Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Схему (4) часто называют схемой арест. Если Ь, =Ь, = =Ь, т. е. сетки по х, и х, совпадают, то сетку им называют квадратной. Па такой сетке разпостную схему (4) можно записать в виде у(,')= д(1,— 1, !)-', д(1 — '1, 1) ' д(1к 1,— 1)-'-д(! . 1,--!)+ь. 1 (1к 1) Для одкородпого уравнения (!' = 0) получаем 1 у(1„!' ) = — (у(1, — 1, 1,) + у(1„+ 1, !.) + + у(1„(з — 1) + у (гы гз -) 1)), т. е. эяачение в центре шаблона определяется как среднее арифметическое значений востачьных узлах шаблона. 3.
Погрешность аппроксимации. Пусть и = и(х) — решеяие задачи Дириале (1), (2), а у = уП„1,.) — решение разностной задачи (4), (5). 1'ассмотрим погрепшость з(х) =у(х) — м(х), х=((,Ьь !зЬг) ыы„. 5 1. Рлзностные схемы для уРАВнения пулссонл 2!3 с однородным краевым условием г=О прв хшуз. (7) Здесь зр (х) = Ли + ,/(х) =- и- + и- + / (х) (8) есть невязка или погрешность аппроксимации для схемы (4) ва решепип и = и(х) уравнения (1).
Покажем, что 24 (9) где Из — игал В самом пеле, учитывая формулы и(х, ~/г„хз) —.-. и(х„х ) 4-/11 —,(хо х,) + 1 ди ли з .з + —,—. (.г„хз) ~ —,— (х„х,) + д.л' О диз '1 1 л, ° .4 24 и.г, -' —,,' —,(.1, хз), х, --= х, -'. 91/1„0. 0,~~1, л7и Ь. дз и ц (ХО Х. -1- /1 ) .= и (Хг, Х ) ~ /гг — (Хг Хг) Л вЂ” „(Хгг *З)~ /12 д' и, Вз 'л гл 3 з гл — — (х,, хз) -', —,," — (х„хз), тч -= хз + О /12, О -22 1' ' '-' ' 2лл 9<92<1, находим /'1 ди —, /'1ди 2 .з — /(х) .— —.( )+ — — ( ). 24 дл 1' з 24д з '1 следует (9).
/ д"и ди дх'г дх, 1 Отсюда и пз (1) 11одставляя у = г+ и в (4), (5), получаем для погрешности г = г(х) неоднородвое уравпение Лг = г- „+ г- = — 2)7(х)л хан игл (С), (О) 214 Гл. »г. Эллиптических угавпииия Тани»а образом, схема (4) имеет второй порядок ап- проксимации. 4. Схема повышенного порядка точности. Используя девятиточечный шаблон (х„х,), (х, ~Ь„х,), (х„х,~Ь,), (х, ~ Ьо ха ~ Ь,), можно построить схему, имеющую чет- вертый порядок аппроксимации (и точности), если пред- положить, что решение задачи (1) — (2) и и(х) лн ж С»о(б).
Эта схема имеет вид зла+ И Л'у Л, + Л,+ — Л,Л„У=. — »Р(х), х~ ыл, у(х) = р(х), хан ул, Л,у й х лала Ь,а ьа лр "- 1+ л 2 Л | + ~а2 Л»1' Непосредственная проверка показывает, что невязка равна лр = Л'и+ лр = О(!Ь|'), (11) Для погрешности з у — и, где у — решение задачи (10), получаем Л'г -лр(х), х ж елл', г = О, х ге '(». ( 12) л 5.
Свойства разностного оператора. Пусть у(х) — сеточная функция, заданная на сетке «лл = елл((') и равная нулю на границе (л сетки, и пусть 1) — множество сеточо ных функций у. Определим оператор А следующим образом: о л Ау=- — Лу- — у- --у- для всех уен(), (13) хлтл лал' где П вЂ” пространство сеточных функций, заданных во внутренних узлах сетки ыл п совпадающих там с у, а у(т) р(х) при хан елл.
