Samarskij A.A. Vvedenie v chislennye metody (ru)(400dpi)(T) (969542), страница 23
Текст из файла (страница 23)
характеризующая погрешность аппроксимации оператора Еи — т' оператором Еьи, — 1(ь На рЕШЕН1Ш и =и(Х) ПСХОдиай ЗадаЧи. УЧИТЫ- ваЯ, что 1 — Еи = О, пРеДставим 1Рь = 11 — ЕШ, в впДВ 1) ь = (1Рь — Е1,иь) — (11 — Еи)ь =- = (1рь — 1ь) — (Еь иь — (Еи)ь) = ьуь + ьР1 где фь = — (Еьиь — (Еи)ь) 1(1 = 1рь — Л 1)'ь — по- 611 а11 ,11) грешность аппроксимации Е оператором Еь па решении и - и(х) задачи (6), ьр), — погрешность аппроксимации правой части уравнения.
Требование )ьр1~,'(1„) 0 () Ь) ) (48 гл. 1т РАзностпыв мвтоды для кРАБвых зАдАч очевидно, выполнено, если )ф! )(1А) =-0())!) ),1!гА )(г„)=- =0()й) ). Однако этп условии нв являются необходимыми для оценки ))ф!!((!А) = 0()й) ), о чем свидетельствует следукяц!и) пример. 2.
Первая краевая задача (6). Вычислим - ф'о = и- - и = -~йги~~ + 0 (й!) = 0 (й~ ]пусть !р = ! + — Ьг~-, т е !р — 1 = 0(Ь'). Отсюда видно, что !рлА!! =-0(й') и ф!Аг! =-0 (йг), однако схема имеет четвертьш порядок аппроксимация, так как ф,=фА +фь =!р — 7+ — и +0(Ь!) =- !2 (!'-„,+ ")+0(й') = —,' (~" + и )+0(й'), ф! 0(Ь'), так как игт + ) ' (х) = О н силу уравнения и" +)(х) =О. 7. Связь увяойчивосви и аппроке!РА!ацпн со сходимостью, Рассмотрим лин! йпую разпостную схему (1в). Если схема устойчива и аппрокснмирует исходную задачу, то она сходится (обычно говорят: ыю устойчивости н аппроксимации следует сходпмость схемы»).
В самом деле, для погретпностп г! — — у„— и„мы получаем, в ситу линеиностн А"и и )м задачу (24), аиалогпчную задаче ('13) для у!. Поэтому, если схема (15) устойчива, т. е. верна оценка (16), то п для г! верна оцепка 1 гь ))(!А) ~ ~А!! !! Ф )(г! ) + ' ! 2)1 тА )(ЗА). (27) Отсюда видно, что )';гь((!!) =))ул — иА1(!А) = О() Ь,""), если )) Чъ 1(т,) = 0 () й ) ), )! 'А!~(,) = 0 () й )") Таким образом, изучение сходпмостн и порядка точности ревностных схем сводптся к изучению погрешности аппроксимации и устойчивости, т. е. к получению априорных оценок (16). Пример, Для развеет~ой схемы (17) (у;,1= — уя 1= 1,2, ° ., Ьг — 1, у, = О, ул = О) рапее получена з х ОднОРОдные тРехточечные Рлэностные схемы 149 оценка (23).
Погрешность аппроксимации, очевидно, есть ! 'Рм !Оэ — — 0 (йэ) прв гг, =- Л,:„'! Цъ ~!Сь = 0 (й') при В = ), + ьэ + ~~ 1„-„2 Так как з-„„,. = — фл прп 1=1, 2, ... ..., Ю вЂ” 1, г, = О, 2» = О, то и дли э веРна оценка !!2!с~( ! ( —,„~!ф~)с, откуда следует (!у,,— ив о=О(Ь")„где и — 2 ьэ ггрп~р=),т=4прп ~р=)+ 12(;, Тем самым изучение схемы (26) завершено (изучение схемы (26) фактпческп продемонстрировано на последних трах примерах).
