Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Самая простая 'формула прямоугольника дает схему Уеь1 Ее + Ее — 1 /( те 1„+1 — п(Г) е11= С так как 1а — 1 Для молельной задачи —.,1+ ) и = О, Г) О, Ев и (0) =- О, „-" (О) =.. и, Ыв имеем ЕЕ+1 УЕ Ь Уа1 — 1 ~ * г -- йу„= О. 11 Подставляя сюда у„= д", находим у' — 2(( — т')1/2)д+ 1 =0; /)<О при )т'(4, т(2/У).; прп атом ~Ч,! - ~д,) и схема устойчива прп условии т ~ 2/У). или тУ) <'2. 5. Системы уравнений.
Многие методы переносятся без изменения на задачу Коши для системы уравнений — „, =- /(О и)„/~О, и(0) =- и„ (30) гл, ч, задача коши где и= (и'(х), и'(х), ..., и'(Й) — искомый, /= ((', ~', ... ..., Я вЂ” заданный векторы. Запишем (30) поконконентно: — о. =(~(х, и), ()О, и'(О) =по, (=1,2,.,„Х (31) Ы %~ — =-,д ип (х) хУ, Ю 3 — -! где ае — значение производной д1'/ди' в некоторой сред- ней точке (х, и;), й~= (о', и', ..., о' ', и'+ О, х', и'~', ..., и') (О ( 0~ ~ 1, 1 = 1, 2, ..., Х). Поэтому линейной моделью системы нелинейных уравнений (30 является линейная система и й + Х Опп) = Г' (0 )=х или, в векторной форме, о'в ях — + Ли == / (х), А = (ли).
(32) (33) Для устойчивости этого уравнения по начальным данным достаточно, чтобы матрица А была неотрицательной. В следующем параграфе будут найдены необхозимые и достаточные условия устойчивости схем для систем пикейных уравнений (33).
На практике часто встречаются системы уравнений, которые называются жесткими и решение которых обычными методами представляет большие трудности. Пусть (),,) — собственные числа матрицы А (еслл Л вЂ” несимметричная, то )., могут быть комплекспымп). Систему уравнений (33) называют жесткой, если ВеЦ>0 (й = 1, 2,, Ж) и если отношение $= шах Венк/пнпВе Хх велико. х а Коли матрица А симметрична, то все собственные числа вещественны и жесткость системы (33) означает, что матрица А положительна и что система (33) плохо обусловлена, т. е.
юах ).„ Пусть и, о — дв» решения задачи (30) с начальнымидан- ными и(0) = ие о(0) = о,. Для их разности х = и — о по- лучивх систему линейных уравнений $ 3. МНОГОШАГОВЫЕ СХЕМЫ. МЕТОДЫ АДАМСА 199 Жесткими, в частности, являются уравнения, получающиеся при сведении уравнений с частными производными к системе обьпшовеняых дифференциальных уравнений путем разностной аппроксимации оператора, содержащего производные по пространственным переменным (например, оператора Лапласа в случае уравнения теплопроводностн). Явные метоцы оказались непрнгодпымк для численного решения жестких систем, так как они приводят к большим ограничениям па 1паг кз-за требований устойчивости в ущерб требованиям точности.
11ояским зто на примере системы двух уравнений ПП 011 ГП, 92, (34) аз)0, а,)0, а2>)а1, Решение этой системы есть вектор и(1) = (и1(1), из(8)), и1 (Ю) = и1 (0) е ', из (1) =- из (0) е его компоненты убыва1от с ростом 1, причем 1и2(1)~ 'и ~ !и,(1)1 при постаточпо большом й Возьмем явную схему ,П+1 2 ПЕ1 П У1 У1, п,2 У2 У2 П +ау,=О, +ау,=-О, и=0,1,...,у,"=у1(1„), 1.=1,2. (35) Система распадается па цва уравнения, каткдое из которых можно решать отдельно, ознако онв связаны выбором общего шага т.
Схема устойчива, если одновременно выполняются два условия а,т ~ 2 н а2т < 2. Так как а, >> а„ то оба условия выполнены, если т ( 2!а2. Допустимый шаг т определяется фактически той компонентой и2('1) решения, которая быстрее уб11вает. Для решения системы (34) пригодна неявная схема П2-1 и П21 У1 У1 п21 У2 У2 ь п21 + а,у, ' = О, †, 'а,у, = О, которая устойчива прп любых т и а2 Р-О, а2 > О. В последнее время появился ряд новых неявных схем, алгоритмов цля пих н программ, пригодаых пля решения ГЛ. Ч.
ЗАДАЧА КОШИ жестких систем линейных н нелинейных дифференциальных уравнений. 6. Общие замечания. 1. При выборе того или иного численного метода учитывается много обстоятельств, таких, как объем вычислений, требуемый объем оператнвпон памяти ЭВМ, порядок точности, устойчивость по отношению к ошибкам округления и лр. Мы рассматривали всюду методы с постояным шагом т = ( ~, — ( . Переход.к переменному шагу т.ь, =(„е, — („ носит формальный характер и для оэкоша|овых схем ве приводит к каким-либо новым принципиальным вопросам.
Для многошаговых (т «2) схем формулы меняются. В общем случае решение может быть сильно меняющейся пемонотопной функцией. Естественно пользоваться неравномерной сеткой и умсныпать шаг (сгущать сетку) в области быстрого изменения функпии иП), чтобы обеспечить более точное приближение п(П сеточным решением. Однако заранее нам неизвестно поведение решения н = и(П. Поэтому па практике поступают так: проводят сначала расчет на равномерной сетке; если видно, что решение и = и(Г) сильно меняетсн на некотором интервале (з ( Ю ( (*, то сетка сгущается на ((в, С*) и проводится решение задачи на такой неравномерной сетке. Вообще рекомендуется проводить расчеты на нескольких сгущающихся сетках.
