Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(1 — и) ((80 !. п7(г„-'. пт), ао = —,. 1 2' Для погрешности з„= у„— и„получаем 2 'пы ' я ~! Хт! плп -„„, =-дз„+ тйе, и-= 0,1,2,...,з,= О, где ф„ — невязка, равная ф, = гр„— (и„., — и„)ут — 0(т'). Неравенство !д! -1 выполнено прп тй< 2,78, т. е. условие устойчивости схемы четвертого порядка немного слабее условия (25) для схемы второго порядка. Этп примеры показывают, что явные одношаговые схемы условно устойчивы, а среди неявных схем имеются безусловно (абсолютно) устойчивые (напрпмер (28) при а ~1!2).
Если й ~0 велико, то шаг т, в силу (25), длн явных схем надо выбирать достаточно малым. 6. О сходнмостн и точности. Схема Рунге — Кутта для неоднородного уравнения — -(- Хи =- /(О, ( >О, и(0) =- и, (31) имеет впд гл, т, з.4ЧхчА кОши В силу условия устойчивости (25) ) ф «1 н ) за+~ ) (» ! зя ! + т Йп!»» Х т ) Фь ) а=в откуда и следует, что схема (32) сходится н имеет второй порядон точности (сходится со скоростью 0(т'), плн сходится со вторым порядком): И~с = 0(т'). Таким обрааом, если схема устойчива и аппроксимирует уравнение (1), то она сходится.
Ото утверждение, докааапное для модельной задачи, имеет общее значение и справедливо для любой из схем второго порядка. Аналогично доказывается сходимость со скоростью 0(т') схемы Рунге — Кутта (13) при условии /„«»О. В атом случае для з. у.— и, при оа '/., получаем задачу (34) где (). /„((„, и,+8,г„), („=/.((.+ т/2, и„+ 8,з„) (О « «8~ ~1, ( 1, 2), а ф. определяется по формуле (13'). Перепишем (34) в виде г„д„г +т~„, о.=1+ тр.(1+ тт./2). Условие устойчивости ~д„~ «1, пли — 1 «д. -1, будет выполнено, если 2 — т1~.(+ '/~т'~().((т.( > О, / т~5,~!(„( « -.- =)3„), или т!1,( «2.
Первое неравенство выполнено также при тф.) «2, я, следовательно, достаточно, чтобы т/(«2, если /. «О, ~/! «А', ((, и) ыВ. Условие (35) аналогично (25) и обеспечивает выполнение оценки (33), пз которой и следует сходимость схемы (13) со вторым порядком, 1з1» й 2.
Многошаговые схемы. Методы Адамса 1. Миогошаговые схемы. В $1 мы рассматривали методы Рунге — Кутта для численного решения задачи Коши —; =- /((, и), О()(Т, п(О) .—.— и, (1) г х многошАГовык схемы. методы АдАмсА 185 Вычисления начинаются с и= ш, Чтобы найти у, надо задать т начальных значений у„у„..., у„„их можно лапти, например, методом Рунге — Кутта, который использует лишь одно начальное аначение у, = и,, Если Ь, чьО, то схема (2) пааывается неявной (интерполяционной): для нахождения у. при каждом и надо решать нелинейное уравнение .,у„-ь,)((„, у„) =Р(у„„у„„„,, у„.).
(2) Ото нелинейное уравнение можно решать, например, методом Ньютона. Погрешность аппроксимации схемы (2) на решении и иН) уравнения (1), или невязка, определяется по формуле и ТВ т %1 ф = )' Ьг/(( -ю иа-А) — — „~ аги„г, гс-З А=О Говорят, что схема (2) имеет г-й порядок аппроксимации (илн просто, что схема (2) имеет г-й порядок), если ))ф))с = 0(т') или ()ф))с < Мт', г) О, (5) где М сопз( > О пе зависит от т. Козффициенты ам Ь, подбирают, исходя нз требований аппроксимации и устойчивости. Без нарушения общности (й) Этн методы являются одноогаговыли летодоли: прп определении нового аначения у з, испольауется лишь значение у„. В общем случае для определения приближенного решения у„можно рассмотреть т-шаговые разностные слелы (т > 1), т. е.
уравнения вида — "у, „=~ЬА(а и п=т,т+1, ..., (2) а=о а=о где а„܄— числовые коэффициенты, Л,-,=1(г„-ь У„,), а,чьО, Ь„,чьО. В частности, при ов =1, Ь, =О, Ь, = — а„а, = -а. получаем схему Зилера. Схема (2) называется явной (экстраполяционной), если Ь, =О и значения у. определяются через предыдущие значения у. „ у. „ .. „ у„ .,по явной формуле 1 и ' (Ьхтгк-А ОАУк-4) = Р (Уа-т Ук — г ' ' ~Ун-т) ах а с гл. ч, злдлчх коши можно считать, что Х Ь,=-1, а.=о (6) так как коэффициенты уравнения (2) определены с точностью до множителя.
