Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Схема (5) является одношаговой (нли двухслойной) рагностной схемой. Вообще под двухслойной схемой понимают уравнение, связывающее значения вектора у(Г) для двух значений аргумента ! = Г, и 3 =- Г +, (для двух слоев): Ву„„=Су„+г"„, и=О, 1,..., где В, С вЂ” квадратные матрицы !т Х Ж (линейные операторы В, С: Н" ~ Н"), у„, Ä— векторы размерности Ж. Это уравнение можно всегда переписать в следующем каноническом виде: Уи.~.1 Уг В „+АУ„=. ~У„, п =.0,1,2 з Ус = ис.
(6) гл. т. ЗАЛАчв коши Для определения у „, надо решить уравнение Ву„в, Ф„, Ф„=Ву„— т(Ау„— ф„). Будем всюду предполагать существование обратного оператора В '. Если В = Š— единичный оператор, то мы получаем явну»о схему (5). В случае В сь Е схему (6) называют неявной. Часто встречаются схемы + Ау„, = в»„(чисто неявн я схема), (7) т У„.ю Ув» т + — А(у„+у в,) =-ср„(симметричн я схема). 2 (8) Онп являются частными случаями (при а = 1 и а = 1/2) схемы с весами + А (ау„е, + (1 — а) у,) = <р„, и =- О, 1,..., (9) которую мо'кно записать в каноническом виде (6) с В=Е+атА, (10) где "»» »(»„= <рв — Аив — В т (12) есть невязка, или погрешность аппроксимации для схемы (6) на решении и = и(») исходной задачи (2).
Пусть 1иЦц,!И໠— некоторые нормы в 11"=Н». Схема (6) сходится, если !!з„(໠— О при т — О для всех и 1,2,... Схема (6) имеет т-й порядок точности, или сходится со скоростью 0(т"), если (~г 1!О> 0(т ) т е 1Ь 2О» ~ Мт (13) где М = сопя( не зависит от т. если учесть, что ау.„ + (1 — а)у„ = у„ + ат(у„в, — у„)/т. 3.
Погрешность аппроксимации. Пусть и = и(1) — решение аадачи (2), у, = у(г») — решение задачи (6); подставляя в (6) у. и + х,ч для погрепшости г„=. у„— и»а и„и(г ), получаем В "+' " +Аз„= ф„, и= .0,1,2, . „ее= О, (11) З 3. АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ а99 Напомним, что схема (б) имеет и-й порка/ок аппроксима)(ии на решении уравнения (1), если для невязки ар„ выполняется оценка 1)р„'»,а) — — 0(т ). (14) Выяснит) условия аппроксимации схемы (6) с т = 1, 2. Предполагая, что и = иО) имеет нужное но ходу изложения число производных, находим т а' и+а — — (и + — и + — и~) + О (та)а 2 8»~на и„= (и — —. и + — и~) + 0 (т')„ 2 »э)н 1 — (и+а — и») = и„,и, + 0 (т'), аь» = ар» — (Аи + Ви1„„+ — Аи»»а~а + О (т') = ар„— /„ааа + (/ — Аи — и) „„, + +(Š— В+ —, А) и»+ааа+ 0 (т') = 2 т = )Є— /»»ааа + (Š— В + — А) и„+ааа + 0(та). Отсюда видно, что условие (14) будет выполнено, если ~! ар» — У»+ )а Ь) = О (т ) Š— В+ — А и, — О( ), =12.
>(а) В частности, для явной схемы (в случае В =В) имеем — Аи~~~ = 0(т), аа 3)р4<а) = О (т) при ( ар» — / тиа $ = О (т), например, при р. =/' Для симметричной схемы (а-1/2) В= В+ тА/2, если )~аР 1»+О»1'аа) — — 0(т ), то )))Р»)))а) = 0(т ), посколькУ !ИŠ— В + тА/2)и)!и, = О; прн этом можно взять, например, ар )»»-ааа ГЛ.
У, ЗАДАЧА КОШИ Схема с опережением (о=1) имеет 1-й порядок аппроксимации, так как !~(Š— В+ тА/2)и!!>„= т~~Аи~~<л/2 = 0(т). 4. Устойчивость и сходимость. Как отмечалось выше, схема (6) устойчива (по начальным данным и по правой части), если ее решение непрерывно зависит от входных данных (от у, и от >(>„), причем зта зависимость непрерывна по т н >У, или по Й.
Для оценки решения задачи пользуемся нормой >>и>>»„ а для оценки правой части— нормой Ь1>л>. Воспользуемся более строгим определением устойчивост». Схема (6) будет устойчивой, если для любых у„ >р существуют такие постояннные М, - О и М, ) О, не зависящие ни от т, ни от )У, у„>р„, что для решения задачи (6) выполняется неравенство ~ у„(>ы (~ М, ~ у, (г» + ЛХА шах 1 >рл 1<ю. (16) азл<е Если схема (6) устойчива и обладает аппроксимацией Ц.1„> - О при т-' О, то она сходится: »у„— и„>>>„- О при т- О, о=1, 2, ...