Зто — тш1ичпый пример того, как проводитсл изучение разностных схем. э 2. Однородные трехточечные разноетные схемы 1. Исходная задача. Рассмотрим первую краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка: Х и = — ~й (х) — ') — д (х) и = — ! (х), 0 ( х ( 1. л( (1) й(х) ) д'~ О, Ч(х) )О, и(0) .=.- рп и(1) =- р, Таг'ое уравнение описывает стационарное, т. е.
пе меняющееся во времени распределение температуры (стационарное уравнение теплопроводности) пли концентрации (уравнение диффузии). Если и = и(х) — температура, то си И' (х) = — й (х) — тепловой поток (й(х) — коэффициент эх тсплопроводностн). Задача (1) имеет единственное решение, если й(х), д(х), !(х) — иусочно-нопрерывные функции. Если й(х) имеет разрыв первого рода в точке х = Ц, так что (й! = — )г(ээ+ 0) — й(» — 0) Рыб, то в этой точке должны оыть непрерывны температура и п тепловой поток — (йи'); (и! =-О, (йи'! -0 при х = с. Возможны п другие краевые условия при х = О. х = 1: / йи =О,и — р, при х= О, -йи =с,и — р, при х=1, Если а, ~ О, та вто условие третьего рода, прк а, =О имеем условие второго рода (йи = -р, прн х =- 0), Возможны комбинации раалнчпых условий прн х = 0 и х 1.
2. Трехточечные раэностные схемы. 1!а отрезке 0 ~ х ~ 1 введем равномерную сетку еээ = (х~ = 1й, 1бо гл. ту. РАзностыьш мктоды для кэаевых задач ( = 0„1, ..., Я с шагом Ь = 1/Ж и выберем трехточечный шаблон (х; „х„х,,), иа котором н будем писать рааностную схему, аппроксимирующую задачу (1). Любое ревностное уравнение на этом шаблоне будет иметь вид Ь,у„, — с,у~+ а,у, = — Ь'~р„ (2) где а„Ьь с; — коэффициенты, аависящне от й(х), д(х) и Ь.
Они пока не определены. Перепишем (2) иначе: г), =- (с; — а, — Ь,) '/г. Будем говорить, что разностная схема однородна, если ее коэффициенты во всех узлах сетки для любых коэффициентов дифференциального уравнения вычисляются по одним и тем же формулам. Так, если ввести функционалы АИ(г)), ВОг(г)), Р(к(г)), И7(г)), определенные для лк~бых кусочно-непрерывных функций на отрезке — 1 =- г ~ 1, и вычислять коэффициенты схемы (3) по формулам а, =.4(й(х, + гЬ)), Ь, = В(У(х, + г)т)), г), = Мй(х, + гй)), гр, = )т))(х, + гй)), Ус(г) =- й(х, + гЬ), то такая схема будет однородной.
Приведем простейшие функционалы АЫ(г)) =)ч( — 0,5), а;=)О и1=/с(х; — 0,56), В(г(г)) =У(0), с(,=);= 1(х,) п т. д. Если схема однородна, то удобно пользоваться безындексной системой обозначений: 1 ( Ду =- — (Ьу,- — ау-) — г)у =- — ~р, х ~ юг у (0) == рг у (1) = рг (й) где а=а(х), Ь=Ь(х), у=у(х), х=-й~ио4, у.'=- (у(х+ Ь) — у(х))'Ь у;. = (у(х) — у(х — Ь)) Ь Для разрешимости задачи (4) достаточно, чтобы а) О, Ь ) О, д ~ О, при этом решение мояпш найти методом прогонки (см, гл. 1, 'Э 3). э, одногодггык тгкхточкчнык гхзностнык схкмы 1э) 3.
