Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Берется то же сеточное пространство 11 = гг со скалярным произведением (7) и вводится оператор А: о Ау == — Лу =- — (и,у- ) — (агу-, ), Учитывая, что длн одномерного случая оператора а А: Ау =- — (ау-) а а а о с,(Ау, у) ((Ау, у) (сз(Ау,у), Ау =- — у-, О < с, » (а <» см нетрудно убедиться, что такие же неравенства выполняются и для двумерного оператора (15): а а о о ур а' гл.
т>г кгхвпгник тГплопгоэодностн Отсюда видно, что бЕ ( А ( ЛЕ, б = с,б,. Л = с,Л„, где б, п Л, определи>ется по формулам (10). Для определения у =у>е' па новом слое получаем задачу (6), где Л определяется пз (15). В случае явной схемы у определяется в каждом узле х ж о>, по формуле у = р+ (1 — о)гЛу+ тгр.
Для неявных схем (о Ф О) надо решать пятиточечпое раэностпое уравнение с переменпыгм| коэффициентами. Здесь пспольауютсн итерационные методы, наиболее экономичным нз них является попеременно-троугольпый метод (см. гл. У, з 5). число итераций для которого есть вели- ~' 1 г ') пша Π—, )и — ), еглп т = 0(Ь).
Описание попеременпо- ~;.>> треугольного метода для разпостпых уравнений с переменпымп коэффициентами дано в гл. >>1; применительно к уравнению В)) с оператором Л вида (15) его следует несколько видоизменить. в 3. Экономичпгае схемы 1. Метод переменных направлений, Срав>н>м явные и неявные схемы (5) по двум характеристикам: объем выпшлений для определения у"' и ограничение на шаг т. Явная схема: для определения Ч'>' на сетке ю, надо затратить число действий, пропорциональное числу узлов, т. е. число действий, приходящихся на один узел, не зависит от сетки о>з. Однако шаг т жестко ограничен сверху условием т < т,Н>): т ( Ь'Ь1 при Ь, =Ь,= Ь для схемы (13). Неявная схема (о ~ 1>2); для определения р>+' надо решить систему (>т', — 1)(У.
— 1) пнтиточечпых разности>нх уравнений; для этого, по крайней мере в случае переменных коэффициентов, требуется число действий на одни узел сетки ю,„возраста>ощее ирп )Ы вЂ” О. Вознннает задача -- построить схемы, сочетающие лучпше качества явных и веявпых схем: безусловно устойчивые, с числом действий па каждом слое, пропорциональным числу узлов сетки ю„. Так>ге схемы припнто называть экономичны.ии. Конечно, мы долятяы сделать оговорку: безусловно устойчивые в обычном смысле схемы должны быть аспмптотически устойчивы, что приводит % 3 ЭТТОНОЫТПТНЬТГ ГХГМЫ 251 к ограничению на шаг, значительно более слабому (например, т ~ 1й/(2л) нрн и = 1!2, й, — — й, = й, 1, = 1.
=1), чем условие устойчивости (т -.= й'/4) для явной схемы. Кстати, условие т = 0(й) естественно для схемы 0(т'+ +! й!') Первые экономичные схемы появнлнсь в 1955.— $956 гг. и были названы методами пере.венных направлений. Основная а:тгорзтмичегкая идея нх зкошытнчностн состоит в тои, что для перехода со слоя 1, на слой 1„, надо решать методом прогонки трехточечные раз~остные уравнештя сначала вдоль строк.
а затем — вдоль столбцов сетки ат„. Приведем формулы метода переменных направлений (нродольно-поперечной схемы Племена — Ренфорди) для задачи (1) с оператором /.: Ьи = Ь,и+ /аи, где ܄— один из операторов: Ьаи =- —,, нлн Ьаи = —. ~йа (х, 1) — ' ~, а == 1, 2. да а л ваа " ' даа~' а Пусть Л„Ае — соответствуюгцне трехточечные операторы и А = А, + Л,.
Вводя промегяуточное значение у = у"'", формулируем разностную схему переменных направлений: ут-"'- вТ ХЕН ЫТн У =- Р Тым при т,.=. О, А/т, (1) Т."1 ч Уст — в''ь 5,1ттм, Л у/ т 1 уты Тлт прн т, = О, Мь у" = и,(х), хте со„, (2) где р, — прометкуточпое значение функции )т(х, 1), равное — Ту -'- ТР т 1 РТ! 1 те1 — — — — Л. (14' — и').