(17) (пз аппроксимация н устойчивости следует сходимость схемы). В самом деле, если схема (6) устойчива, то для решения з„= у„— и задачи (11), согласно (16), выполняется оценка ~1з„(н»(61> ла- '1>гАЬ) (18) озл<» Отсюда и следует, что 1г„»»> - О, если 1Ф.»>л>- О прн т- О. Изучение сходнмостп и порядка точности сводится к изучению по> решпости аппрокспмацип н устойчивости разноствой схемы (6). 4 4. Устойчивость двухслойной схемы 1. Устойчивость по начальным данным. Будем рассматривать двухслойную схему в канонической форме вадино начальное значение у, ы Н, (1) где А, В: Н- Н (Н=Н"). Решение аадачн (1) поясно представить в виде суммы у = у'о + усе решений двух $ О.
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНОЙ СХНМЫ 201 вадач В ""' " +АУ„=О, и=0,1, уо= пою (2) уо+г Эо В + Ау„= г«„, п = О, 1, ..., у = О, (3) (усе — решение задачи (2), усп — решение задачи (3)). Схема (1) устойчива по начальным данным, если для решения задачи (2) верна оценка «у «О> ~ М «уо«О» (4) Схема (1) устойчива по правой части, если для решения задачи (3) верна оценка !!уо)!М ( Лт гпах !! %о !«2). (3) о<о<о Здесь М» М, не зависят от Н, т, п. й«ы будем пользоваться более простым условием устойчивости по начальным данным: «У„«,» < «У„,«пп ..., «У,«~» < «Уо«О> (М, = 1), (б) где Я вЂ” оператор перехода со слоя на слой. Схема (2) устойчива в Но, если справедлива оценка «У о1))о < «У/о (10) Из оЦенки «У„„,«о = !!ОУ.«о < «О«„«У„(!о слеДУет, что а также условием р-устойчивости: !!у «О, < р«у„,!!О, «р"«у„!!„» р > О.
(7) Очевидно, что схема устойчива в смысле определения (4), если р = е', где с, = сонат не зависит от и, т, Ж. В этом случае р" = е'о'"(е" = Лт,прн 0<1„< Т, с,>0 или р" <1 прн с,<0. В пространстве Н введем скалярное проиаведение (.) и норму «х!! = У(з, х), Пусть Р = Р* > 0 — самосопряжепный положительный оператор. В качестве нормы .«у«О1 выберем энергетическую норму «у«с» =«у!!.= У(Ру,у). (8) В частности, Р = А, Р = В плн Р В (при В = В" > 0). Из (2) следует, что у„„бу„, В=Ив (9) 202 Гл.
т. 3АЛАчА кОши неравенство (10) эквивалентно условию 1ЯПь ( 1. (11) Это условие, в свою очередь, эквивалентно условию ==-(у'1о — <~Бу$й = ту, у) — (Вду, Ву) )О для всех у е= Н (12) Таким образом, (10), (11) и (12) эквивалентны, т. е. выполнение любого нз них влечет за собой выполнение двух других, 2 Необхо ~имое и достаточное ус говне устойчивости Основная теорема. Теорема 1. Если А =А* — салосопряженный положительный оператор и существует оператор В ', то ))ля устойчивости схемы (2) в Нэ: 1у -~ 1(~ь К ~~у 1А (13) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство (Ву,у) — —,(Ау,у) ) 0 для всех у он Н, или В= — А. (14) Д о к а э а т е л ь с т в о.
Достаточно убедиться в эквивалентности (14) и неравенства т'., ) О, где вэ = (е!у, у) — (АЯу, Яу) = = (Ау, у) — (Ау — тАВ 'Ау, у — тВ 'Ау) = = 2 (АВ 'Ау, у) — '(АВ 'Ау, В 'Ау). Обозначив В 'А у = х, А у = Вх, получим ч'А =- 2т ((Вх, х) — — (Ах, х)) ~ )О для всех х ~ Н, (15) т. е. неравенства (14), (15) и, следовательно, (13), (14) эквивалентны. Это значит, что пз (14) следует ('11), (12) при В = А и (13) (условие (14) достаточно для устойчивости). Если же схема устойчива, т. е.
выполнено (13) илп йЯл < 1, то У„~ 0 п, следовательно, В ~ тА/2 (необходимость условия (14)). Э а меч анне. Условие (14) мегино пояснить на примере разностной схемы Ь '"+' " +ау =О, п=0,1,2,..., а~О, Ь>0 п 1 тстончивость двтхслоннон схимы 203 с числовыми козффицнентамн а, Ь.
Эта схема соответствует задаче Коши Ьи'(П+ аи(1) =О, 1) О, и(0) = и,. Из формулы у ь, = (1 — та/Ь)у„видно, что схема устойчива, т. е. (у..„! < (у ( «... (уп(, если (1 — та/Ь( < 1, — 1 < 1 — та/Ь < 1, т. е, Ь~ та/2, Аналогия с операторным неравенством В ~ тА/2 очевидна.
3. Примеры применения основной теоремы. П р яме р 1. Явная схема: В = — Е. А =Аз ) О. Из ггеравенства Коши — Буняковского (Ах, х) < ПАхП ПхП < ((АП ПхПг следует А < 1(АПЕ, нли Е ) — А. ПА! (16) 1 1 Рассмотрим теперь разность  — —, тА =- Š— —, тА 2 2 / )~ —. А — —, тА = ~ —, — — 2 /А, Так как А ) О, то -- (~ лП 2 = (, 12П 1 т условие  — —, тА ) 0 будет вылолпено при —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
