Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Выбор параметров попеременно-треугольного метода для разностной аадачи Дирнхле. Чтобы воспольаоваться общей теорией гл, 1(1 (см. з 5 гл, 1П), пало найти постоянные 6 и Л, входящие в условие (16), В нашем случае А А, + А, ~ 6Е, где 6 — наименьшее собственное значение оператора А, равное 6 = 4 ~ —, е(п' —, + — „з(пг (1.гаа((,зй (20) л З(л 228 Гл у|.
эллиптичкскик угавнкния Рассмотрпы оператор А10-'А, = А,Л,. Учитывая, что А, =- ЛЕ,(а,Ь, — , 'аузз)за-. (а('+ аз) (Ь' ,— ' Ь.',), находим (А,А.,у, у) — (А,у, Азу) = - (( †„ Е., -~ †, и.,), Е) С < †., Š†Š) ((Е )' 4. (Е. Г, О) ~ ~ | ? С | 2 ~ !~ ~ ~ ~ ~ ~ ~1 ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~| ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ! | ~ ~ | 2 ~~ ~ ~~ е ~ т ~ ~ й 1 ~ а К, †1. — 1 = — '+ — '„~ У ((у,.) +(у„,)е].. Ь1)11» )' 1, 1)) '= ~ —. + — ) ( у, у), < ь' КЕ) 1 11 так как (см. $ 1 гл. У) ЛЕ-) (Лусу) =: Х йа Х (уе,),';,6 + Х Ь Х (у.',)';„)11 — (г=а — 11=О Сравнивая неравенства (А,Аеу, у) » (—, —; —, (Лу, у) в Л)ЛЕ»» — ' Л, / 1 1 л закл)очаги, что Л ==- 4 (21) Зная б и аь находим 1) = б)'(1 и по формулам 2 5 гл.
У находим параметры 1„11, с, после чего оцениваем число итераций по формуле 2 ( 1 1 — У~" п(е) 1и — (1и —, р, —.— Е )( Ог Пользуясь п(с), выбираем устойчивый иаоор чебышевскпх паРаметРов а„ т,ы и е) = 2/УГА. Приведем результат сравнения методов решения по числу итераций п„(е); метода простой итерации ()г, (е)), (1) явкой схемы с чебышевским набором (и, (е)) и попе- (1) ремекно-треугольного метода (ле (е)) для двумерной по(з) дельной аадачи (10), пользуясь приближенными формулами п(е ) (с) 2,'Ье, в(зе) (е) 3,2'Ьяо''(е)- 2,().' )У))прп е = 10' (табл.
2). З Е РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Табл ада 2 "о(') (1) а(Е)(е) ес (е) (3) ()'(О ()50 (НОО 32 (60 220 9 2( 29 200 5 000 20 ООО где с, и се — постоянные. Прн Ь, — = Ь =— '1 получаем уран- пеппе Пуассона Ли = — (. Разностпая схема строится па сетке ые = (х, = = ()ЬЬо 11Ь1))' 1„= О, 1, ..., Л)„, Ь, = 1„(Л)„, а = 1, 2). Каждый оператор Ь„заменяем па трехточечном шаблоне (х„— Ь„, ха, х„+ Ь„) разпостпъ(м оператором: где, и(х") — -- и((1, ~ 1) Ь„(еЬ ), и(' е) .—..
и (1)Ь„((ел. 1) Ье). Для а, и ае можно выбрать простейшие выражения ( 1 ! а)(х,. хе) —. Ь) (х, — 1'2Ь„хе) = Ь( ( — 1,''1 ) ае (х„хе) = 1(е (х„хе — 1,'2Ье) = Ье обеспечивающие второй порядок аппроксимации; Лаи — Ьаи = О (Ьй). () результате оператору сп ставится в соответствие раз- ностный оператор ва пятиточечном шаблоне: Ли = Л(и .(- Леи =- (л(и- ) - (пеи- ) 6. Равностные уравнения с переменными коэффициен- тами, Пусть требуется н прямоугольнике (' =((х„х,): О ( х (1, и=1, 2) решить задачу Дприхле для аллип- тического уравнения с переменными коаффпциептами: Ь1и =- л'(и + Ьеи = — — ) (х), х = (х„х.) ен (л, и == р (х), х еа Г, (22) Ьаи = — ~йа (х) — „.' " ).
