XVI_Terver (969543), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Заметим, что при х1 < 0 или х2 < 0 Рх,(х)Рх,(х2) = О = Рх,У(хьхг). Если же х1, х2 ) О, то Рх (х)Рх2(х2) =1 — е ~ ' Е-(Л2+Лм)яз + Е-Л1 Ю -Лзя2-Л12(я1+я2) Нетрудно видеть, что произведение Рл., (х)Рх, (х2) совпадает при всех х1х2 с совместной функцией распределения (см. пример 5.3) 1-е (л'+л")*'-е 1л'+л")*'+ Р ( )= +е л'*' лма ~"~~1*'*') х1)0 и хэ)0 х, х,(хьхг) = 1 2 О, х1<0 или х2<0, только в том случае, когда Л12 = О. Таким образом, условие 112 = 0 является необходимым и достаточным, чтобы времена безотказной работы элементов были независмыми. Как следует из результатов примера 5.7, это условие соответствует тому, что одновременно два отказа произойти не могут. )Р Из определения 5.5 вытекает, что для независимых случайных величин Х и У события (Х < х) и (У < р) являются независимыми.
Покажем, что независимыми являются и все события (х1 < Х < х2) и (р1 < У < р2). Действительно, в силу БА. Независимые случайные леличилы 183 независимости Х и У, свойства 5 двумерной функции распределения (см. теорему 5.1) и свойства 4 одномерной функции распределения (см. теорему 4.1) имеем Р(х1 ( Х < хг, У1 ( У ( уг) = = Р(хг,уг) — Р(х1,уг) — Р(хг,у1)+Р(х1,У1) = = Рх(хг)й'(уг) — Рх(х1)й'(Уг) — Рх(хг)Р1'(У1) + + Рх(х1) Р1'(У1) [Рх(х2) — Рх (х1)) [Рк (уг) РУ (У1)] = Р(х1 ( Х хг)Р(у~ < У < уг), что и означает независимость двух событий (х1 < Х < хг) и 1У1 < 1' < уг) Замечание 5.2. Можно доказать и более сильное утверждение, состоящее в следующем.
Для того чтобы случайные величины Х и У были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы были независимыми любые события (Х Е А) и У Е В), где А и  — промежутки или объединения промежутков. Теорема 5.3. Для того чтобы непрерывные случайные величины Х и У были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для всех х и у рх,1 (х,у) = рх(х)рг(у) ~ Пусть случайные величины Х и У независимые. Тогда, со- гласно определению 5.5, Рхз(х у) = Рх(х)РЙУ) С учетом формул (5.1) и (4.2) имеем д~Рх,у(х,у) рхз(х,у) = а*ау ЫРХ(х) 11Р1 (у) Тем самым необходимость утверждения доказана. 184 о. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Для доказательства достаточности следует воспользоваться определением 5.4 двумерной плотности распределения и определением 4.1.
РХ,У(х~ у) = РХ,У(е~ ю) осовел = -оо<о<х -оо<в<о х я — Рл(е) «е РУ(ю) «ю = Рк(х)РУ(у) П ример 5.9. а. Рассмотрим двумерный вектор (Х1, Хг), совместная плотность распределения которого имеет вид 1, Х1 Е [О, 1] и хг Е [О, 1]; Р(х1 хг) = О, х1 Ф [0,1] или хг Ф [0,1]. Нетрудно показать, что одномерные плотности распределения рх, (х) и рх,(х) случайных величин Х1 и Хг задаются формулой ( 1, хЕ[0,1]; Рх,(х) = Рх,(х) = ~ О, х ф [О, 1].
Очевидно, что в данном случае совместная плотность рюпределения р(х1,хг) для всех хм хг является произведением одномерных плотностей рх, (х1) и рх, (х1). Значит, случайные Величины Хг и Хг являются незаВисимыми. б. Также нетрудно показать, что случайные величины Х1 и Хг из примера 5.6 являются зависимыми. Отметим, что если независимые случайные величины Х и У являются непрерывными, то двумерная случайная величина (Х, У) непрерывна.
Теорема 5.4. Дискретные случайные величины Х и У являются независимыми тогда и только тогда, когда для всех возможных значений х; и уг р;д — — Р(Х = х;, У = уу) = Р(Х = х1)Р(У = у ) = рг,.руг. е.4. Независимые саучавиме ваеичиим 185 Мы предоставляем воэможность читателю доказать эту теорему самостоятельно.
Пример 5.10. В схеме Бернулли с двумя испытаниями (см. пример 5.4) Р(Х, =О,Х, =0) =6'=Р(Х, =0)Р(Х, =0), Р(Х1 = О, Хэ = Ц = 4р = Р(Х1 = 0)Р(хе = Ц, Р(Х1 = 1,хз = 0) = рд = Р(Х1 = ЦР(хэ = О), Р(х, = 1,х, = Ц = р' = Р(х, = ЦР(х, = Ц. Таким образом, числа успехов Х1 и Хэ в первом и втором испытаниях представляют собой независимые случайные величины. Впрочем, в силу определения схемы Бернулли иного нельзя было ожидать. Убедитесь самостоятельно в том, что независимыми в совокупности являются случайные величины Х1,..., Մ— числа успехов в первом, втором, ..., и-м испытаниях по схеме Бернулли. ф В заключение заметим, что в 8.1 будут приведены другие необходимые и достаточные условия независимости случайных величин, выраженные в терминах условныя распределений Определение 5.6.
