Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Здесь р =- (1 — 1/2тб)/(1+ 1/226) = е ~" (1+ 0(т')). Если условие т» т, нарушено, т. е. т ) т„то при болыппх 2 преобладает не первая, а последняя гармоника: у', с,р> яп л (Л> — 1) х, ж с>р1 ( — 1)' зщ яхь 4>'йта — 2 где р ==, + ( е ', что, конечно, ие имеет ничего 2>'Вта+ 2 общего с решением дифференциального уравнения. Требование асимптотической устойчивости тесно свнзано с точностью схемы и фактически означает п требование асиаштотической точности. Особенно четко это проявляется при расчетах па реальных сетках для больших й Отметим, что условие т = Й/л для симметричной схемы не является обременительным.
Доказывается, что чисто иеявпан схема (о = 1) может обеспечить приемлемую точность в случае больших значений г только прп шаге т, сравнимом с шагом явной схемы, что лишает чисто неявную схему при проведении расчетов для больших 2 ее основного преимущества — устойчивости прп любых т н )>. 5 2. Многомерные задачи тенлопроводностп 1. Разиоетные схемы е весами. На плоскости х = =(хо х>) рассмотрим область 6 с границей Г. Ьудем искать решение задачи теплопроводпости в области 6= = 6+ Г для всех 0 ( >» Т. Требуется найти функцию п(х, (), определенную в цнлнпдре (/, = 6 Х [О, Т) =((х, 2)1 х>н6, О»(» Т), удовлетворяющую в ()г= = 6 Х(0, Т) =((х, ))1 хя6, 0((» Т) уравнен>по теплопроводностп — =- Ьи+/(х, (), Ьи= —,, -) —,, (1) ди ди, дзи дх- сх; 1 244 гл, г1г.
РРАвпвпиг тгплопРОВОдпости краевым условпяк первого рода па границе Г области С и=О(х, г), хшТ, 0(г.--.Т, (2) и начальному условию при г = 0: п(х, 0) = и,(х), х ш С. (3) Предположим, что (х — прямоугольник: 6 =(Х=(Х„Хг): О~Х, =(О О=Хг:=)г). Введем в 6 прямоугольную сетку ('г) Ог) ('а) юл =. (хг — - (лхг, хг ) ха — ' Майи.
ги = О, 1...., Ха, Ьа = )а/Лги~ и = 1 2) с границей хгл = (хг = ((гЬгг (гЬг): гг = О, )уг О ( ( ( Хг', (г=О, Лгг, 0<),СЛг,). Лппроксимируем оператор Лапласа 5и = Ли разностным оператором на пятиточечном шаблоне (см. гл. лг1, з 1) Ти Ли= к- +ихгхг ' хгх . Задачу (1) — (3) заменим дифференциально-ревностной задачей (методом прямых): агй (О =- Лпг:(О+ 7г(0, г =-= (гг, (,), гч (О) =-= ко(хг)1 х;~ юю о (() )ть -- р~((), 0~ ~(( Т. (4) Введем па отрезке 0 < ( < Т сетку ю, =- (гг =- )т: 0 =. гг < ~ Т) с шагом т. Напишем слепу с весапп 7л! .г = Л (Оугт' -';- (1 — о) уг) -'- гр' )' .= О, 1, ..., (5) х = (ПЬ„г,Ьг) ш огл.
у(хь Г) = ра(()г х Тлг г Отсюда видно, что для определеппя у = у'+' па новом слое где у' = у(хь 0) == у(ОЬ„ггЬ.;, О), Прпсоедппим к уравнениям (5) у(х, 0) = кл(х), х — — (ОЬг ггйг) ш ец, (5') =/тшагь В ". миогомег!гыг зхдх'ги твгшопговодносгл! 245 ! = !.„, надо решить разпостпое уравнение у -- атЛУ = Р', Е =- у+ (1 — а)тЛУ+ тг(5 У=У, хш7л. х гн ыг„ (О) «г.="'л лг-! кг-г —;5~ Ь, ~; Ьгу(гг)г„ггЬг) гг(г!)г„ггйг) (7) н учитывая, что (Ау, у) - ИАУИИУИ ( ~гАИИуИг, находил! ((Š— атЛ) у, у) = ((Е-,'- атА) у,у) =- =. )1 у Ил -Р ат (Ау, у) ) ~ — — , 'ат) (Ау, у) ) О, так как (Ау, у) ~ бИУИг ) О (см.