Условия аппроксимации. Вычислим погрешность аппроксимации схемы (й); ~р = (Лг + <р) — (Сг + /) = (Аг — Е г) + (гр — /) = = [ — „(Ьгы — аг-,) — (йг')'~ — (г/ — д) г + (гр — Д, где г/х) — произвольная достаточно гладкая функция, /г, а, / также имеют нужное по ходу изложения число производяых. Воспользуемся формулой Тейлора: Ь' ,з г (х +- й) = г (х) й- 1>г' (х) + —, г" (з) ~ — '„., г" (х) + 0 (/г') и найдем з г- = г — —, г" + — „г'" -'; 0(й ). Подставим этм выражения для гх и г„- в формулу для ф: /1 ,/Ь) з '1,, /(Ь вЂ” а) (1 '/' ' с — (г/ — д) г + (гр — /) + 0 (/гг). Отсюда видно, что схема имеет второй порядок аппрок- симации, если выполнены условия : = Аа(х)+ 0(/гз), —, = й(х)+ 0(й'), г/ = д (х) + 0 (й-), гр = /(х) + О (/г ) (а) В этом случае гр = 0(Ь'), Схема (4) с коэффициентами й, = /гамы, а~ =- /ч-мэл г/1 = Чо гр = /ь ь,+2зь, +ь; 61= ' а =-/с-ггм А=Э~ удовлетворяет условиям (5) второго порядка аппроксимацяп, а схема с коэффициентами /сг + /с,.
аг=/г1 „, а;= (52 гл, 1\'. РАзностные ывтоды для кРАеВых зхдАч ие удовлетворяет даже условию первого поря:(ка аппроксимации, так как — (Ь1 — а;) — й1 =- О (1). й 3. Консервативные разностиые схемы 1. Однородные консервативные схемы. В 3 4 гл. ! мы установиля, что необходимым и достаточным условием оамосопряженности разностного оператора Лу (симметричности матрицы) является условие (11 = а1х1. В атом случае задача (2) пз $ 2 принимает вид ! ( РР11 Р1 Р1 г1-1 ) — 1 — вд а А Ь 1=-1,2, ° °, 1"1" — 1, р = р„у1=- р,. (!) Уравнение гаь1 г1 - 1 и1-1 — 2 аиы — а; — И1р, =- — ЬР1 ( ) является сеточным аналогом уравнения баланса тепла на интервале (х1 — 1.1 хкь1я): х1 и:;, — ю, — ~ ди в(х= — ~ /(х) а1х, ю= йи', х 1 — 111 (которое получается прп интегрировании уравнения (1) пз з 2 по отрезку х;,н ~ х~ х..11), и называется консервативной схемой, т.
е. схемой, для которой выполняются разностные аналоги физических ааконов сохранения. Туебование (1, =авн Дла оДкоРолной схемы означает, что В(й(х+ гй)) ° А[й(х+ (г+ 1)/й)), плн ВБ(г)) = =А(й(г+ !)) для любых кусочно-непрерывных функций й(г) иа отрезке ( — 1, 1).
Это возможно только в том случае, когда функционал А(й(г)) не зависит от значений н(г) прп 0 ~ г ~ 1, а ВИ(г)! — от значении й(г) прп — 1~в-60, так что а(х) =А(й(х+га)) при -1~в~ О. Коэффициент а(х) консервативной схемы зависит только от значен!1й й(х) па отрезке (х — Й, х). Условия второго порядка аппроксимации (5) из З 2 для консервативной з г. консеРВАтнвные РАзностные схеггы тзз схемы (2) принммают внд (х+ А) — а(*) Ь (х), 0 (Ьг) =- Ь(х) -'0(Ь'), 1)(х) = ~ (х) '- 0 (Ь'), 11 (х) = / (х) + 0 (Ь'). (4) Отсюда, в частностп, следует, что а(х) = Ь(х) — '/,ЬЬ (х) + 0(Ь1) = Ь(х — '/гЬ) + 0(Ь'). Заппшегг консервативную схему (2) в безындексных обоеначенпятп (ау„-) „— ог(х) у =- — 1р (х), х = ОЬ ~ егг, у (О) .—.. О„У (4) = ух (3) Будем требовать, чтобы выполнялись такнке условия а~с,>О, 1)>О.
