз), согласно определению 5.2, предста- тт х а, х~ вляет собой не что иное, как вероятность попадания точки с координатами (Х1,Хз) в квадрант с вершиной в точке (а1,аз), за- Рве. 5.1 штрихованный на рис. 5.1. Свойства двумерной функции распределения, аналогичные свойствам функции распределения одномерной случайной величины, доказываются в следующей теореме. 168 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Теорема 5.1.
Двумерная функция распределения удовлетворяет следующим свойствам. 1. О < Р(хд, хг) < 1. 2. Р(хд,хг) — неубывающая функция [Ч] по каждому из аргументов хд и хг. 3. Р(-оо,хг) = Р(хд, — оо) = О 4. Р(+ос,+со) =1. 5. Р(ад < Хд < Ьд, аг < Хг < Ьг) = Р(Ьы Ьг) — Р(Ьд аг) — Р(ад Ьг)+Р(ад, аг). 6. Р(хд, хг) — непрерывнал слева в любой точке (хм хг) Е К~ по каждому из аргументов хд и хг функция.
7. Рх„х (х,+со) = Рх,(х) Рхд,х~(+со,х) = Рх (х). < Утверждения 1 и 2 доказываются точно так же, как и в одномерном случае (см. теорему 4.1). Сооыидил (Хд < -оо) и (Хг < — оо) являются невозможными, а пересечение невозможного события с любым событием, как известно, также невозможное событие, вероятность которого равна нулю. Отсюда с учетом определения 5.2 вытекает утверждение 3.
Аналогично из того, что собьипия (Хд <+оо1 и (Хг < +со) так же, как и их пересечение, являются досидовврными, вероятность которых равна единице, вытекает утверждение 4. Рис. Ь.г Чтобы найти вероятность попадания двумерной случайной величины (Хд, Хг) в прямоугольник (ад <хд <Ьд, аг <хг <Ьг) (на 169 5.1. Созместлае фуллялл раепределелил рис. 5.2 заштрихован), сначала определим вероятность попадания в полуполосу (х1 < а1, аз < хэ < Ьэ) (отмечена двойной штриховкой). Но эта вероятность представляет собой вероятность попадания в квадрант (х1 < Ь1, хэ < Ьэ) за вычетом вероятности попадания в квадрант (х1 < 61, хэ < аэ), т.е. Р(Х1 < ам аз < Хз < Ьэ) = Р(61, Ьэ) — Р(Ьм аз).
Теперь осталось заметить, что вероятность попадания в прямоугольник (а1<х1<6м аэ<хэ<Ьэ) совпадает с вероятностью попадания в полуполосу (х1<61, аз~(хэ <62) из которой вычитается вероятность попадания в полуполосу (х1 < а1, аэ < хэ < ~), равная Р(ам 62) — Р(а1, аэ).
Окончательно получим утверждение 5. Подобно одномерному случаю доказываетсл и утверждение 6. Наконец, событие (Хэ < +со) является достоверным, поэтому (Х1 < х1) й (Хэ < +ос) = (Х1 < х1). Аналогично (Х, < +со) й (Хэ < х,) = (Х, < хд). Отсюда приходим к утверждению 7, которое устанавливает естественную связь между двумерной функцией распределения Рх, и, случайного вектора (Х1, Хэ) и функциями Рх, и Рх„которые называют одномерными (говорят также частными, или маргинальными) фуннииями распределения случайных величин Х1 и Хэ.
~ Пример 5.3. Некоторое техническое устройство состоит вз двух различных по надежности элементов, причем время безотказной работы первого элемента можно задать случайной величиной Х1, а второго — случайной величиной Хэ. Тогда надежность всего устройства можно описать двумерным случайным вектором (Х1, Хэ), имеющим неотрицательные координаты Х1 и Хэ.
170 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Пусть нелестно, что для любых хд > 0 и хя > 0 вероятность события (Хд > хд, Хя ) хя) определяется формулой Р(Х > х Х > х д е лдяъ Лиха лд1дпж1хд яч1 д хд 2. х2) =е 1 где Л; > О, д = 1,2, и Лдя > О. Найдем совместную функцию распределения Рх,,х, (хд, х2) и одномерные функции распределенддя Рх,(х) и Рх,(х) В силу неотрицательности Хд и Х2 событие (Хд ) х) совпадает с событием (Хд > х, Х2 > О), а событие (Хя ) х)— с событием (Хд ) )О, Х2 > х). Подставляя 0 вместо хд и х2 в выражение для Р(Хд > хд, Хя > хя), получаем: Р(Хд > х) = Р(Хд ) х, Хя ) О) = е дл'+лд2)* х > 0 Р(Х2 > х) = Р(Хд > О,Х2 > х) = е длд+л'~~*, х > О.