гл. лг1, $ 1, и. 3), Запишем подробно в шгдекспой форме разпостпое уравнение . ~ у,— дл ла у, д.) — (1 + 2 ( -'- уг)) у, г + + ау; (уг, „.-! + уг,!.,е!) — — Ег, (8) где у;,ы =. у (ггЬ„глЬл), у, =-- т'Ь,-", у. = тгЬ.'-', Гг,г„= (1 — 2 (1 — т) (у, + ул)) у;, г„+ (1 — а) у, (д!. г г, -(- - - у;, лг, гл) + (1 — а) ул (у!о!, ! + у;, г,,) + г(гг,г,, уг г, .— Н! г, х! -- (ггЬг, г,Ьл) ~ уы Зто разпостпая краеная задача решается относительно у теми же ыетодалгн, что и разностпая аадача Дирихле для уравнения Пуассона (см, гл. лг1, $ 2). Здесь коэффнциеп- !'азрешпмость этой задачи следует из того, что оператор (Š— атЛ) является положительно определеппыи прп а ) — 1/(тИАИ), в силу того. что (Š— атЛ)д = о = (Е+ атА)у в пространстве сеточных функций у, заданных па сетке ыл и обращающихся в пуль па граштце 7л (ср.
гл. гг1), Р[окашем это, Вводя скагпгриое произведение (у,г) - ~, у(х;) о(х,) )г,Ьг = 246 гл. Чм. УРАвнвние ткплопговодности ты уравнения постоянны, область С вЂ” прямоугольник, позтому наиболее зкопомичпыми являются прямые методы решения разностных уравнений (8). Итерационные методы менее экономичны. 2. Устойчивость и сходимость. Пользуясь определенным выше в гл. о'1 оператором Л: о о о Ау== — Лу=- — у- — у-, уе=Р, ус=И вЂ” Н, о~х~ ооху запишем схему (5) в канонической форме: ого В' ' +Ау .-~р, 1= — 0 1,..., уо=и„уенН, (0) В .—.
Е+ атл. Оператор Л язучеп в гл. У1, Оп является самосопряноепным н положительно определенным в пространстве Н = Й размерности (Х, 1) (Л~,— 1), А = Ло, боКв..АКЛоВ, где 4 ., "а~ 4 о ав о ." 2! о! а~о '! Ь. о зА, т,ва, д,: — — ', созо —,' -'- —, гоз',—,', Ло .— — -1Л1. Ьо 2~~ Ь; 1 (10) 1 1 а)а, о' о 2 т1Л!Г В частности, для явной схл мы имеем условие 9 /2 21 т( — ", илп т( — + —., до' ~,Ь~ й-.,~ (1 2) На квадратной сетке (Ь, = Ь. = Ь) условие устончпвостп явной схемы имеет впд т < Ь-'/4 (ср. с условиямп т < Ь /2 для одномерной задачи).
Из ('!1) видно, что схемы с а Р- '1/2, в том числе чисто неявная (а = 1) и симметричная (а = 1/2), безусловно устойчивы. Явную схему (а =- О) В силу общей теории (см. гл. У) схема (О) устойчива в Ио прп (11) а г. хгногомкгныв алдхчп ткплопговодности 2ат могкпо записать в виде у(~ а =- (1 — 2 (у~ + 7а)) уй , + уг (уй-и й + у й -г,~,) + + уа (Уггд — г + 1/йэес1) + т<Иг». (1") Сумма коэффнцнентов прн у в правой частя (!2) равна единице. Еслн все коэффициенты неотрнцательпы, т. е. выполнено условие у, + ух «( 1!2, у, =- т/йн уа=- т!й.,', эквивалентное условию устойчнвостн (12), то нз (13) следует неравенство !!у' )!с .
!!у'))с + т))ср ))с Суммируя по /с = О, 1, ..., / — 1, получаем оценку (ср. 5 1) 1-1 Ь'!!с()ЬЪ+ Х т11 р'Ь (14) которая сохраняет силу прн любых гиагах сетка для чисто неявной схемы (а =- 1). Во всех других случаях оценка (14) нмеот место прн а 3-1 — 1/тЛ,. Для доказательства сходкмостн надо, как обычно, последовать певязку $ = Л(си + (1 — а)и) -( ~р — и,, Учитывая, что Ли = /и+ 0 Ой)з), (й(с =- йг -,'- й'.
