sopromat.Скопинский, Захаров (968719), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Поэтому и при поперечном изгибе используются соотношения (6.6) для кривизны оси изогнутой балки исоотношения (6.7), (6.8) - для нормальных напряжений:σ =My;σ m ax =M.WxJxДля определения касательных напряжений τ в произвольной точке сечения используется гипотеза 3 (τ = const по ширине сечения) изакон парности касательных напряжений. Выделим элемент балки(рис. 6.9,а) (берётся участок балки, где q = 0, т.к. учёт распределённойнагрузки q приводит к появлению членов второго порядка малости,которыми можно пренебречь) и рассмотрим верхнюю часть этогоэлемента, отсеченную продольной плоскостью y1 = const (рис. 6.9,б).Рис.
6.9На отсечённую часть в поперечных сечениях действуют норσ+dσσ), σ и касательные напряжения τ, а в промальные напряжения (σдольном сечении действуют такие же напряжения τ согласно законупарности касательных напряжений (Направление напряжений соответствует положительным направлениям M и Q Напряжения приведём к результирующим силам (рис. 6.9,в):N * = ∫ σdF ; N 1* = ∫ (σ + dσ )dF ; dT* = τ bdz,F**(6.10)F*где F - площадь отсечённой части поперечного сечения.Составим уравнение равновесия для отсечённой части балки:******∑ Fz = 0 ; - N1 + N + dT = 0 или dT = N1 - N .После подстановки соотношений (6.10) в это уравнение и преобразований, а также с учетом дифференциального соотношенияdσ =dM ⋅ yиз (6.7), можно получить:JxdM ⋅ ydF dM=JJxx*τbdz= ∫ dσ ⋅ dF = ∫F*F1 dM*∫ ydF или τ = bJ dz ∫ ydF .xF*F*Учитывая, что ∫ ydF = S*x ;F*dM=Q,dzокончательно получаем формулу для касательных напряжений в балках, котораяносит название формулы Д.И.
Журавского:Q S *xτ =,(6.11)JxbРис. 6.10где τ - вертикальная составляющая касательного напряжения; Q - поперечнаясила в сечении балки; Jx - момент инерции сечения относительно нейтральной линии; b = b(y) - ширина сечения на уровне y, где определяются касательные напряжения (по ширине сечения они постоянны);Sx*=Sx*(y) - статический момент отсеченной части сечения (расположенной выше или ниже уровня y) (рис.
6.10). Направлениекасательных напряжений τ в поперечном сечении балки соответствуетнаправлению поперечной силы Q в этом сечении.Для примера рассмотрим балку прямоугольного сечения со сторонами b и h(рис. 6.11,а). В соответствии с формулой (6.11) изменяется только статическиймомент отсечённой части сечения:**Sx = F yhb h2bh31 h2= b( − y ) ( + y ) = ( − y1 ); Jx =; b(y ) = b.1c122 4121 2 2Тогдаτ =Qbh3⋅b12b h26Q h23 Q3Qm ax22τèïðè( − y1 ) =();0−yy===12 42 bh2F1bh3 4.Для круглого сечения радиуса R, выполнив аналогичные преобразования,можно получить:τ (y 1 ) =4Q3πR242(R − y1 );τ m ax =4Q3πR2=4Q.3FНа рис.
6.11а,б приведены эпюры касательных напряжений τ дляпрямоугольного и круглого сечений. В обоих случаях напряженияраспределяются по высоте сечения по закону квадратичной параболы,максимальные напряжения возникают в точках нейтральной линии.Рис. 6.11Некоторые особенности в распределении касательных напряжений имеют место для тонкостенных профилей. Эпюра τ для двутаврового сечения показана на рис. 6.11,в. Вследствие резкого уменьшенияширины сечения возрастает величина касательных напряжений встенке профиля.