Обозначая )л(1 '*а) ~р *1+ ', а прн х,=(,— Ь„О<х,<1„ 1 )л(0, х ) у- ~+ —,', х,=)лн О<ха<1„ 1 9 1. РАзностные схемы для уРАвнения пуассонА Ерз Е( ',) о (х , О) Ч» = ~ + ', О < х, < )„х2 = Ь, »2 2 ф(х) =)(х) в остальных точках х»на»1, запишем разностную схему (4), (5) в операторном виде: А»р = »р, у, ф ж Н, (14) где Н= 1). Введем в Н скалярное произведение А1-1 А2-1 (у, п) = ~ ~~~~ у (11, 12) »» (1 1, 12) Ь,Ь2 и» вЂ” — 1 и покажем, что оператор Л самосопрян1ев. Представим А о в виде сув»мы А Л»+Ам где Л»у = — у-„„, Л,у =— н покажем, что каждый из 2одномерпых» операххх»' торов А, и А, является самосопряжепным.
Достаточно показать зто для оператора А,. Рассмотрим скалярное произведение Яз-1 , Л,-1 (А,у, о) =- — Х )12~ Х у-„„((„12)г(1„12)Ь, . (15) »а=1» =1 121 Воспользуемся одномерной формулой Грина (гл, 1, 3 4): И,-1 А»1-1 О * а о хо ух о (1~ 12) (1» 12)Ь1 хо у(11~ 12) Р' х (»о»2)Ь», х»х1 о:»х» Подставляя зто выражение в (15), получаем »22-1 К;1 о о (А,у, г) = — х~» Ь, Д у (1„1Д»»- (»'„12) Ь, =(у, А,г). х»х» Аналогично убеждаемся в том, что Л2 =-4„и, следова- тельно, (Лу, о) ИА, + А,)у, о) = (А,у, о) + (А,о, у)— (у, А»и)+(у, Л,ь) (у, Ао), т, г, Л"=Л, 2)6 ГЛ.
тг. ЗЛЛИПТИа!ЕСКИЕ УРАВНЕКИЯ Если воспольаозаться первой разностной формулой Грина И,— 1 а Ух 2 (1' 2)У(1' 2) 1 ~~ (,Зй "1 "1 .1 то получим — И1 (А,у, у).=- ~ 1!2 ~ч~ ~(у- (1„!2))26 ) О, 11=1 11=1 ! где ,! аз Л, = —, соз —,'. 2 ! А2 2! 1 4 лl!! 6 = —,з!и' —. 2 2! Ьз Суммируя зти перавонства по !1=1, 2, ..., Уа — 1, получим 6,(у, у) < (А,у, у) ( Л,(у, у).
Аналогично находим 6,(у, у) ~ (Аау, у) < Л,(у, у), где 4 . 2з!2 4 6,:=- — „з)п' —,', Л2 =-. — созз —, 2! : - = „2 2!. 1 2 Отсюда следует 61у!'~(Ау, у) ~Л1(1-, (16) где ль 4 лз 6=6+6 =- — '.в — '+ 1: 2 22 а/ ' 2 2! * ! 2 4 зз! 4 2 л!!2 Л =- Л, -,'.
Л, =.. — „созх —.' + —, соз' —,'. ! (!7) В квадрате ((, = !1 = 1) па квадратной = )22 ' й) имеем 8 . 2аз 6 = —., з!и — ', Ьз ' а сетке (Ь, = 8 злу 8 Л = —., созз —,, 6+ Л = — „. (!6) Аз Ах п, аналогично, (А,у, у) ~ О, так что А ) О, т.
е. А— самосопряженный и положительно определенный оператор. Нетрудно найти границы 6 н Л оператора А, т. е. числа, для которых выполнены неравенства 6Е ~ А ~ ЛЕ, где Š— единичный оператор. В самом деле, в $ 4 гл. ! показано, что И1-1 к! И,-1 61,Е (у(1~~ 12))'61~ ~2~ у-„«1 '2) "1~~Л1 2„(у(1~~!2)) йм 11=1 1,=-11 "1 / !1=! з ь РАзностные схемы для РРАвннния НРАсгонА 2(Т имеет нетривиальные решения (собственные функции). Воспользуемся методом разделения переменных и будем искать репюпие задачи (19) в виде произведения У(хь х,) = Р(х,)ш(х,) та 0 (20) функции Р(х,), зависящей только от х„и функции ш(х,), зависящей только от х,. 1)одстзвив (20) в (19) н разделив па у = в!г, получим х- и —,' ' —. — — '-' ' — Ь, (х„хх) ен юь (21) х и Левая часть зависит только от х„ а правая — только от х,; равенство (21) возмоькно только при условии У- а'- где А'о =соней Отсюда получаем две одномерные задачи ка собственные значения для отрезков 0 < ОЬ, ~ (, п О < ЬЬ,- )х соответственно: -;- ),!па:х О, 0 < х, =- (дй, < ),„в =.