Разлагая ф„по степеням т и требуя, чтобы невязка имела заданный порядок, получаем условия для определегиш а,, Ь,. Поскольку и=1 ость решение уравнения и~ = (((, и) при ) = О, нз (2) следует, что ~~. ал — 0 (7) л=-л Обычно для построения схем (2) применяют друп1с приемы, использующие ннтерполяцпопные и квадратурные формулы. Так, интегрируя дифференциальное уравнение (1) по с в пределах от Гп и, до (и, получаем ~п ип — и„„=- ) ) ((, и(1)) с(й (8) сл- и, — ип, = ~ У (с, и (Е)) дт, (9) которое соответствует тождеству (8) при и, = 1, интеграл квадратурпой формулон: гп т !((,и(())д)=т2; Ь,!(тп „,ип,).
(10) 1п-г Учитывая (9) и (10), можно написать разиостную схему Адамса: Лп уп 1 Ч;и =~~~ Ьл) ((п-п, рп-л). а=э (11) Чтобы получить отсюда разностную схему, можно использовать для интеграла какую-либо квадратурпую формулу. 2. Метод Адамса. Каясдая квадратурпая формула поронсдает соответстнуюшнй метод численного решения обыкновенного дифференциального уравнения (1). Заменим в тождестве 1 а миогоп1хговые схгмы. метОды Адамса 187 Подставляя сюда из (9) выражение гг — — 1(1, и(1) Ж, 1а-1 получаем формулу для невязка: ж А Ар„=- ~'„Ь1,~ (С„-ю и»-А) — — ) ) (1, и (С)) й. 1 Г А=А °,)) (12) 3, Явные и неявные схемы. Коли ЬА О, то схема(11) является явной и ~н у =-" у»- — т Х ЬА) -А.
(13) А=1 Простейшим примером явной схемы Адамса является схема Эйлера у.— у.,=т!„, при а=1, Ь,=О, Ь,=1. (14) Воля положить в (11) т = 1, Ь, =1, Ь, = О, то получим неявную схему Адамса Ва ил †= 1„пли у,,— т/(1„, у„) у„,. (1О' г Неявная сил1,иегри'1иая озпошаговая (гл = 1) схема Гп Ги-1 ,1 = 2 (1 (1 У") +1(1»-11У»-1)) (1б, Опа может быть получена пз (2), если полов1ить а„=О при й 2, 3, ..., т и а, — 1, а, — — 1, Квадратурная формула (10), на основе которой построена схема Адамса, содержит узлы сеток, пе принадлеявап(ие швтервалу 11птегрпрованпя 1„1»1»~1„. Обычно используется требование, чтобы квадратурпая формула была точной для мпогочлепа стеиенп лг, При атом выбирается идтерполяцпопдый в1ногочлеп с узлами г., т*-» При таком построении схемы ее погрешность аппроксимацин совпадает с погрешностью квадратурной формулы. В самом деле, невязка дчя схемы (11) равна ии ип-1 $~ = ~~1 ЬА1 (И~~-А, и~~ А)— ь.=о ГЛ, 1'.
ЗАДАЧА БОШИ соответствует значенпям гя = 1, Ь, = Ь, = 1/2 и имеет второй порядок аппроксимации: >(>„= 0(т'). Для определения у„ надо решать (пря кажном и) нелинейное уравнение у. — '/ т1(/., у,) = Р„-„где Р„-1 у.->+ >/>т1(1„-„у.-,). Рассмотрим теперь двухшагоаые схемы Адамса, соответствующие п1 =2, Явная авухша>овая (т =2) схема имеет внд аи у»-1 3 т 21" 1 21" (17) т=2 Ь=О Ь = — ' Ь о > 1 2> 1 2' Ояа имеет второй порядок аппрокспмацпн; 3 $ в '»-1 Фч = 2 1(>»-1, иа-1) — 2 1(> -и н -1) — = = 0(т-), 11сследуем устойчивость соответствующей модельной схемы ав Гв — 1, /3 т гл'(2у 1 — 2у,11=0, (18) Подставляя сюда у„ = >)", получим >) — 111 — 2 )А1 у — —, )1 = О, р =- Лт. (19) а Так как 0 = 1 — Р, + — )1') 0 пРи любых Р, то коРни до , действительны п различны. Устойчивость означает, что >),( ~1 и )у>~ ~1.