О < с, »< )(а (х) »» с), а=-1, 2, 220 ГЛ. ГХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Напишем разноствую схему Ау= — 1(х), з ыа, у=)х(х), зш (а, 0(с,<а ~са, а=1, 2, (23) соответствующую задаче (22). Введем в пространстве сеточных фушщпй В йх оператор Лу= — Лу, А=А,+Л,, а о А,у = — Л,у, А,у = — Л,у и запишем (23) в операторной форме: Ау=у, у, сршН, Оператор А, очевидно, является самосопряжепным: (Лу, и) = (у, Ли). Из формулы Х,-1 и, — 1' М.,).. Оу "' =- 4 (" (у.—,)'),й н неравенства 0 ( с, -= а ( са следует, что с,(Лу, у) - (Лу, у) -= гх(Лу, у) плн сгЛ ( Л а С,Л, (24) где Л есть изученный выше опоратор Лапласа а Лу = — — у- — ух1хт хеху (25) Отсюда заключаем, что о с,6Е ( А ~ схЬЕ, а а где 6 и й определяются формулами (20), (21).
Для решения задачи (23) можно воспользоваться по- переменно-треугольным методом с оператором В=(Е+ыЛ~)(Е+ыЛЕ), Л,+Л~= — Л, Л, =Л, при В =- Е. а В етом случае имеем у,В ~ А < уаВ, где у, = с~ум уз = о о =- стус, а постоянные у, и у, найдены для оператора где у~ отличается от 1 только в 4 приграничных узлах (О = 1, )У~ — 1, 0 ~ (х ~ )Ух) н (О ~ й ~ Л'о (х - 1, )Уа — 1) в х Рзшение Рлзностных углвнкння 231 (25), Для шола итераций имеем оценку / 1 2 пв (с) ж 1/ — 'лв(е), п„(е) =, )п —. 2 2гч Для уравнения с переменными коэффициентами требуется в )'с,/с, раз больше итераций, чем для уравнения Пуассона, Таблица 3 л= пвз л= шзв а, с, П = Воел о=к э = их)е 39 47 53 57 59 20 23 25 26 23 46 92 184 367 45 90 180 360 720 2 8 32 128 512 Однако мошно не вводить оператор Л, соответствующнн оператору Лапласа, а сразу представить оператор с переменпымн коэффициентами в виде А = А, + А„ Оператор В выбирается в форме В = (Р+ ыА,)Р '(Р + вАл), (26) где Р=И(з)Š— диагональная матрица, Для применения обгцей теории надо найти постоянные 6 и Ь, входящие в условия А~)6Р,АлР 'Ав~( 4 А Коэффициент л((л) вы- А бирается из условия максимума отношеяия в) = 6/Л, и, следовательно, макспмУма 6 7~/Тм В РезУльтате полУ- чается алгоритм, у которого число итераций и,(е) слабо зависит от отношения с,/с,.
Об этом свидетельствует табл. 3. Глава У11 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В этой главе рассмотрены разностные схечы для регпения уравнения тенлопронодвостн. Детально исследовано одномерное уравнение с ностоянными коэффициентами. Приведены рааностпые схемы для многомерного уранпення теплопроводностн с переменпымп коэффициентами. й 1.