Отсюда находим одномерные функции распределения Рх, (х) и Рх,(х): Рх,(х) = 1 — Р(Хд )~ х) = 1 — е дл'+л">*, х > 0; Рх,(х) =1-Р(Хя) х) =1 — е (л'+л")*, х >О. Естественно, поскольку случайные величины Хд и Х2 неотрицательные, то Рх,(х)=Р,(х)=О, х<О. Так как событие (Хд < хд, Х2 < хя) совпадает с событием й '1 ЯХд > хд) 0 (Х2 ) х2)), то совместнал функция распределения Рх„х,(хд,х2), согласно свойствам 1 и 5 (см.
теорему 2.8), при хд,хя > 0 имеет вид Рх,,х,(*мхя) =1 — Р((Х > х ) О(Х > х2)) = = 1 — Р(Хд )~ хд) - Р(Х2 ~ )х2) + Р(Хд ) хд, Хе ) хя) = 1 е-(лд+ли)ю е-(ли+ли)е1 + е-лдю-лзхз-лидпах(хд *21 5.2. Диеиретиые двуиериые саучвйиые величины 171 Очевидно, что значение совместной функции распределения Рх„х, (хт, хз) при хт < 0 или хз < 0 задается равенством гх,х (х1 хз) ж О Полученная функция распределения задает двумерное энсноненцнальное распределенно.
Заметим, что это распределение моделирует простейший случай зависимых отказов, при котором могут одновременно отказать оба элемента. При этом в теории надежности Лт называтот интенсивностью отказа только первого элемента, Лэ — только второго элемента и Лщ — одновременно и первого, и второго элементов. 5.2. Дискретные двумерные случайные величины Определение 5.3.
Двумерную случайную велнчнну (Х, У) называют диснретттной, если каждая из случайных величин Х и У являетсл диснретпной. Как и в одномерном случае, распределение двумерной дискретной случайной величины естественно описать с помощью перечисления всевтяможных пар (х,, р ) значений координат случайного вентпора (Х, У) и соответствующих веролтпностпей с которыми эти пары значений принимают случайные величины Х и У. Для простоты ограничимся конечным множестпвом возможных значений, когда случайная величина Х может принимать только значения хт, ..., х„, У вЂ” значения дт, ..., лет, а координаты двумерного случайного вектора (Х, У) — пары значений (х;, у ), т' = 1, и, т' = 1, тп.
Такое перечисление удобно представить в виде таблицы (табл. 5.1). В этой таблице в верхней стРоке пеРечислены все возможные значениЯ 1тт, ..., Ртч ..., утп случайной величины У, а в левом столбце — значения хт, ..., х,, ..., х„случайной величины Х. На пересечении столбца ау~ е со строкой „х;" находится вероятность рту — — Р(Х = х;, У = уу) совместного осуществления событий (Х = хт) и (У = рй). 172 в. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Таблица Б.1 В этой таблице обычно добавляют еще одну строку „Ру" и столбец „Рх ". На пересечении столбца „Рх" со строкой „я;" записывают число Рх1 =Рп+" ° +Риа Но рх, представляет собой не что иное, как вероятность того, что случайная величина Х примет значение ж;, т.е. Таким образом, первый и последний стыбцы таблицы дают нам рлд распределения случайной величины Х. Аналогично, в последней строке „Ру" помещены значения РУ1 =Р11+" +Р11 а первая и последняя строки дают ряд распределения случайной величины х .
Для контроля правильности составления таблицы рекомендуется просуммировать элементы последней строки и последнего столбца. Если хотя бы одна иэ этих сумм не будет равна единице, то при составлении таблицы была допущена ошибка. Используя табл. 5.1, нетрудно определить сов.нестнув функцию распределения Рх,у(ж,у). Ясно, что для этого необходимо е.2. Двсвретвые двумервые сауееввые еелвчввы 173 просуммировать р; по всем тем значениям е и у, для которых х; < х, уу < у, т.е.
г'(х,у) = ~' Ре. е х;<е у' яд<ай Пример 5.4. В соответствии со схемой Бернулли (см. 3.6) с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи д = 1 — р проводятся два испытания. Вьшюпем распределение двумерного случайного вектора (Хм Хз), где Х;, е = 1,2, — число успехов в е'-м испытании. Каждая из случайных величин Х1 и Хз может принимать два значения: О или 1. Числа успехов в обоих испытаниях равны нулю тогда, когда произойдут две неудачи, а это в силу независимости испытаний происходит с вероятностью дд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
