Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Тогда любви охеиа будет иметь второй порядок точности. Итак, любая однородная схема второго порядка аппроксимации (ср = 0(Ь1)) на равномерной сетке и в классе гладких коэффициентов имеет второй порядок точности при специальном выборе неравномерных сеток се1()с) в классе разрывных коэффициентов. 4. Точная схема, Для задачи (!) из 4 2 москпо построить точную трехточечную схему, решение которой в. узлах произвольной сетки совпадает с точным решением и = и(х) краевой аадачп для дифферессциалъного уравнения.
Проиллн1стрируем возмоскность построения точной схемы на частном случае задачи прп с)(х) =0: (Уси')' = — )(х), 0 ~ х С 4, и(0) = О, и(() = О. (7) Проинтегрировав уравнение от х, до х, получим уравне- ние х (йи') — () ')с+ ~ )'Я) дс =-. О. х! Разделим его на )с(х) и проинтегрируем по х сначала от Х1ДО Хсс, хС х1 х; х' исс.с — ис — (йи'); (, — + ~ — ', /' (Ь) с)Ь =. О, (8) л(х),С 1 (х ).~ х; х~ хс затем от хс —, до хс: ис — ис 1 — Яи')с ~ —, — , '~ („.) ~ 1(х) с$ = О (О) 1го гл 1и Рлзностяыс методы для кРАеВых ЗАдАс1 Введем обозначение Умножпм (8) па а~о,1'Ььь„(9) — па а~ /Ь; и вычтем пз первого результата второй. Получим уравнение 1 ~ и — и и — о. о ~ 1 — 11 Г1 Ь или (аои-„);, + ср; = О, где х1 х! хы1 х' ~ — „', ~ ) (1) В + — "" ~ —,', ~ ~ ( ) (й х; г х' х; х; (10) Ф Кслп положить х'=х,+аЬ; ври х,, ~х ~х; и х'=х,+ + гЬ,о, при х;~ х'~ х, „то эту формулу мшкно переписать так: о — — ~~(х, +Ь)1) а, + -1 х „о Таким образом, схема (10) является точной на произвольной неравномерной сетке н для любых кусочно-непрерывных функций Ь(х) и )(х).
Конечно, практическое использование этой схемы затруднено тем, что коэффициенты выражаются через интегралы от Ь(х) п )(х) и поэтому для их вычисления надо пользоваться квадратурпыми формулами, 5. Повышение порядка точности. Из предыдущего ясно, что для повышения точности прпближенного решения пало либо уменьшать шаг сетки Ь, либо повышать порядок точности схемы.
Однако схемы повышенного порядка точности целесообразно строить лишь для уравнений с постоянными коэффициентами, так как написание таких схем для уравнений с переменными коэффициентами 5 е Одногодные схемы НА неРАВпомегных сетках 165 сопряжено с большими техническими трудностями и часто приводит к трудоемким алгоритмам. Мы уже приводили пример схемы 0(Ь') для уравнения и" -)(х). Рассмотрим теперь уравнение и" — ди = — )(х), д - сопзс ) О. Напшпем разностную схему на равномерной сетке: лу у„- — иу =- — ~р (.
) н выберем й и ~р так, чтобы она имела аппроксимацию 0(Ь'). Погрешность аппроксимации равна ф = Ли + <р = (Ли — и") — (д — д) и + гр — / =- = —",, и" — О( — ю) -(- р — У+0()4). Подставив сюда игт ои" — /" = у(ди — ~) — (" о'и— И вЂ” ~", получим 12 Д ) Р ~1 + 12 Ч! + )2 ~ ) + 0 (Ьа); а' следовательно, ~р 0(Ь'), если положить И =- д + — 2 д', ~Р т = ) +,2 (ч) + )"). Порядок точности сохранится, если ааменить в формуле для ~р производную 1" ее разностной аппроксимацией 1-„„, так как Ь') = Ь')- + 0(Ь').