4 длн определения у'"" и ун' имеем разиостные краевые задачи '/ тЛ,Т/'+'Н вЂ” уТ+и' = — Р, Р = у'+ 1/2т(А,у'+ т(/), х ы ым у "'=~ 1,=-О Аь ю/ . Л ты тм /Н~-~М Гл »и. УРАВнкниГ тГплопРОВодностн Егмм =- у'+"«+ '/,т(Л,У'""'+ «а!), х »и юм у ю р»+! ! 0 Х» Первая задача ре«лается прогонкой по строкам (!',='1, 2, ..., й!,— 1), вторая — прогонкой по столбцам (0 = 1, 2, ..., )»», — 1), Число действий на один узел конечно и пе зависит от сетки. Схема (3) устойчива как по начальпьы! данным, так и по правой части прп любых т п )/»( н имеет точность 0(тх+ ~ЬР). В этом можно убедиться путем иск:поченин у'+"' н сведения схемы (1), (2), к эквивалентной двухслойной схеме с факторизованным оператором В;: ье! ! В "+Лу'=-Ф', 1=0,1,..., у«=ти«енН, (4) В=~В+» Л!)~Е-!. ~ Л«), 4ау — Лау= У х а —.—.1, 2, где В = Й вЂ” пространство сеточных функций, заданных во внутренних узлах сетки е»».
Очевидно, что Ла.=. Аа ) 0 г» = 1»2, А»Л« = А«А!. Поэтому В = Е+ тА/2+ т»Л,А»/2 ~ Е+ тА/2) тЛ/2, и схема устойчива. 2. Факторизованные схемы, Оператор В, представленный в виде произведения несколыеях операторов В = =В,В....В„, будем называть //»акторизованным, а соотвотствуюгдую схему , «-';!»! ВУ ~ + 4у'=«р' 1=-0 1 ... У«=у(0) (5) — 4акторизованной гхемой. Если для решения задачи. Ва Е„, с«=12, с заданной правой частью Е требуется О()!'!/!») число действий, то и для определения у!+' по известному у' надо О(/т!)!») действий (оператор В «экономичен!!).
Так как Ву' -В,В,~" =Е, то алгоритм сводится к последовательному решению уравнений Вв ~ Ву у е 3. экопоыг!чнык схемы 253 Опираясь на теорию устойчивости двухслойных схем,нетрудно, отправляясь от схемы с весамп, построить экономичную факторпзоваппую схему (методом регулярпзацин). Итак, пусть А =- Л, -(- А„В:: Š—;- атЛ = Е + от (А, + Ла), Л„=- Лг', Лг — — Лт. 1 Тогда схема (9) пз $ 2 устойчпва при о'~ о 2 т!! 4)!' Замеггим в (9) оператор В факторизоваппым оператором В = (Е+ атА,)(Е+ отА,), отличающимся от В членом а'т'Л,А., В =В+ агт."ЛгЛг. Б результате получим факторизованнуго схему чгег дг В,— +Адг Фг / О 1 Уо ' ива=И (6) того же порядка аппроксимации 0((а — 1/2)т+ т'), что и походная схема с весамгг.
Так как исходная схема с весами устойчива (а ~ о„), то п факторпзоваппая схема (6) устойчива в снлу условяя В> В > тЛ/2, которое выпогшепо, еслп А, п Лг перестаповочны и Лев -=. Л„~О, сг = 1,2. Дгггг определения у"' мы получаем уравпеппе Вуы' = = — /г', плп (Е+ атЛ,)(Е+ атЛ.)д+' =- 1", /г' = Вуг+ т(Фг — Лд'), которое решается последовательно: (Е+ отЛ,)у =-Ег, (Е+атА,)д' ' =у (с соответствующими краевыгш условпямп). Более экономичным (экономия па вычпсленпп правой части г") является следующий алгоритм: (Е+ атЛ,) игьегг Ег = Фг — Ау', (7) (Е + атА,) игг+г иг' ", уг+' = уг + тгиг+'. Однако при етом надо хранить не адин, а два вектора ГЛ.