Случайные величины Х1, ..., Х„, заданные на одном и том же вероятностном пространстве, называют независимыми в совокрпноспан, если Рх,,...,х.(*1, " * ) = Рх,(*1)."~х. (* ). Замечание 5.8. Теоремы 5.3 и 5.4 распространяются на любое число случайных величин. Разумеется, как и для событий, из попарной независимости не следует независимость случайных величин в совокупности. Пример 5.11. Свяжем с бросанием тетраэдра из примера 3.6 три случайные величины: Хмхз и Хз, каждая из 186 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ которых может принимать значения 0 или 1, причем Хз = 1, если тетраздр упал на грань, на которой присутствует цифра 1, и Х1 = 0 в противном случае.
Аналогично Хг характеризует наличие цифры 2, а Хз — цифры 3. Покажем, что случайные величины Хь Хг и Хз будут попарно независимыми, но не являются независимыми в совокупности. Действительно, Р(Х; = Ц = Р(Х; = 0) = —, 1 = 1,2,3, и Р(Х; =1,Ху — — Ц =-=Р(Х; = ЦР(Х = Ц, з ~ у, т.е. Х; попарно независимы. Однако, например, Р(Х1 =1, Хг =1, Хз = Ц = 4 ~Р(Х1 = ЦР(Хг = ЦР(Хз = Ц =-, т.е.
Хь 1=1,2,3, не являются независимыми в совокупности. 5.5. Многомерное нормальное распределение Нормальное распределение одномерной случайной величины рассмотрено выше (см. 4.6). Обратимся к многомерному случаю. При этом сначала введем двумерное нормальное распределение случайноео вектора Х = (Хз, Хг), а затем обобщим полученные результаты на случайный вектор Х произвольной размерности и ) 2. Пусть координаты Х1 и Хг случайного вектора Х = (Хь Хг) являются случайными величинами, распределенными по нормальному закону, т.е. имеют плотиноспзи распределения 1 / (х п11)г 1 Рх,(х) = Ф„ц,в,(х) = ехр ~- г ) Ч2~го1 ~ 2о1 ) / (х ™г) рх (х) = упк,в~(х) = ехр ( г ) .
Ч2к г ~ 2сг ) Напомним, что параметры пн и о;. ) О, 1 = 1, 2, этих распределений называют матиемапьическими ожиданиями и средними квадратическими опьклонениями случайных величин Х1 и Хг. Б.Б. Мвогомервое ворматьвое расвределввве 187 Если Х1 и Хг являются независимыми случайными величинами, то, согласно результатам предыдущего параграфа (см. теорему 5.3), рх, х,(Х1,хг) = рх,(х1)рх,(хг) и в этом случае плотность двумерного нормального распреде- ления имеет вид 1 / (Х1 — 1711) (Х2 — тпг) РХьХт(Х1>хг) = г — г ЕХР ~ 2 2 2 2 (1~2я)го1ог 1, 2о1 2ог В общем случае вектор Х = (Х1, Хг) имеет (невырогкденное) двумерное норма.явное распределение, если его плотность распределения определяется формулой 1 -19(х -вт в -ы ) (Лт) го'1 ог 1/1 — Рг где функция двух переменных 1в(У11 рг) = — ~ — 2 — + — 2), (5.3) 1 /У1' 2ру1уг уг''1 1 — Рг ~о1 о1ог ор) у; = х; — тп,, т = 1, 2, есть положительно определенная квадратичная форма [1'т'] (т.е.
Я(У1,уг) ) О для любых (У1, рг) Е )и, (р„р,) ~(о, о)). Двумерное нормальное распределение зависит от пяти параметров: — координат тп1 и тпг вектора тй = (тп1,птг), называемого вектпором матпематпических охсиданий вектора Х = = (Х1, Хг); — координат о1 и ог вектора о = (о1, ог), называемого вектпором средних квадратпичных отпклонений вектора Х=(Х„Х,); — числа р, )р~ ( 1, называемого коэффицитпентпом корреллтфии случайных величин Х1 и Хг. 188 о. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Последние три параметра запишем для дальнейшего обобщения на случай и > 2 в виде мапгрицы ковариаций (ковариациокной матприцы) Е вектора Х = (Х1, Хг): ам о1г где оп = ог, 1 = 1, 2, а о1г = аг1 = ро1 аг.
Если ввести матрицу Й, обратную матрице Е, т,е. и вектор у'=(у1 уг) то квадратичную форму (5.3) можно записать в матричной форме в виде Я(у) =уЙу, (5.4) где знак „тч означает транспонированне. Действительно, если учитывать, что она 1 Е=— 1- рг то, подставляя Й в (5.4), приходим к выражению (5.3). Далее, если заметить, что множитель а1аг «/1 — рг = МеФ Е, где бе$Š— определитель матрицы Е, то выражение (5.2) можно записать в виде р;.(У) =, е-а(~-~)'('-~) . (5.5) («/2~г)г(бегЕ) г Теперь можно записать плотность (невырожденного) нормального распределения для случайного еектпора Х=(Х1, ..., Х„) произвольной размерности и > 2.
5.5. Мяогомериое яорматьяое распредетеяие 189 Как и в двумерном случае, многомерное нормальное распределение ~многомерныт1 нормальныт1 закон) определяется вектором средних значений йт = (тпм ..., тп„) и матприцет1 коеариацит1 (коеариационной матприцей) Е = (сгту), т,у = 1, и, причем Е является положительно определенной симметрической матрицей [1Ч). Диагональный элемент оа матрицы Е называют дисперсиет1 случайной величины Хо а о; = ~Я,. — средним кеадратпичным отпклонением Х;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