(б) На практпке следует пользоваться простыми формуламн длЯ а, гг Я 1Р, напРпмеР, а,= Й;,и, Н, = де 1Р; Бслн разрыв фуякцнп Ь(х) находптся в узле х =х, сетки, то вычпслпм коэффнцпепты однородной схемы: а; = Ь,,м нлм а, = '/г(Ь(х,, + О) + Ь(х, — О)), И, = '/1(д(х, — О) + д(х, + О)), 1р; '/,(1(хг — О) + )~х, + О)) В этом случае условна (3) выполнены всюду, а условня (4) заменяются условпямп )г — /г(),,+д,,) =0(Ь'), р.— '/г(1,.+(г„) =0(Ь). Прнведем пример схемы, ьозффпцненты которой вычпсляются путем питегргтроваппя по интервалам сетки: х1ъ1З грг =. — „~ / (х) Ых =- ~ 1(г1 -'; зЬ) с)з, т — 1,. г -1'г дт х1 11 111 111 = — „) 11(х) агх =- ~ г, (х,,'- зб) 1)з.
-1! г Очевидно, что условня (3), (4) выполнены. вбй гл гт. Рхзностные хгзтоды для кгхввых згдяч 2. Погрешность аппроксимации. Рассмотрим консервативную схему второго порядка аппроксимации. Пусть и = и(х) — точное решение задачи Е.и = ()ги')' — д(х)и = — )(х), 0 < х (1, и(0) =- ро и(1) = рм (6) з у, = у(х;) — решение разностнои краевой задачи (5). !'ассмотрпм погрешность схемы, т. е, сеточную функцию г(х) у(х) — и(х), х ~и вм Подставляя у(х) = г(х) + и(х) в уравнение (5) и предполагая, что и(х) — заданная функция, получим для погрепп)ости г(х) задачу Лг =- (аг-),— Нг = — ф(х), хек юю г(0) = О, г(1) =-О, а)с, > О, И)~0, (6') где ф (х) = Ли + ср (х) = (аи„-)„— гКи + ср — невязка схемы (5) на решении и= и(х) исходной дифференциальной задачи.
Учитывая, что 1.и + ) = О, напишем ф =- (Ли + ~р) — (Х и + )) = (Ли — Ьи) + (~р — )) =- =- [(аи-„) — (йи')'1 — (д — д) и + (ср — (). По предполоя ению, схема (5) удовлетворяет условиям второго порядка аппрокснмацип, ,"-)то значит, что ф = = 0(Ь'), если й ш С"', у, ~ я С'~', и я С'", и, следовательно, 1')'Р = 0(п') Прп зпгх предполоя'енпях схема имеет второй порядок точности. Однако зтот ьке порядок точности сохраняется п прп более слабых требованиях гладкости: й(х), у(х), )( ) С'г', и С"*.
(7) Лемма. Если выло.тены условия (7), то справедлива форгвула = (йи'); + О ()Р), (8) где и = и(х) — реи~еяие уравнения (6), (зб в 3 консевватывнгге Разно('тггые схем11 Доказательство, Воспользуемся формулой Тейлора: 1 ~ гг", и цз —— . г'; ~ — йг; .). — „, г,"+ —,з г; (х, * %), Р 0(0~~1, — (гчю, — гч.гм) = — ц;+ 0(Ьт). Подставляя сюда и = йц и учитывая, что 1йи ) = (дц — 1)', Огггг)'" = (ди — 1)", получаем формулу (8). В силу леммы погрешность аппроксимации г) можно предстзвпть в виде г) = г)ю + 4'~г,т) = (аи;),.— (Лц');,,~м 4'г = 0(й') прн условиях (7). Учитывая далее, что о; = Л;,, -)- 0()гг) прп й(з) енС'", ц. — ц ц -- ' ' ' = (и');,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
