Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 31
Текст из файла (страница 31)
— —,) ((Л~ 2- )О, т. е.прп т < 2/ПАП. (17) Это необходимое и достаточное ус:ювие устойчивости яв- ной схемы в /Хз(Пу„П, < Пу„П,), П р н и е р 2. Схема (9) нз $3 с весамн, 1 Для нее В= В+ отА н  — —,тА = Е+ (о 2 А=Аз>0 — + (о — —,) т) А ) ~О, если 1 19 '(о — — ) т((А((» )О. 1 1 (18) +Ау„=О, и=-0,1,2, ..., (19) В=- Е + отА.
Применяя оператор А ' к обеим частям уравнения (19), Отсюда видно, что схема с весами устойчива в П, при любых т ) 0 (безусловно устойчива), если о ~1/2, иусловно устойчива при т < 1/((1/2 — о)ПА(О, если а < 1/2. П р н и е р 3. Устойчивость в Н (прн В = Е) схемы с весами (9) пз $3: (Е+ отА) ' "+' тч. ч. задАчА кОши получаем В "+' " +Ау„=О, п=0,1,2,..., (20) В=А '+отЕ, А=Е. Эта схема устойчива в силу теоремы 1 в ХХ- = ХХ(А 1 - ! / =А=Е>0) при  — —,тА=А +(о — — ~ тЕ'э )( —,+(о — —,)т) ЕЪО, т. е. при выполнении И8) 1 (А1 (при этом мы учли оценку А-!)~ — Е, которая сле1А1 дует из И6)). Таким образом, из И8) следует, что длн И9) верна оценка ИО) при Р =Л, т.
е. 1!у„1 ( 1у,!8 (21) Схему И9) !южно зашзсать в виде у,+! = Юу„Я = (Е+ отА) ')(Š— И вЂ” о)тА), А = А*) 0 (22) Поэтому для нее при условии И8) верна оценка (21), что означает () (Е + о сА)-' (Ь' — (1 — о) тА) ) <= 1, если 1+~о — ~ ) т)А(ЪО (23) Эта оценка понадобится в дальнейшем. 4. Устойчивость в ХХв. Теорема 2. Если А = А*)0, В= Вв ) О, то длн устойчивости схемы (2) в Нв'.
!~у +!1в ~ (!у 1~ (24) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие И4). Дока за т ель от во. Схему (2) аапишем в виде (9) и покажем, что условие (Щ ~ 1 (25) эквивалентно неравенству И4) т, е. Из И4) следует (25) н, обратно, из (25) следует Ий!3. з» устойчивость дВухслОйнОй схемы Пусть у — произвольный вектор из В; представим его в виде М у=Хай„ где ($») — собственные векторы задачи: А»ь» = Л»В»и», Л» ) О, 1 , й=т, сс,т=1,2,...,1)с.
(26) (В$», $т) = Ь»м = О, сс~т, ВЯ4,— Учитывая, что Я$„= $„— тВ-'А $„= (1 — тЛ»Ц», = (1 — тЛ»)В$», найдем я М (В„, у) = ~ч", а, (Ау, у) = ~ч~ Л,„„, »=1»=1 (27) (ВЯу, Яу) = ~~~~~ а7 (1 — тЛ»)»(1$)а ~ а»~ = 15/)вв (Ву,у), 4=1 »=1 где '1' ,Я )в = гаа х (1 — тЛ»)». (28) 1»:»ен Перавенство (25) эквивалентно условию тЛ»~2, у=1, 2, ..., М, (29) которое, в свою очередь, эквивалентно неравенству (14), так как (Ву,у) — — „(Ау,у) =,д, а» ~1 — — ! »=ч Тем самым эквивалентность (24) к (14) доказана.
5. р-устойчивость. Т е о р е и а 3. Если А = А* ) О, В = Вв > О, то необходимым и достаточным условием р-устойчивости схемы (2) с любым р~ О: "у. 1е~р1у 1», 0=А, В, (30) являются операторные неравенства (31) гл. 7 злдлчл кОши Доказательство. Неравенства (31) эквивалентны условиям (см. гл.
1, з 4, и. 4): где Лг — собственные числа задачи (26). Допустим, что 0 = В и верны (31) нли (32). Из (32) следует — р - тЛ, — 1 - р, !1 — тЛ,! < р, и в силу (22) !!Я!!„< р (так как !!Я!!в — наименьшая постоянная, для которой верно неравенство (Вду, Яу) < «М(Ву, у)), т. е справедлива оценка (30) (достаточность). Если верна оценка (30), то !1--тЛ,! < р п, следовательно, выполнены (32) н (31) (необходимость).