Воспользуемся следующим свойством, которое проверяется непосредственно: корни квадратного уравнения д'+ Ьд+ с = 0 не превосходят по модулю единицу: (дь ( ~ 1, если (Ь( ( 1+ с, с:= 1. (20) Для уравнения (19) имеем Ь = З)А/2 — 1, с = -)1/2, и условие (З)1/2 — 1~ ~ 1 — )1/2 выполнено при )1 ~ 1, или тЛ ( 1, т. е. схема (18) условно устоичива (шаг т должен быть в 2 раза меньше допустимого шага в схеме Эйлера). Напшпем двухшаговую (и=2) неявную схему Адамса.
Требуя, чтобы квадратурная формула (10) былаточной для полнномов степени О, 1, 2, т. е. г"(1) =1(г, иП)) $ а многошАГОВыв схемы. методы АдАмсА 132 -(1, 1, 11), находим коэффициенты Ь,= 5/12, Ь, =8/12, Ь, -1/12. Схема имеет вид Уе Уе-1 1 2 (5/е + 8/е-1 — /в-е). (21) Исследуем устойчивость модельной задачи '+ 12(бу +8у — у.— ) =0 (-2) Полагая у.-д, получим характеристическое уравнение 5 8 ад'+ Ьу+ с = О, а = 1+ — тЛ1 Ь = — тЛ вЂ” 1, 12 1 с = — — тЛ. 12 Условия (20), при которых )уье! ~ 1, принимают вид !Ь! ~а+с, с~ а. Отсюда следует, что схема (22) устойчива при тЛ ~ 6.
4. Задача Коша длв уравнения второго порядка. Рассмотрим задачу Коши: "—;, =/(1, и(1)), 1)0, и(0) = и„ а11 (23) Е1 —" (0) = и . Наиболее распространенными яв чяются методы Шге рнера; Уеь1 Уе Уе-1 1-=-1 т.нО, и = 1,2, ..., (24) У вЂ” У уе .— — иы у1 = и или — 11 .=- и, т Значение й, (или й1) выбирается так, чтобы погрешность 1 аппроксимации т = — (и (т) — и (Ои — и (0) — и,имела оп- ределенный порядок, например, т 0(т"), где р — порядок аппроксимации схемы (24). Например, при р = 2 находим и(т) = и(0) + ти(0' +-,т'и(0) + 0(те), 1 т = и + т и(0) — й1 + 0(тз) = т /(О, и(0)) + + 0(т') — и1+ и1 = 0 (т'), гл.
х, злдхча ЙОши если положить й, = и, +'/утт»(О, и,), и, = и;+ тй,. Для получения ревностной схемы (24) вычислим интеграл 1»+1 уи УЮ-1 и»исуу == ~ и»на(1+ ) и"оиу=- 1у 1уу =- (и'уу — ио') (,„", + (и'1у — и1у') ~,,",, -! ~ и1у"М, (25) 1»-1 гзе о(1) — кусочно-линейная функция (1 — 4 1)'т пРн 1,, 1»»1»1„, у()) =- (т».11 — т)у'т при )„» ~Г ~ (Г„„т. (26) Подставим (26) в (25) н учтем, что и" П) = О: 1»+1 и"1У йу= — (и„т — 2и„+ и»у у 1). (27) У»-1 Умножая затем уравнение (23) на 1у(1) и учитывая (27), получим тождество У»».1 = — 1 )Р (~)) ( й). (28) 1» — 1 Погрешность аппроксимация схемы (24) па решении и = иУ»1), или невязка зля схемы (24), определяется формулой а„у — »уу».т ч» — 1 1)у„= ~' Ь1) (т„ж и, А= — 1 т которая в силу тождества (28) может быть записана в Если Ь, О, то схема (24) — явпан, так как в правую часть входят только известные значения у„у„„...
..., у„. Если Ь 1 О, то схема (24) — неявная н для онределепия у»+, надо решать уравнение У»у Ь-у)(т ууу У +у) = г(У» У -у ° У вЂ” ( ). з а многошлтовые схемы. Методы АдАмсл язв виде т 1е+1 вм — — ~ бл/(Г„л, и„л) — — ~ /(1, м(Г)) и(1) 1)1 (29) Л=- — 1 1 е — 1 Вводя новую переменную е= (1 — Г )/т, заппшем интеграл в более удобном виде: 1е 1.1 1 — г' (Г) п (Г) 1/1 .= ) /т (~„ + ет) и (е) еЬ, 1„ -1 (1+ е, е(0, у = /(~, ( )), '(.) = (, Из (29) видно, что первое слагаемое есть квадратурная формула для интеграла от функции Р(Г) Г(в, и(1)) с весом а(г) ге О. Погрешность аппроксимации схемы полностью определяется погрешностью квадратурпой формулы. Построе~аые на основе етого методы называют также лветодави Адамса — Штермера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