Максимальные напряжения равны τmax = QS*x/Jxd, авеличины Jx, S*x, d приводятся в соответствующих таблицах ГОСТсортамента. Приведенная эпюра τy является приближенной, т. к. неучитывает местного увеличения напряжений вблизи входящего угласечения, где стенка соединяется с полкой.Можно сопоставить наибольшие касательные и нормальные напряжения в балках, чтобы выяснить определяющие напряжения припоперечном изгибе балок. Например, для консольной балки прямоугольного сечения (рис. 6.12) эти напряжения равны:Pl6PlMσ m ax = m ax = 2 = 2 ;Wxbh /6 bh3Q3 PРис. 6.12τ m ax ==.2F2 bhσ m axl= 4 и учитывая, чтоСопоставляя полученные значенияτ m axhдля бруса l/h>10, можно сделать вывод, что для нетонкостенных балок максимальные нормальные напряжения значительно больше, чемкасательные напряжения.Следует отметить, что формула (6.11) позволяет вычислить напряжения не только в поперечных сечениях, но и в продольных (позакону парности касательных напряжений).6.6. Расчет на прочность при изгибеДля балок в большинстве практических случаев определяющимиявляются нормальные напряжения, а касательные напряжения играютвторостепенную роль.
Поэтому основным принимается условие прочности по нормальным напряжениям, а условие прочности по касательным напряжениям является поверочным.Для балок из пластичных материалов условия прочности имеютвид:σ m ax ≤ [σ ] ;τ m ax ≤ [τ] ;[σ ]=[τ]=σò;nòτò.nò(6.12)(6.13)Для балок несимметричного профиля, выполненных из хрупких материалов, вместо условий (6.12) необходимо составить два условияпрочности:σ mp ax ≤ [σ ]pσ Bpσσ,ãäå=; [σ ]c = Bc .[](6.14) cp σ m ax ≤ [σ ]cnBnBПри расчете балок постоянного сечения наибольшие нормальные напряжения возникают в сечении, где действует максимальныйизгибающий момент M max. В этом случае условие прочности (6.12)можно записать в виде:Ì m ax≤ [σ ].W x(6.15)Условие (6.15) используется для подбора сечения балки при изгибе:M m axW x ≥.(6.16)[σ ]При необходимости после этого проводится проверка по условиюпрочности (6.13) при Q = Qmax.Для балок переменного сечения (Wx≡Wx(z) условие прочности(6.15) следует записать в таком виде: ÌWx m≤ [σ ].(6.15*)axВ некоторых случаях при расчете балок на прочность следует обращать особое внимание на касательные напряжения в поперечных ипродольных сечениях балок.
В частности, когда рассматриваются:а)б)Рис. 6.131) тонкостенные балки;2) короткие балки из волокнистых материалов, имеющих малую прочность наскалывание вдоль волокон (например,возможно разрушение деревянного брускапо продольной плоскости, совпадающей снейтральным слоем (рис. 6.13,а);3) составные балки (рис. 6.13,б), для которых возможно разрушение по продольной плоскости контакта частей балки отдействия максимальных касательных напряжений.6.7. Перемещения в балках при изгибеПри расчёте конструкции вычисляются не только напряжения, нои перемещения. Причём методы определения перемещений играютважную роль как в общей оценке жёсткости конструкции, так и прирешении многих прикладных задач (расчёт статически неопределимых систем, динамическое нагружение конструкций, колебанияупругих систем и др.).Дадим общие понятия о перемещениях в балках, рассматриваяпрямой изгиб балки. Для определённости принимается общая системакоординат Oyz (рис.
6.14), начало которой выбирается в центреплощади какого-либо сечения, аось z направлена по оси балки.(При этом следует иметь в виду,что с каждым сечением связанаместная система центральныхосей, параллельных исходным.)Рис. 6.14Для поперечных сеченийбалок различают два вида перемещений:1) прогиб v(z) - линейное перемещение сечения (центра площадисечения) в направлении, перпендикулярном оси балки;2) угол поворота θ (z) - угловое перемещение сечения по отношению к первоначальному положению (поворот сечения относительнонейтральной линии).Принимая, что положительное направление θ совпадает с положительным направлением изгибающего момента M в сечении, а положительное направление оси Oy - вверх (см.