Уравнение теплопроводности с постояннымп коэффициентами 1. Исходная задача. Процесс распространения тепла в одномерном стержне 0(х(/ описывается уравнением теплопронодностп д« д / ди ~ .р — „=- —,. (й —,)+/.(../), где и =- и(х, () — температура в точке х стержня в момент /, с — теплоемкость единицы массы, р — плотность, ср — теплоемкость единицы длины, /г — коэффициент теплопронодностп, /, — плотность тепловых источяпкон. В общем случае Й, с, р, /, могут зависеть не только от х и ), но п от температуры и=. и(х, Г) (квазплинейиое уравнение теплопроводпостн) и даже от ди/дх (нелинейное уран- ление). Если /', с, р постоянны, то (1) можно записать в виде д« .,д«, /« — =- и- —, д$ дхз ' ' гр где а' = й/(ср) — коэффициент температуропроводпостп, Без ограничения общности можно считать и = 1, / = 1, х а С 2 В самом деле вводя переменные х, =- — /, = —,, /, =- з — ~ ~ «= з 1= Р = — /, получим г — =- —, + /и 0 ( х, <: 1.
д«д« д!1 дхе ' и 1 3 ь угавненне с постоянными козФФнциентзми 333 Мы будем рассматривать первую краевую задачу (иногда говорят: начально-краевую задачу) в области )у = 10 ( ~ х ( 1, 0 ( г < Т), Требуется найти непрерывное в В решение и = и(х, 1) задачи — = —, + ((х, Г), 0(х< 1, 0 Сзе-.Т, дх И(Х,О) = и,(Х), Оа-.Ха-.1, и(0,1) = И„(Г)х (3) и (1, 1) = и (1), О ( 1( Т, 2.
Некоторые свойства решений уравнения теплопроводности. В силу принципа максимума для решения аадачи (2) имеет место оценка п1ах ( и (х, Г) ) х~ шах ( шах ) ио (х) (, шак ! и, (о) (, охх<ь охнет ~охххг охсхт гпак ! и, (1) )) + ) гпак / Г' (х, 1) / г)1. (4) охмхт ) о оххчг Рассмотрим однородное уравнение с однородными краевызш условиями: — — 0(х< 1, 0(г~Тх дхо и (О, 1) =- и (1, 1) = О, 0(1 а-. Т, (5) и (х, О) =- и, (х), О (~ х (~ 1. Решение атой задачи находится методом разделения пере- менных в виде и(х, 8) =- ~~~ сзе '"'Х„(.г), (б) А=-Г где )о, и Х,(х) — собственные значения и ортонормнрованные собственные функции задачи Х" + ),Х = О, О ( х кс 1, Х(0) = Х(1) = О, равные Лх = )о'"я', Х,(х) = ) 2 юп )оях, (7) причем (Х„, Х,„) =- ( ХА (х) Х,„(х) о(х =- 6А~, о !, й.-т, 6 О, йтнт.
гл. тп. гвлвнвнив ткплопеоводности 234 В самом деле, все частные решения (гармоники) ии(х, 1) -ьы = сие Ха(х) удовлетворяют уравнению и краевым условиям (5), Из начального условия п(х, О) = и,(х) = ч", сьХл(х) (3) находятся козффициенты с, = (а„Х,). Из (6) и (8) следует 1 и (~) )' = (и (х, с), и (х, ~)) = СО » = асиле )Хл~~(е 'л ~сл3=е ч $цД~,, и=-л и=1 так как 1пз<! = л.„и сю ).л) йл — ~) ° ° ° > ь1 = я ° а=! Таким образом, для решепкя задачи (5) верна оценка <<и(8))» е ' (ии~, Х, = я"', (9) Эта стадия процесса называется резуяярным релсимоль 3.
Разностные схемы. В области б введем сетку ии =-((х(): х =Уцй=ут,(=0,1 .. )Ч Ь вЂ” '1ЬЧ 1 = О, 1,, Ь, т = Т~ л') с шагамп: Ь по х и т по й Заменяя производную по и разностным выражением < й~и и.„— 2и;+ и; — и дх ьз Лиь вместо (3) полу пгм систему дифференциально-разностпых уравнений (метод яря.чых) йи; — = Ло; + )н 1 =- 1~ 21 з выражающая свойство асимптотической (при 1- ) устойчивости задачи (5) по начальным данным (т 4 п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