по аналогии с одномерным случаем находки ~: = 0()й)г -',— т'),— (а — ~~ 0 (т). Для погрешности г =- у — и нмооы задачу г) "г — г~  — — +Аз'== ц', /.—. 0,1,..., гс —.— г(О) .— О, Отсюда и пз априорных оценок следуот сходимость а 0 схемы (5) со скоростью 0(т+ )й)с) нрп аФ1/2 н 0(тг+ +)й)г) прк а = — 1/2 (полная аналогия с одноиерпыы слу- 1 чаем), осли а ) 1 — —. Для решения задачп, в силу оценкн, полученной в гл. У, выполняется неравенство ~~г'+'(!л ( ~„т!,ф'(~ прн а)а, =- —, — —, а>О, а=а 9 248 гл тп угавненик ткплопговодности где И.'1 =-!)1()Ь1+!!161 А(У == — У„-„, А У = — У; х, К вЂ” 1 И !!З)!Ь вЂ”... Х ~,, Ьо(з. (1„11)) + ~о и~э Ьо(э- (1„1'.,)) . х1 0=1 1,,=-1 Отсюда следует безусловная устойчивость сходню сти схемы (5) в //* со скоростью 0(т+ )Ь!') при о оа 1/", о ~ 1/2 и 0(то+ )Ь!о) прп о =-1/2.
Проведенное выше исследование надо дополшги усло- виями асимптотической устойчивости. Поскольку эти ус- ловия т К т, были получены для операторио-раэпостпой схемы с весами с произвольным оператором А =- А» ) О, боЕ ( А ( Лохи то пми можяо воспользоваться и для нашей схемы (5). Пользуясь выражениями (10) для б, н Л„получаем ус(и (11,,1' 4 ловия асимптотической устойчивости т ~( т,, то ,„' -1 (И (Ы вЂ” для явной схемы (а =-О), т(~то, т, Ь )/Ь„л„, о„Ло иэ (10)„дла симоютРичиой слепы (о = 1/2). В частности, ири Ь, = Ь. = Ь, /, = — /о =.! имеем 1(Ь ..
в .2 до 6 -.—,э(по —,, Л =.— со. —,' т о ' о- 21~ о —" о ' 2(~ о Предельное апачеппе т, в два раза меньше, чем для Ы1 одномерной схемы (5) из $1. Чисто пеявиая схема о = 1 беэусловно аспмптотическп устойчива, 3, Переменные коэффи((иенты. Рассмотрим задачу ()), предполагая, что Ь есть эллиптический оператор второго порядка с переменными коэффициентами и без смешан- ных производных: д 1 д о'ъ /и =- /(и+ / »и, /(и -= — ~/(1 (х, /) — ~, дх ~ ' дх~' д / ди1 /,и =- — ((/(о (.г, () — ~, дх ~ дх с (Ь„(л( /) (см (х, () ~(/т = 6>,(0, Т!. 6 х многомеРнык зАЛАчи теплопРОВОдности 249 Каждый из операторов Е, и Ц аппроксимпруем разност- иым трехточечным оператором; Лг ° Л„ 'г 21 Лги — (а>на ),, Лвп = (аег>„- ) где а, = а,(г',Ь„гг)г„г), а, = аг(г>Ь>, 11Ь„2) — некоторые функционалы от аиачений й> и Й, соответственно; в простейпгем случае а, =)с,((гг — 1/2)Ь„>,Ь„~), а, = )с,(г>Ь>; Ог — 1/2)Ь,.
2), что обеспечивает второй порядок аппроксимации: Лг,и — 1,.и — О (Ь'„,), а =- 1, 2. Оператору 5 ставится в соответствие разностный оиоратор Л: Лс == Л,н + Лаи =. (агг>- )„+ (ази; )„. (15) ЗаПИШЕМ Лги И Лгс В ИпдЕКСНОй фОрМЕ Лгн =- — ~ а, ((11+ 1) Ь„гзЬ,;, () 1 1 ໠— а ° >,-1,11 — а, (г,Ь„>,Ь;, () г>г г г, . 1 1 г 1 л 'г Разпостг>ая схема с весами имеет тот же вид (51), что и в п. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