Повышение точности схемы путем уменьшения Ь ограничивается также требованием акономпчностн, т. е. зкономии времени получения решения с заданной точностью. Поатому на практике часто применяется расчет по одной и той же схеме на последовательности сеток, позволяющий повысить точность без существенного увеличения времени счета (метод Рунге), в предположении достаточной гладкости решения. Предположим, что дчя решения разностной задачи на любой равномерной сетке справедливо асимптотическое рааложенне у~=- и;+ а(х) Ь ~+0(Ь '), Ь, >Ь1.а О, (11) где а(х,) не зависит от Ь.
Требуется найти сеточную функцию Дь для которой уз = и; + 0 (Ь ~) (12) на некотором множестве узлов юа. яее гл. 1г. Рлэиостпыг метОды д:п1 КРлквых злдл'1 Рассмотрим две сетки гол и юл, с шагамп Ь, п Ьп имеющие общие узлы; множество общих узлов обозначим л, л, е1л, ПУсть У; и У; — РешепиЯ Разностпой заДачи па сетках сэлг и е1л, соответствеппо. Образуем пх липейиую л, л. комбппацшо у1 = пу; -; (1 — о) у, и подставим с1ода разложепие (11): у1 = и1+ а(х;) (ОЬ,'+ (1 — о) Ь,') + 0(Ь '). Приравнивая пулю коэффициент прп а(х;), найдем о = Ь, /'(Ьа — Ь„); (13) прп этом в узлах х;ы 1е, выполняется требоваппс (12). Таким образом, для повьпиепия точности сеточного ре- ШЕПИЯ Па НЕКОТОРОМ МПОжЕСтзс УЗЛОВ Е1л ПаДО РЕШИТЬ задачу двантды па сетках ыл, и «1л,, пересекающихся по этому множеству, и составить пх линейную комбипацию с коэффпцпептамп о и (1 — о), где и определяется согласно (13), В частности, можно взять Ь, = Ь,/2, Ь, Ь; тогда э1, = = — е1л, Для схемы второго порядка точности имеем Ь, 2, /'.
/л и о- — 1/3, 1 — о 4/3. Возмо1кпость получепия разложеппя =; = у, — п, = а(х;)Ь' + О()Р) следует из разложения ненязкп 1(; = р(х~)Ь'+ 0(Ь'), кото- рая является правой частью задачи Лг- — 1Р, з„=та=О. Использование неравномерных сеток открывает большие возможности эмпирического повышения точпостп без увелпчеипя числа узлов, если имеется предварптельпая информация о иоведепии решеппя исходной аадачи. Так, в области сильного изменения коэффициентов п правой части уравнения естественно сгустить сепсу. Вблизи границы разрыва коэффицпептов обычно сетку сгущают по закону геометрической прогрессии.
Чтобы получить предварительную ппформацпю, моя1но провести сначала расчет па грубой сетке и после этого окончательный расчет — нл специальпой сетке. 5 2 ъштоды постРОгн1тп Рлзпостпых схем !67 й 5. Методы построения разностных схем Из предыдущего ясно, что разпостные схемы для конкретного дифференциального уравпепия долткны правильно отражать в пространстве сеточных функций основные свойства исходной задачи (таяне тсак самосопряженпость, зпакоопределенпость я т. д.).
Для рассмотренной налтн выше краевой задачи важным требованием оказалось свойство консерзатквпостк, эквивалентное свойству самосопрлженпостп разпостпого оператора. Важной задачей является получение разпостпыт схем с заданным качеством. Для построения такпх схем в настоящее время попользуется ряд методов, о которых расскааывается в атом параграфе. 1. Интегро-пнтерполяцнонный метод.