Аналогично доказывается теорема и прн В = А, если учесть, что (Аду, Яу) = ~'„агЛг(1 — тЛг)г( игах (1 — тЛг)г(Ау,у). г —— .ч 1сйль Из (30) следует !!у. !, < р"!!у,!!.. Возникает вопрос, прп каких условиях имеет место априорная оценка (30) с р < 1? Ответ па вега дает следующая теорема. Те о р е м а 4. Вусть выполнены условия А =Ав) О, В=В*)0, тВ<А «'(гВ, Т, )О. (33) Тогда для решения задачи (2) верна оценка !!у„,1!!о «р!!у„1в, р = 1 — туе В =А, В, (34) если тчч Ъ тг (35) тг Для доказательства надо вычислить норму !!Я!в =- =-)!Я!!л — — гаах )1 — тЛг! прн условии, что (, < Лг « '(г, глглл 0 «т, = Л, < Л, «...
Лв = тг. Рассмотрим разность грг = (1 — тЛ,)' — (1 — тЛг)' = 2т(Лг — Л,) ~1 — — (Лг+Л,)). т т Отсюда видно, что срг 0 прп 1 — 2 (Лг+ Лг) Ъ1 — ~ Х и (у .+ у,) в1 г (у, ! у ) — О, т, е. гпах (1 — тЛг! = = 1 — ту„если т «т,, Теорема доказана. а ь гстончивость двгхслойнон схвмы 2о7 6. Устойчивость по правой части. Метод энергетических неравенств. 1'ассмотрим задачу (3) и перепишем се в виде у,; =Яу„+тВ '~р„, п=0,1, ..., 5 Ь вЂ” тВ 'А, У,=О.
(36) Воспользуемся неравенством треугольника )~у.+1()в «1БУ.))о+ т)!В-'ф.))в:= ~~Я)в~~у.~)а+ т))В 'ф.)~о. (37) Если выполнены условия теоремы 2, то В = В*) О, Р = =В и Ы)о )Я!), -1 при В> —,А !!В 'ср ° !!в=- = (В (В цт )~В ср~) = (В ~п сри)= )! ц~и)!д и и из (37) следует )!у, ))в<)!у ))в+т)! р )!,-ь Суммируя по п О, 1, 2... и учитывая, что уо = О, получим 11 — г !У.()в = Х т))Чь)),-1.
(38) а=-э Эта априорная оценка выражает устойчивость схемы (1) по правой части прн том же условии (14). Можно получить и другие оценки. Для этого воспользуемся весьма общим методом энергетических неравенств. 1 гам э| Подставим у = —.(у„+у +,) — —, ' в (1): ) уп<-1 Гп  — 2 А ! + ~ А (Уи ~, + Ун) = Чл Умнея<им это уравкеяие скалярно на 2(у„а, — у„) и учтем, что (А(у, + у ), у„,~ — у„) = (Ау„ао у,е,) + +(Ау„, у„+,)+(Ау ео у„) — (Ау„, у„) =(Ау а„у„е,)— — (Ау„, у„), так как (Ау, у„т,) = (Ау.аь у„) в силу самосопряжснности А.
В результате получим «энергетическое тождество э "~(--') -"-- "-У-~-"в,»= =- (Ауьоу ) + 2(~р„, у„„— у„). (36) Отсюда видно, что при ~р, = О и В) —.А верна оценка (13). гл. т, зхдхчл коши 208 Воли выполнено неравенство г) ) Е+ ~ А е > О, (41) то из (40) следует (с заменой п на й) Ьо+, Ь а= (! Ро !!л + — 2о !! Р >'. Суммируя по й = О, 1, 2, ..., п — 1, получаем оценку о — о !!Ро(!'~<!!Уо(л+ — 2о 2'.тН РО!!', ' о=о (42) которая выражает устойчивость схемы (1) по правой части и по начальным данным в Н„. П р и м е р. Схема с весами (1): В = Е + отА. Для нее условие (41) означает, что (1 — е) Е+ ~о — 2) тАЪО, Ф~ В частности, оценка (42) верна при е-1 и а Э-1/2.
7. Асимптотическая устойчивость. Для задачи 1(оши — -(- Аи =. О, 1 ) О, и (О) = ио оо оо з„о,— ы '1 Преобразуем 2(о~о,уо+о уо) = 2т~Чо, т ) Для атого воспользуемся неравенством: !аЬ! = (1/2еа)(~ — Ь) ~<еа + — Ьо, где а, Ь, з > 0 — любые числа. В нашем случае 2(~ро,у„+г — у„) =.2т!~у„!!~ "~' ~" !!» <2те~ " ' " !! + — БЧ,!!о. Подставляя эту оценку в тождество (39), получим (~В г. т 1) ~о.~-1 зо о~1 "Ло ) + !! < Ь. бй + — „!! Чр.