О, (, =- О„У,, х!хх (22) + Ьспш=- », х,х, О < хз == (хйх < )„ю = О, (,=О, !'х', (23) где )си =Ь вЂ” Ь' ', илп А = В"о+ А' '. Обращаясь к и. 8 Т 4 гл. 1, выпишем решение задач (22), (23) в виде сы 4 ., я"'А )х, = — зйгт ,з 2! ох, (х)= — з(в —,, Ь,=1,2!...,Х,— 1, 1 г еп г, „зЛ..А, Ь» = — з)п' — хх '2 Ах з! х х 6. Разноетная задача на собственные значения. Рассмотрим задачу: найти такие значения параметра Ь (собственные значения),прн которых однородная задача у-„+ р-„-)- Ьу =- О, х ен юь, у =- О, х еи уь (19) Гл. Ее эллиптические и'хвнения 2!8 где х„=( Ь, 4 =О, 1, ..., Жх.
а=1, 2. Отсюда следует, что задача (19) имеет собственные значения 4 . ~"'~" ( 4 )е х = е(пх — "( + '( з ах 2(,з ( Ь = 1, 2, ..., Ь('. — 1. а = 1, 2, (2У ,(и (ю и соответствующие собственные функции ух = а«, (х()п(х, (хг): ях(х тй х„ "" =""" ""'= Ч '1'3 (а '1 2 ха хх (аЬ«1 (а = О~ 1х ° ( 3а~ Ьа = 1 2: . (Та а = 1, 2, (25) Этн собственные функции ортонормнрованы: (х'х «х'т т ) = бх т бх т Из (17) и (25) видно, что 6 = ппп Хх,х, = Х(,(, Л =- шах Хд,«, = Хт,, „, „ где б и Л определяются по формулам (17).
Для 6 п Л верны оценки 6 > 8 ~ — + —.), Л < —, + —. /4 (Ь 4 4 ((з ('") ' 1 ье ь) '3 (26) 7. Оценка скорости сходимости схемы «креста. Принцип максимума. Для погрешности а= у — и схемы в и. 3 получена задача (6), (7), где ф(х) = 0(!Ь!2), ! Ь )2 =. Ь1+ Ьа (27) в предположении достаточной гладкости решения и =п(х) юС("((, ) исходной задачи (1) (2). Докажем, что схема (4) сходится со скоростью О(!Ь!') (имеет второй порядок точности) восточной норме С, т. е.
!!г!(а 0()Ь)*), где )х!!с =(пах)з(х) ! Для етого нампопадобитсяоценка хнаа решения задачи (6), (7) через правую часть (). Разност- $ 1, РАзностныв схемы для уРАвнкния пуАссОнА 2!9 ная задача Дирихле (4) является частным случаем задачи .х'(у) =а!11,,/!1А1 — Ь!, 1,!!У!1-1 и — Ь!...;,у,... ! Ь21,!1 1у!1лг 1 Ь!1 !з"»1У!1, +1 !р!!!1 х=- (11Ь„)1)11) еи ы», у =- р, хану», (28) где а = а1,;и Ь = Ь!ь!з — коэФфициенты. В случае (4) имеем ! Ь!1 ' 1,!1 = 1 ! ьч; А (29) Оператор 2'[у) можно записать иначе: Х (У) ~1~!У$1!1+ 11 1Л1(У11Л» У11 1оз) + + !Г»»!1(У~1 !1 У'1Е1 '1) + !1,!З-1(У!1,!1 Учдз-1) + +Ь...-з„(У1„-,— Уг„т„), (ЗО) где д!1!1 = а;,!1 — Ь1,-1Л, — Ь1,.»1,!1 — Ь;,,1,, — Ьй 1,,, Будем предполагать, что выполнены условия д=д;...~О, Ь,,-. О, Ь,,„з„~о.
