Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 35
Текст из файла (страница 35)
7 гл. Ч). В силу возрастания Ьл = Ьля' с ростом А., начиная с некоторого момента 1, в сумме (6) будет преобладать первое слагаемое (первая гармо1шка), т. е. будет иметь место приблия'еппое равенство и (х, 1) ж с,е ~"Х, (х). у! Еглвнение с постояяпыын 110зФФициептлмп 2"5 с краевыми и начальными условиями вр(1) — и,(1), ул(Г) = пр((), о,(0) = и„(х,). Для численного решения втой задачи, по аналогии с гл.
у, ваменим производную по Г разпостным отношением рр (11+1) 1 1(1 ~) 21 11 Лр т 2 правую часть возьмем в виде линейной комбинации значений при Г = 11 (на у-и слое) н Г = Г,+, (па () + 1)-м слое): ГЕ1 1 = оЛУ,'+' + (1 — а) АУ, '-)- 1р';, (00) ур И1 (11) Ул — Ы (11)~ У1 ' пр (Х1) (11) ) =0,1,2,...,0(1(Х Слепа (10) определена па 6-точечном шаблоне (х1, 11ХЕ1) (х,+1, гь11) х х (Х1-1 Ср 11) х (хь 11) х (хы.„0) (хрь1 11) Рассмотриы явную схему (о = О) на 4-точечном шаблоне: У1 1 21,/1-1 У; - /ьр1 11 1 — 11 1( — 211 17 (12) ьр Значения на (1+ 1)-и слое палодятся по явной формуле В случае о 1 получаем полностью неявную схему— х х х.
схему с опережением на шаблоне У1+1 — У1 ур ' 1 — 2ур+1+ у("1 Ур У1 У1 — '1 Ур Уьр1 1 (13) где а — параметр, а 1р,— некоторая правая часть, папри- 1 1 1' 11-1'2 мер, 1у = 11 % =-1, и т. д. Сюда надо присоединить дополнительные условия гл. ~ 11 углвненик теплопговодпостн Для определения у; из (13) получаем краевую задачу (ч-1 )г; = — у; + пр„уе — — и, (~;+,), ун = иа(Г;+г), 1 1, с сы з-!-~ которая решается методом прогонки. Часто используется симметричная неявная схема (иногда ее называют схемой Кринка — Николсона) с о = = 1/2 н шаблоном „" к х: ус+1 1 ~ ( уЫ1 2ан-3 лгы о( чтЗ + у( (14) Значения у; на новом слое и в этом случае находятся (ч-1 методом прогонки для краевой задачи: г+г зы ус = и,(Сьы), ун =- и. П;~,), 1 — — У тс — ~у'-1 + Уи-ы + тЮ. ь) ' '2" ('1 5) В общем случае (прн любом а) схема (10) называется )ы схемой с весами. Прп ат'-0 она неявная и у'; определяется методом прогонка как решение аадачн от АУ( ' — у,"ы = — г'1, 0 < ( < У, у'„+' = и, ((;~.,), У~У' =- н,(~,ь,), ( =-- О, 1, ...
(10) , ьы у~ ---. '— , у = — оу, + (1 — о) у„ У! У~ (е> Перейдем к изучению свойств схемы (10) с любым о. чь Оценка погрешности аппроксимации. Чтобы оценить порядок точности схемы с весами (10), пало сначала оценить погрешность аппроксимации (певязку) п найти априорные оценки, выражающие устойчивость схемы по правой части. Разностпая схема (10), (11) учитывает начальные и граничные данные точно. Перепишем схему (10) в безындексной форме, Вводя обозначения гы аы.| — 2е: -" е,-г У вЂ”. У'ь У вЂ” У', ДУ = У- ь д !. УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 237 полу.
чаем у, = Ау'"+ ср, (х,г!) ~ ас., у(х, 0) = и,(х), (17) у,=)тс(1), уи=и.О) ((=(,=ут, 7=0, 1,,). Пусть и = и(х„с7) — точное решение исходной в~дачи (3), у — решение разностной задачи (17). 11одставляя в (17) у = г+ и, получим для погрешности г = у — и следующие условия: г, =Агсо+7р, (х, г) си ь7си, г(х, 0) =О, г(0, д) =г(1, 0 =0, (18) где 7р = Лис' + ср — и, (19) и+! ( 11 + (1 — о) и = —, + (о — — ) ти„ и (, 27' т 2- г иди т де, т' д'и т — + — — + — — + 0 (т ) д! 8 снг 48 дгг !: =- и ~х, г;+ —, т), стс! т ди т ди т т,! + „„з (-0(.г )с иоо = ои Й 4 д'с! Аи =- и- .= 7.и -) —, и'У + 0(64), ! и =-. — „, (2 получаем дГ), ди Р— -~7.