!!* (40) 1 к устойчивость двухслойиои схимы в т 3, .п. 1 была получена оценка )!и(1))!е е ~ !!и(0))а где Х, == ппв ).р, (А). Найдем условия, при которых аналогичная оценка имеет место для схемы (2). Воспользуемся теоремой 4. Пусть выполнены условия (33).
Тогда в силу (34), (35) ))у„))л (~р")!у,!),„р = 1 — туп т~(т„= . (43) г т Отсюда следует оценка, выражагощая свойство асимптотической устойчивости !! у !л < е !! уе !!л (44) (при атом учтено, что р =-- 1 — ту, < е '~'). Рассмотрим схему с весами и предположим, что бЕ -А (ЛЕ, б=)„)0, Л=й )О. (45) Вычислим т, и у., Учитывая (/г5), имеем В =- Е -(- атА ) ! — + ат ! А =-. — Л; )а /1~!а 1 "/А - А' '1 х 1 б д 1 с сто' ~/а 1 —, стд Для явной схемы т, = б, т. = Л условие асимптотической устойчивости т ==: 2/(б + Л) (47) близко к условию обычной устой ьивостп с р=-'1. Прп атьО условие т -2г О+ (-) приводит и неравенству 2+ 2(а — 1/2)т(6+ Л) — 2а(1 — а)т'бЛ ~ О.
Нри а.= 1 оно выполнено для любого т, т. с. чисто неявная схема с а = 1 безусловно асимптотически устойчива. Симметричная схема т " + —.А(1/,,.„+у,.,) =-О, а= —,. (48) аскмптотически устойчива ири условии т -т", т" =2/Убй (49) З1О гл. ч, зачхчл коши и безусловно устойчива в обычном смысле. В этом случае -ь,~+с,(тз) р==е <е и верна оценка 1д„~!(е ' "1д„/,' прн т(тв, о =- 1!2. (50) Что произойдет, если условие т ( т, пе вьпюлнено, т. е. т ) т,? Тогда п~ат / 1 — тЛь / достигается не прн Ус = 1, а прп й = )Ч и р = тт. — 1. Лснмптотика (прп больпнзх Ю„) решения разностной задачи не имеет ничего обгцего с асимптотпческнм решением исходной задачи. Таням образом, нарутпенне асимптотической устойчивости приводит к потере точпостл схемы при больших й Глава У! РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В этой главе мы рассмотрим рааностные схемы и методы решения разностных уравнений для уравнения Пуассона и эллиптических уравнений с переменными коэффициентами.
й 1. Разностные схемы для уравнения Пуассона 1. Исходная задача, д и Аи — — —, де,'- !'ассмотрим уравнение Пуассона (1) 2 Будем яскать его решение, непрерывное в прямоугольнике С=СЗГ=(х=(х„х): 0<х,<(„, а 1,2) п прлнимаюгцее на границе Г заданные значения: и(г = (т(х), (2) Задача, определяемая уравнением (1) и условием (2), называется задачей Дирихле (переой краевой задачей).
2. Разностная схема «крест». Для численного решения задачи (1), (2) введем в П сетку оь = ыч 0 тч = (х~ =(1йи (й,), ( =О, 1„..., )У, Ь =(/)ч', а=1, 2) и обозначим через У = Уу, = У((м (е) = У(хе) сеточную функцию, заданную на ь,; й, и й, — шаги сетки по координатам х, и х,. Чтобы написать разпостную схему для (1), (2), аппраксимируем каждую из производных д'и'Охи на трехточечном шаблоне, полагая и(,,— а,, е) — ги(з„,)+ (..„-, а„.„) 1 дее ь' «1е1 1 3 да "(*1 *е "е) З«(*1 х)+и(*и* +де) — идхе д. «че 2 3 гл.
т! эллиптичкскик ддлвпгпня 2!2 знак — означает аппроксимацию. Пользуясь этими выражениями, аамеш!м (1) разпостным уравнением д(,— 1, 1,) — 2д(!и !э)+д(,-'-1, !э) 1з 1 1 (1„! ), (3) д (! . 1,, — 1) — 2д (!и 1,) —,'. д (1, 1, + 1) 6,, илн, в сокращенной записи, у (1~ !з) '! у,. „(!о !з) = 1(1~ !т) В бсзындекспыя обозначенная имеем у-„„(х) + У- (х) =- — У(х), х =- О,)П ~тйз) ~ !эь(6). (4) К этому уравпепн!о надо присоединить краевые условия у= р(х), х = (ОЬь Щ) ~м'(э. (5) Граница (~ сетки состоит вз всех узлов (О, !;), (Ль 1,), П„О), И, Л',), кроме вершин прямоугольника (О, О), (О, Л!,), (Юо О), (У,Л',), которые не используются, 1'азностное уравнение (3) записано иа пятпточечпом шаблоне (!, — 1, 1,), (!, +1, !,), (!ь 1,), (!о !',— 1), (!ь !, +1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