1 П. УРХВНГПИК ТВПЛОПРОВОДПОСТИ (ш'+'" или шкы и у1). При о = 1 из (7) следует вторая схема переменных направлений (схема Дугласа — Рекфорда) 1+1М, 1 -',- А1у'~'~1+ А,,у' = Ф', 1 Н РЬР1 1 1 1+1И Р1 (Е+ тА„) У 3. Метод суммарной аппроксимации. Чтобы получить зкономичные схемы для широкого класса задач (уравнения с переменными козффицнептами, области сложной формы и т. д.), необходимо изменить понятие разносткой схемы. Мы отказываемся от обычного понятия аппроксимации, которое мы рассматривали выше, и заменяем его более слабым понятием гуьчмарной аппроксимации.
Поясним его. Пусть переход от слоя )' к слою ) + 1 осуществляется в несколько зтапов, на каждом из которых используется обычная двухслойная схема, пе аппроксимирующая исходпоо уравнение, однако сумлга кевязок для каждой промежуточной схемы Р (1-Х фа а. 1 где а ) 0 — *шоно. Предположим. что а=а, +ам л,)0, а,)0, )(1) = (<(Г) +)',(1). (10) Очевидно, что такое представление возмоягно всегда. Введем сетку ы, = (1, = гг, ) = О, 1, ...) и па каждом шаге (1„1, 1) будем решать вместо (9) последовательно два уравнения ~ аам1 — — + аглн1 — — 71 (1), 11» (» »11-'1м = 11+ —. (11) Ьиз»» 8»» (1+1 4 ар() + птг1м = )т(1)1 стремится к нулю прп стремлении к пулю шага т по переменному й Идею метода суммарной аппроксимации мо1кно положить на примере задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения — + аи — -- 7(1), 1) О, и(0) .=- им (9) в 3.
зкопомпчпьп". схкмы с пачальпывпг даппымп ьи;(О) = и(О), пи,(г,.,о.) = п~ (г и) 1= О, 1,, п„,(О) = и,. (12) 1'ошеннем задачи (11) — (12) явлвется функция п(г) = ии,((). (13) Каждое иа уравнений (11) аппраксимируем двухслойной раапостпой схемой с шагом т/2. Например, возьмем неявную схему У вЂ” У А а /ьпг /г )+их,) (11) , 1+г /ема + агу' Вычислим вевяаки ф, и ф для схем (11). Подставим в (11) '=г) ' и~ =-г' -' ' ~' ' — г'' ' и) г)" — г/ ,) "1,г г~и Р аггг' — -- — ф'„ / = О, 1,..., ег"' — и' '-"1!х +а,и Ымг 3 го, О,р( и)ьг — кг Подставляя сюда о о и'-'' = (и+ ти/2)ипг+ 0(т'), й = (и — ти/2)миг + О( г'), получаем 1гг' = — ~ '2+ а,и — /,)/ + 0( Э (15) ~Р4 = (и/2 + а,и — /,)'ьиг+ 0(т).
Отсюда видно, что фх — — 0(1), ф( = 0(1), однако ф~~+ ф', = 0(т) — ~-0 при т-~.О. (16) Гл. 1'1ь уРАВцвник теплопРОВОдностп чче Все проведенные выше рассуждения, начнпая с (!О), (11), (14), сохраняют силу, если а, и а, — матрицы плп операторы, а и, 1, у — векторы, Таким образом, стена (11), (12) аппраксимирует задачу (9) в суммарном смысле (16) (такие схемы мы называем аддитиань222и).
Для доказательство сходимостн схемы (11), (12) кадо получит>, оценку для погре1пности х'+' = у1+' — й21, учитывающую свойство (16) суммарной аппроксимации. Положим о 2 2Ра = 2Ра + 2(2а~ о 12 22222 = ~ и'2 ' а2п /22) 2 2ь2а = О (т)~ а = 11 2~ 1+1Г1 .1 1-1 х = 61+122+ 2ь'ы22 х = Ч1ь1+ 21ж12 где Ч1 „$О, — решения задач 2 о 2)1.,а = Ч, + т2ро Ч,, = Ч,ч „2+ т2р2, 1=0, 1, ..., Ч„=О, (17) (1+ а,т)Е1~„, —— $1+ тфо (1+ а2т)$12 = $Р2112+ тф,, )=О, 1, ..., (!Я) В,=-о, ,*1,1 21' 2р1 — — 2Г21 — а1тЧ1, 1 „2Р2 =- 2У2 — автц;,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