рис.6.14), получимtgθ =dv. В большинстве практических случаев перемещения вdzбалках относительно малы, так что можно считать tgθ ≈ θ. Поэтомудифференциальное соотношение между прогибом и углом поворотасечения получается в виде:θ = v′ ;v′ =dv.dz(6.17)Рассмотрим некоторые методы определения перемещений.6.7.1. Дифференциальное уравнение упругой линии балкиОсь изогнутой балки часто называют упругой линией.
В случаепрямого изгиба балки, учитывая соотношения (6.3), (6.6) и (6.17), дляопределения перемещений можно использовать систему дифференциальных уравнений в виде: dθM=(6.18) dz EJx .dv=θ dzИсключая второе уравнение из системы (6.18), получаем дифференциальное уравнение упругой линии балки:d2vM=.(6.19)dz2 EJxУравнение (6.19) (или система уравнений (6.18) может применяться для определения как перемещений отдельных сечений, так иформы оси изогнутой балки. Последовательным интегрированиемуравнений в системе (6.18) или уравнения (6.19) получаем:M dzM dz2θ (z) = ∫+ θο ; v(z) = ∫ ∫+ θoz + vo ,EJEJxxzzz(6.20)где θo, vo - постоянные интегрирования, имеющие смысл перемещений сечения балки в начале координат (z = 0).
Для балки постояннойжесткости EJx = const интегрирование упрощается:θ (z) = 1 ∫ M dz+ θo; v(z) = 1 ∫ ∫ M dz2 + θo + vo . (6.21)EJEJx zx zzПостоянные θo, vo определяются из граничных условий, число которых равно двум (порядку дифференциального уравнения). Граничные условия могут составляться для v и v′′ = θ в зависимости от типазакрепления балки. Например, для шарнирно опертой балки (рис.6.15,а) граничные условия имеют вид: v(0) = 0, v(l) = 0; для консольной балки (рис. 6.15,б): v(0) = 0, v′′(0) = 0.Рис. 6.15Пример 6.1. Рассмотрим определение перемещений для консольной балкипеременного сечения, нагруженной на свободном конце силой Р (рис.
6.16).Балка имеет постоянную толщину и переменную ширину сечения (h=const, b=var).Выберем начало координат на свободном конце балки. Тогда:M(z)=-P⋅z; b(z)=boz/l,где bo, l - ширина сечения в заделке идлина балки. Момент инерции произвольного сечения балки можно представить в таком виде:b(z)h 3bo h 3 zz== Jo ,J x (z) =l1212 lbo h 3.12Подставив полученые выражения вдифференциальные уравнения (6.18) ивыполнив интегрирование, получим такиеãäå Jo =Рис. 6.16выражения:θ (z) = −P lz+E Joθ o ; v(z) = −P lz2+2E J oθ o z + vo .Граничные условия имеют вид θ (l) = 0, v(l) = 0. Подставив их в полученные выражения, находим константы интегрирования: θo = Pl2/EJo; vo=-Pl3/2EJo. Тогдадля функции прогибов по длине балки и величины максимального прогиба (в сечении z = l) получим следующие выражения:z z2 P lz2P l2 z P l3P l3 1 - 2 +;+=l l2 2E Jo E Jo 2E Jo2E Jo v(z)= -vm ax = v(0) =P l3 .2E JoАналогичным образом нетрудно получить максимальный прогиб для консольной балки постоянного сечения (bo×h): vmax=Pl3/3EJo.6.7.2.
Метод единичной нагрузки. Интеграл МораОбщие методы определения перемещений в упругих системахоснованы на использовании вариационных принципов механики.Наиболее часто применяется принцип возможных перемещений(принцип Лагранжа): если упругая система находится в равновесии,то сумма работ всех внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях равна нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