Обычно дифференциальное уравпенпе выражает некоторый физический закон сохрапеппя. Этот закон моткпо папнсать з интегральной форме для интервала (ячейки) сетки (уравнение баланса). Днффсрепцпалт,пое уразттеппе получается пз уравнения баланса прп стремлеппп шага сетки к пулто в предположения существования непрерывных пронзводных, входящих в уравпекпе. Входящие в уравнение баланса па сетке производные п нптегралы следует заменить прпблпжсппымп выра'т епнямп па сетке. В резулттате получим однородную схему. Такой метод и называется ингегро-тстсгерполят)ионным зпетодош нли зтетодалс с аланса, Проттллтострируем его па пряьтере задачп (йи')' — с)и = — 1(х), О < х (1, (йи') — п,и — — )21 прп х = О, и(1) = рп (1) 11аппшсм уравпеппе баланса тепла па отрезке О я-:х -. '1: хее1/2 хт2 1 те ит12112 — ш; нт ла 1 1(х) ах =- ) с) (х) и(х) с(х, хт-1/2 хт-т!2 и /си', (й) где ( — и'(х)) — поток тепла, т)(х)и(х) — мощность стоков (прн ст < Π— псточнпков) тепла, пропорциональная температуре, 1(х) — плотность распрсделеппя внеппптх пстоштпков (стоков) телла.
В лево!! частп этого уравнения записано колпчество тепла, остиощегося за счет тепловых потоков па 'отрезке (х!-1аз хсес1) п за счет внешних псточнпков, в правой части — колпчество тепла, отдаваемое яя гч, 27. РАзностные методы дтя кРАеВых ЕАдАч +( "1 В результате получаем из (2) схему 1 ( УН1 — У2 У2 — р2-11 — „~а;+2 — „— а; 1 — 21;ур =- — ~рь А х2.~.Н2 2Р;= > ) /(х) Их. 1 Х!-112 При выводе мы фактически предполагали лишь, что иСОПЗ1 ПРН Х; О2 ~ Х ~ Х,+„„Ю =СОПЗ$ ПРИ Х; —, <Х -Хь Вместо написанных здесь выра2кенпй для аь 2(ь 2р, естественно взять более простые формулы, как это н делалось в предыдущлх параграфах. Напишем разностну2о аппроксимацию для краевого условия третьего рода при х О.
Для этого воспользуемся уравнением баланса прп О~х ~х,д Ы2 ХП2 хн2 к2П, — и — )р униях= — )р 1(х) 2)х. Подставляя сюда и, = ()2й)2 =- О2и — )2„ х1,'2 2ап2 = атаюн хсх Дм2) - Узна — Ьх 1 / (х) )х - ~2 — й Г 1 внешней среде за счет теплообмена на боковой поверх- ности. Чтобы получить из (2) трехточечное разностное урав- нение, заменим юь н2, ю,+О2 н интегралы в уравнении (2) линейной комбинацией значений подынтегральных функ- ций в узлах сетки (х2 о хь х,2,), например, "2+1/2 х +21 — д(х) и(х)ихж Й2иь 2)2 = > ~ д(х)22х, Г 1 '"2-П2 22-1,'2 Проинтегрируем равенство и'= 22И по х от хео до х,: х2 22 1 и- — и2 2 = — аахм йк2 ,1 а (х) "4 — 1 5 1.
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТПЫХ СХЕМ 169 и заменяя всюду и на у, получим разностное краевое условие а,у„-,— О,уа+ Иэ — ЬЧ.уа/2 = — Ь/,/2, которое можно записать в виде оэу~,э = ",Уа — )11, где Оэ = "1 + Ьуа/2 р1 = рэ + Ь|а/2 (3) Оценим на решении и = и(х) уравнения (1) величину не- вязки т =- о,н-„, — нома + [1О Р Подставив сюда лэ =- й111+ 0 (Ьа) .= Ьа + 1/аййа + 0 (/1~) и, =- иа + Ьи, + Ьаиоэ/2 + 0 (Ь'), 11-„л (и, — па)/Ь = па+ +Ьиа12+ 0(Ь'), получим т = (йи')а + 'ай (йп')а — 111 ма -'г- рэ + 0 (Ь') = Нйп') а— — о ма + р,) -[- '/ Ь [(йи')' — ои + Ла + 0 (Ьа) = 0 (Ьа), т, е, разностпое к)эаевое условие третьего рода (3) аппрокспмирует условие йи' = Оэл — р, прп х = О с погрешностью второго порядка т = 0(Ь1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