-) — —,(--. (! — 7 — (о — )ту. 2/ д7 + —,, Тзи+ 0(те+ и!). 12 Так как в силу уравнения (3) имеем 7.7г -г сс — — =- О, д7 есть погрешность аппроксимации схемы (17) на решении и = и(х, !) задачи (3) (невязка схемы). Найдем рааложение 7р по степени Ь и т в окрестности 1 ! = 77+ Е т). Ъ'чнть7вапс !сто гл. г11. углвннпнв тГпло1тговодности то Ь д" =Ели +ьг и Ф = ~рр — У' -Р ~а — ~ ) тЦ) + ~ 1,, -Р ~а — ~ ) т) Ели + +0(тл+Ьл). Отсюда видно, что З; = 0 (т + й') прн а == 1 и а ~ —,, 1 и = 0 (т' + й') прп з. = ) и а = —, Если выбрать а так, чтобы коэффициент при Гй был равен нулю: ьл 1гт ' ( О) а ~р положить равным ~р = /+ — Ц пли гр =- /+ — Л/ (21) (оба выражения отличаются па величину 0(Ь'), так как Л7 — Ц = 0(Ь')), то мы получим схему повышенного (по х) порядка аппроксимации: ф 0(й'+ тл) при а = аю льл Эта схема также неявная, и поэтому у находятся нз уравнения а тЛр — у =- — Г методом прогонки.
5. Устойчивость схемы. Обратимся к изучению устойчивости п сходимости схемы (17). Рассмотрим сначала явную схему (а = О) и чисто неявную схему (а = 1). Уравнение (17) для явной схемы запишем в виде Рл = ~1 — —., )У; + — л(з,-л+У,„,) 1 т~уь О(~~)У, (22) р',ы О, у~~' = О, р'„= и,(х;), О(1(Х Если коэффициент прн у', пеотрпцателен, т, е.
т ~ Ь'/2, (23) то из (22) следует, что )!у ~ 1с » «1р ~ с + т1<у лс, (24) где (у()с = шах (у;(. Суммирование по й от О до ! — 1 з змл $ ь уРАВыение с постоянныме коэФФициептАмп 229 дает Жс«1у )ю+ Х т~) ~2~~' (25) Это неравенство и выражает устойчивость в сеточной норме С явной схемы по начальным данным и по правой части при условии (23) (явная схе:на условно устойчива). Неявную схему (17) прн а = 1 перепишем в виде нлп — зу, — ~1+ — "., ~у, О«1«Л2 Воспользуемся теперь теоремой 3 из з 5 гл, 1: для решения задачи А,у,, С,у, Ам,у„, — — С„ С;=А,+А„,+0„0<1<)У, у„=у;=О верна оценка В нашем случае А; =А,.„= т/й2, О;= 1, 1У 1е ~ 1~У (е < ~1У ~1е + 2921 1е. (26) от;+1 ( 2от '1 Р21 от —., у,', — ~1+ — т~у, + —., у...
= — У,', О«1«~У, у) ' =- у',~е1 =- О, / 2(1 — о)2'1 ), (1 — о)т 1, ) 2 )У1 чс . (У1-1 + Уее1) + т1( . ! ' а Отсюда видно, что коэф4шцнепт при у~ пеотрпцатолен, если 12 2 плн а) 1 —— (27) 2(( — о) ' 2т ' Отсюда суммируем по у = О, 1, ..., ) — 1, получаем оден- ку (25).
Таким образом, чисто пеявпая схема безусловно устойчива, т. е. устоичива прн любых т и Ь. В случае произвольного а разностпое уравнение имеет внд 240 гл. тп, гглвпвпик твплопговодпости Прк этом условии ()Р(с ~ 1у((е+ т(эрзс; пользуясь затем теоремой 3 из з 5 гл. 1, получим оценку (25) при условии (27).
В частности, для симметричной схемы устойчивость в С имеет место при т( Ь'. Фактически же схема (17) с о~1/2 безусловно устойчива в С по начальным данным, так что ()у (~с ~ ~о" у"с, где М,=сопз1) 1. Однако зто неравенство доказывается довольно сложным способом.
Ниже будет показапо, что в другой норме условие устойчивости схемы с весами имеет вид Ь о)о =- — —— 2 4т' (28) так что схема с о Р- 1/2 безусловно устойчива, а при а ( ( 1/2 вместо (27) ставится условие устойчивости Ь 4 (1/2 — о) ' (29) Указанный результат (29) получается на основе общей теории устойчивости. По аналогии с з 4 гл. 1 введем оператор А: о о о Ау = — /у, у ы (), у ы О, О где Π— множество фупкцвй у, заданных на сетке юз = (х,: х; =(Ь, (= О, 1, ..., )г', Ь = 1/Ж) и равных нулю па границе при 1=0, Ь', а у — мпох."ество фупкцпй, заданных во впутрепних узлах сетки х ы оп = (х,: л; = (Ь, (= =1, 2,, Х вЂ” 1, Ь=1/М.