Если прн сгущении сетки решение мало меняется, то нужная точность достигнута. Для повышения порядка точности применйм метод Рунге, использующий расчеты на разных сетках (если решение и = иП) обладает достаточной гладкостью). В ходе расчета может оказаться необходимым испольэовать схемы разного поряпка точности в разных областях изменения аргумента. 2. Часто приходится решать уравнения с сильно мепяющпмлся коэффициентами, например, — ", =- к(г) и, г О, и(0) =- и,. (36) Такое уравнение встречается прн описании задач хими- ческой кнлеп1кп. Его решением является функция Если а(() «О, то можно пользоваться схемой Эйлера при 9 з.
лппгоксимлция злдлчи коши 195 любом т у„л, = у„+ та„у„= (1 + та.)у . (37) Если же а(г) (О, то может оказаться, что 1+ та„, <О прп некотором и = и, и у„,+, СО, т. е. решение теряет смысл. В этом случае можно пользоватьсн неявной схемой У рр=ур+та У ео У»+р=у П1 — та ), 1 — 'га )1, (38) которая устойчива при любых т. Если аИ) меняет знак при некоторых значениях г, то в тех узлах, где а(() ) О, надо использовать явную схему (37), а в узлах, где а(Г)( (О, — неявную схему (38). й(отавы Адамса являютсн менее трудоемкими по сравнению с методами Рунге — Кутта, Невостатком методов Лдамса явлнется нестандартное начало вычислении; для определения у„ у,...., у †, обычно используется метод Рунге — Кутта. Для двухшаговых (и тем более многошаговых) схем Адамса изменение шага т требует усложнения формул, в отличие от метода Рунге — Кутта.
Е)а практике используется комбинации методов Рунге — Кутта и Лдамса с программой автоматического выбора шага для получения заданной точности. з 3. Аппроксимация задачи Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 1. Задача Коши. В этом параграфе мы будем изучать линейные разностные схемы (одношаговые или двухслойные), которые появляются при аппроксимации задачиКошн для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, а также при аппроксимации дифференциальных уравнений с частными производными (метод прямых). Рассмотрим задачу Коши —, + «аоит=- ~'(8), С)0, и'(0) = ирм 1= 1,2.,,)т.
рп )=ъ (1) Обозначая через А=(ар) квадратную матрицу размера ЛР Х Л) с элементами и;„не зависящими от Г, через и(Г) . = (ръ'(р), ир(Г), ..., иа(()) — искомый, а через /(р) = (/'(р), $96 ГЛ. и ЗАДАЧА КОШИ )'(Г), ..., )"(С)) — ааданный векторы размерности )т', запишем систему в виде — ", + Аи = ) (~), г ) О, и (0) = и,. (2) Сохраним то же обозначение А и для соответствующего оператора, действующего в пространстве Н' размерности )г'(А: Нд — Н"). В пространстве Н" введем скалярное произведение (и, и) и норму 1Ш!! = у(и,.и). Будем предполагать, что оператор А положителен: А ~0, или (Ах, х) )0 длн всех хюН", хФО. Отметим одно важное свойство решения задачи (2) при /(г) — = 0: /!и(С)ф)~(е ' )и(0)~, если А= Ае)0, (4) где Ъ, — наименьшее собственное значение оператора А: А $д = Ъд9„)г = 1, 2, ..., )т', 0 < Ъ, ~ Ъ, (...
~ Ъ . Дла доказательства (4) будем искать решение и(Г) задачи (2) в ниде и (С) =- ~ ад (г) 9д, ~ и (г) ~и = ~ ад (8). д=г д-д Задача Коши ($) при условии (2) имеет единственное решение. В самом деле, пусть существуют два решения й(8) и и(г) задачи (2). Тогда их разность удовлетворяет однородным условиям у+Аз =О, г)0, г(0) = О, г(г) = и(г) — и(г), (3) Ы Умножая (3) скалярно иа г и учитывая, что (г, —,) = ч' = 9 „— (г, г), получаем — — )(г )т+ (Аг, г) = О, ~ г(г) $'+ ~ (Аг (г'), г(г')) г)г' = $г (0))г. о Так как А ) О, г(0) = О, то отсюда следует, что Иг(()~Р = О, г(г) — = О, й(Г) = н(С).
з з. лппгоксимлция злдлчи коши 197 После подстановки этого выражения в уравнение (2) с )(!) =0 найдем л, (-ал + Х а ) $ = О, л=1 дал — + ).лал =. О, ал (!) = ал (0) е и, следовательно, так что и(!) 1г = ~ алг(0)е ' е ',' ал(О) = е ' (и(0)Р. л=1 л=1 2. Разностиые схемы. Введем сетку с шагом т по переменному (; ы, =- (г„= пт„п = О, 1, 2,...) и обозначим через у = у((,) сеточную функцщо аргумента ! = пт (нли п) со значениями в В . Напишем явную схему У" +Ау„= („, н=0,1,2, ..., у,=и, (5) так что у„л, находится по явной формуле у„„=у„— *(Ау„— )„), и=О, 1, 2, ..., у,=и,.
(5') Решение у„задачи (5) зависит не только от т, по н от% или от параметра )г= 1/)г': у„=у„, в. Фактически мы рассматриваем не одну задачу (5), а совокупность задач (5,,) для всевозможных т и Й. Это и есть разпостная схема. Ее решением является семейство функций (у.,л). Чтобы не усложнять запись, мы будем в тех случаях, когда это не вызывает педоразумеынй, индексы т и Ь опускать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