(з1) Для задачи (4) имеем д = О. Теорема 1. 1!усть выполнены условия (31) и !р(х) ~ ~0, у~1=-О. Тогда решение уравнения (28) неотрицательно, т, е, у(х) ~ 0 во всех узлах сети е!» = гв»(Г). Д о к а а а т е л ь с т в о. Предположим, что утверждение теорев!ы неверно и существует по крайней мере один узел х! = (11Ь„»зьз),в котором у(х;,) ~0. Тогда функция у(х) в некотором внутреннем узле сетки догнкна принимать наименьшее отрицательное значение п11п у (х)- хин» =- у(хх). В этол! узле выполняется уравнение (28). Если а(хх) = 0 и !р(хз) =- О, то уравнение (28) выполнено только при условии у(х) = у(хх) во всех узлах шаблона. Однако, так как !9(х) аз О, то существует узел х1„,в котороч у(х!»„) у(х1,) .= Пппу(х) =- с„(0 н по крайней мере в одном узле, например при х =.т;,! и имеем у!1->1.з сг, и, сле- 220 гл.
чг. Элчиптичкскик увавнвяия довательпо, х!у)) =.,„„(О, что противоречит условию .х (у) = фх) «О, Полученное противоречие и доказывает теорему. Теорема 2 (теоретаа сравнения), Пусть у(х) — решение задачи 2'(у) =~р, хыю„, у=)г, хы "~л и выполнены условия (31), Если (~р(х)(»гр(х), хы ьзь, !р(х)! «и(х), (32) х ы тм (33) то для ре~иения зада чи (28) верна оценка ! у(х)! «у(х) для всех х ю ыь ( з (!с ~~ -т,- ) зр ) с (35) Отсюда и из (9) следует равномерная скодимость скопы (4) со вторым порядком точности. 3 а м е ч а н и е.
Уравнение (28) можно заменить уравнением более общего вида Ы М .=- а (х) у (х) — 2, 'Ь (, Й) у 6) =- <р (х) а=мы ь Достаточно убедиться, что для функций и = у(х) + + у(х), о = у(х) — у(х) выполнены условия теоремы 1, и, следовательно, и(х) «О, о(х) «О, или у(х) « — у(х), у(х)» «у(х), т. е. )у( «у. Итак, функция у(х) является малеорантой. Если манго- ранта у(х) найдена, то решение задачи (28) оценивается согласно теореме 2. Для аадачи (4) в качестве мажоранты выберем функцию у(х) = С(йт — (х", + '.)), Ье == (;+ (. (34) Вычислим сначала гр = 2'(У1=- — 1У = — Сл(х1+ хг) == =- С (Л,х, + Аех.) = 4С', так как (х,')„... — — - —,((х, + й,)е— "з — 2хг+ (х, — й,)') =- 2.
Из формулы (34) видно, что рг= =у(х) «О па границе 7ь. Обратимся теперь к задаче (6), (У) для погрешности з = у — и схемы (4). Выбирая 4С = = )зр(, и учитывая, что з(т„= О, получаем (з(х)( « «у(х) «Сь', так что З 2. Регггкннз Рлэпостных ъгхвнкггий 22! где а(х) ) О, Ых, ~) ) О, о(х) — множество узлов;, гь х шаблона с центром в узле х, причем гг(х) а (х) — ~ 6(х, с) ) О. г -.жю Для уравнения (36) верны теоремы 1 и 2, В случае схемы повьппенпого порядка точности шаблон состоит пз девяти узлов, мпоя;ество о(х) — нз восьми узлов, причем а= —, (йг + Ьг ), а в правой части имеготся коэффициенты 3 е ': с —.
(5Ь, '-' — )гг '), —, (5)ге — )г, г), которые положительно только прн условин 1/г'5 < )г,Иг .— )'э, и, следоватольно, оценка вида (35) будет получаться прп этом условии. з 2. решение разностных уравнений 1. Прямые методы. Метод разделения переменных. Система разностных уравнений для задачи Дирихле из $1; Луг .= у-, + у- „,:=- — ~ (х), х ен юь, у = р, х я у (1) имеет матрицу высокого порядка (Юг — 1)(гУ: — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