Запишем схему с весамп в капонпческой форме: Вз, + А = ф(О, ( , „ г(О) = О. В = Е + отА. (ЗО) Для этого достаточно подставить зке = оз + (1 — о)з = з + + о(г — г) = з+ отг, в (18). Оператор А, как показано в гл. 1, самосопряжеп и положителен: А А*)О„если скалярное произведение в Е! определить по формуле и-1 (у, ь) — ~~ ук,Ь. 1=1 4 !. хглвнеиие с постояииыми козФФицикптами г45 Устойчивость схемы (30) исследовапа в гл. т', где показашг, что схема (30) устойчива в Па при о)о ! ! 2 т(А)!' (31) 4 яа Б даипом случае ))А)! = —,соз' —, Отсюда следует, что гхсма (17) устойчива ири любых т и Ь, если оЛ-"1/2. Если о ( 1/2, то схема устойчива ири ~ (1гв — о)1А1' Подставляя ск!да )!Л!! = 4Я", получаем !!гг'1!( Х т!)ф" (! Нри о'.О, о)о, 1--о с Подставив сюда Аг --.
г-, ' пайдем к ))г ((4 =- (Аг, г) =- — ( г-, г) =- (га, г~ = ~м Ь (гс,)о 1==1 и воспользуемся оцепкой )г х ~)ггг 1 !!г1с — - шах )г)( —,, „г„)г(г-,)а =- — )!г! . .Еиа В реву!!ьтате получаем (32) :! 1)! .= — ';У ):(! а.:о (ЗЗ) т. е. с."сема (17) схигдится в сеточпой норме С со скоростью !/у' — и' )! с =- )! г'!)с —: 0 (Ь' + т) ири о ~ 1.'2, о ) о„ !)гг',)с = 0()гг+ та), о = 1 2. Коли о„)0, т.е. г)Ь",о, 16 а. ь. Саоароаггп В частности, ирп сг=-о имеем 4(1,'2 — о )т = ИЗ()гг, т. с. схи ма повышенного порядка аппроксимации безусл!шио, устойчива. б.
Входимость схемы. Для доказательства сходимости схемы (17) надо получить априорную оценку для аадачи (ЗО). Воспользуемся иеравеиством для г, полученным ири исследовании сходииости схем в гл. гг, в силу которого для (30) и (18) верка оценка погрешности гл, тп ьглвнвпив тхплопговодпости 242 то и для схемы о .—.—. оз верна сцепка (ЗЗО и ",,з'~~ == 0(Ь' —; — т-) при а = о„. 7. Асимптотпчссвая устойчивость. Свойство асимптотической (при ( — со) устойчивости аадачв (5) по пачалыпгм давным выражает опенка (9). При больших решение задачи (5) определяется первой гармоникой и (х, () с,е ~в~ Х, (х) (регулярпый режим).
Естественно требовать, чтобы решение ревностной задачи у, = оду+ (1 — о)Лу; х = й, М =ут, (31) ( = 1, 2, ..., % — 1, 1 = О, 1, ..., у(0, П = О. у('1, () =О, у(х, 0) = и,(х), обладало аналитическими свойствачи. В гл. Ъ для операторко-разиостиой схемы с весами Ву,+Ау= — О, (шю„у(0) =у„В=Е+отА, бЕ=А ~ЛЕ, б)0, А =Аз)0 установлена асимптотическая устойчивость схемы с ве- самп )) у~ ~ к е ) )) у ~ при дополнительном условии т ~ т,(о), где т,=2/(б+Л) длв явкой схемы (б=О), т,=- > (т— любое) для неявной схемы (а =- 1) и т„=2/)'бЛ для симметричной схемы (о = 1/2). Для'схемы (ЗЯ имеем 4, лв 4 .
ль б = —., 5п! ., Л = —,соз Для явкой схемы (о =- О) т„= й"/2 и условие асимптотической устойчивости совпадает с условием обычпой устойчивости; пеяввая схема о = 1 по-прожлему безусловпо устойчива. Однако симметрнчпая схема (о = 1/2), будучи безусловно устойчивой в обычиом смысле, асимп- д х мпогомегпьп. Задачи твплопРОВОЙПОсти 243 тотпческп устойчива прп условии ь )с т ~(тю т — - и —. 1ила л В атом случае решение разностной задачи (34) с о = 1/2 прп больших 1 определяется первой гармопикои: у> с>р>яп лх; яе с,е '1> янлх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
