sopromat.Скопинский, Захаров (968719), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Например, консольная балка постоянного сечения, нагруженная сосредоточенным моментом (рис.6.19), будет балкой равного сопротивления изгибу, т.к. M (z) = М, и извыражения (6.35) следует Wx=const.В то же время в зависимости от формы сечения балки выбор размеров сечения является неоднозначным, поэтому может существовать бесчисленное множество равнопрочных балок. Рассмотрим это на примере консольной балки прямоугольного сечения, нагруженной силой Р (рис. 6.20).Рис. 6.19Рис. 6.20Принимая σmax=[σσ] и учитывая, что M(6.35) получаем:= Pz(см. рис. 6.20), из выраженияb(z)h 2 (z) PzW x (z)==6[σ](6.36)Рассмотрим три варианта изменения сечения по длине балки:1) h = const, b = b(z);2) b = const, h = h(z);3) h(z)/b(z) = c = const.В результате для каждого варианта извыражения (6.35) получаются следующие конструктивные схемы равнопрочных балок:1) b(z) =6Pz[σ ]h26Pz2) h(z) =[σ ]bРис.
6.213) b(z)= 36Pz[σ ]c2(рис. 6.21,а);(рис. 6.21,б);; h(z)= 36Pzc(рис. 6.21,в).[σ ]Размеры сечений балок в заделке нетрудно получить при z = l.Ясно, что существуют и другие варианты выбора параметров сечения (b, h),и в каждом случае получается свой объём (масса) равнопрочной балки. При этомвсегда получается экономия материала по сравнению с балкой постоянного сечения (bo, ho) при σmax = [σσ]. Так, в первом варианте получается балка в два разаменьшей массы по сравнению с балкой постоянного сечения.При проектировании балки равного сопротивления при поперечном изгибеследует учитывать и действие касательных напряжений. В рассматриваемомпримере (см. рис.
6.20) существуютминимальные размеры (bmin, hmin)сечения, которые определяются изусловия:3 Pτ m ax =≤ [τ ].2 bhТак, в первом варианте (см. рис.Рис. 6.226.21,а) получается bm in =3 P, и2 [τ ]hбалку треугольной формы в плане следует «скорректировать» по ширине на свободном конце, как показано на рис. 6.22.Балки переменного и постоянного сечения в значительной мере различаются и по перемещениям. Так, для консольной балки постоянного сечения максимальный прогиб равен vmax=Pl3/3EJo, а для консольной балки равного сопротивления изгибу (первый вариант) - v′′max=Pl3/2EJo, где Jo=boh3/12 (см.
пример 6.1). Изсравнения видно, что v′′max=1.5vmax. Таким образом, при одинаковой прочности балка равного сопротивления в два раза легче и в 1.5 раза более гибкая, чем балкапостоянного сечения. Это свойство используется в специальных конструктивныхэлементах - рессорах, которые за счет большой деформативности позволяютуменьшить эффекты динамических воздействий. Конструктивно рессора выполняется в виде пакета листов одинаковой ширины, но различной длины (рис.6.23). За основу берется балка равного сопротивления изгибу треугольной формы, котораяусловно разрезается на 2n полос шириной t/2(рис. 6.23,а).
Затем полосы одинаковой длины складываются (n полос шириной t=b0/n), ив результате получается рессорный листовойпакет (рис. 6.23,б). В рессорах листы не связаны друг с другом (специальные устройства- хомуты - служат для того, чтобы рессора нерассыпалась), поэтому приближенно можносчитать, что исходная балка треугольнойформы и рессорный пакет эквивалентны.Однако на практике влияние трения междуРис. 6.23листами полностью устранить не удается, поэтому реальные прогибы рессор несколько меньше (~ на 10-25%), чем расчётные.Для обеспечения необходимой прочности рессоры изготавливаются из высокопрочных сталей, так что обычно допускаемые напряжения [σ] > 400 МПа.7.
Статически определимые стержневые системы7.1. Основные определенияСтержневой системой называется конструкция (или ее расчетная схема), состоящая из структурных элементов типа бруса (стержня). При выборе расчётной схемы стержневой системы следует учитывать способ соединения стержней между собой и с опорной поверхностью, так как от этого зависит, какой вид деформации будетпреобладающим для стержня (растяжение-сжатие, изгиб, кручение).Как правило, соединение стержней является податливым, но в расчетных схемах чаще всего используются модели жесткого и шарнирноготипа соединений.Стержневая система называется плоской, если оси всех составляющих стержней расположены в одной плоскости, которая являетсяглавной плоскостью сечений. В этой же плоскости действуют внешние силы, включая и реакции опор.Плоская система, нагруженная перпендикулярно своей плоскости, называется плоско-пространственной.Для пространственной стержневой системы характерно произвольное положение стержней и действие внешних сил.Часто плоские системы являются частью пространственных систем, из которых они выделяются для упрощения расчета.Стержневая система должна быть геометрически неизменяемой,т.е.
перемещения любой ее точки должны быть обусловлены толькодеформированием этой системы. Если же система может сама перемещаться как жесткое тело либо допускает взаимное перемещение составляющих её тел (элементов) без деформирования, то такая системаявляется геометрически изменяемой. Если стержневая система впределах малых перемещений геометрически изменяема, а затем становится неизменяемой, то она называется мгновенно изменяемой.Применение мгновенно изменяемых систем недопустимо, т.к. в упругих элементах (стержнях) таких систем возникают очень большиевнутренние усилия и напряжения, которые могут привести к разрушению или появлению заметных остаточных деформаций в стержнях.7.2.
Расчет плоских системСтержневые конструкции для выполнения своих основных функций должны воспринимать действующие нагрузки, включая и реакции связей. Предположим, необходимо силу Р, приложенную в некоторой точке, передать на опорную поверхность через ограниченноепространство АВС (рис. 7.1,а). Для передачи нагрузки можно использовать треугольную пластину либо два стержня, например прямоугольного сечения (рис.
7.1,б). Причем для закрепления конструкциииспользуем минимально необходимое число связей, которые не даютперемещаться системе в пространстве, т.е. делают ее геометрическинеизменяемой.Для плоской системы должно быть наложено три связи, напримерс использованием неподвижного и подвижного шарниров (рис.7.1,б,в).
При этом стержневая система является статически определимой, так как реакции связей могут быть найдены с использованиемтрех уравнений статики:∑ Мв = 0;Yc a – Ph1 = 0;Yc = Ph1/a;∑ Fx = 0;XB + P cosβ = 0;XB = - P cosβ;∑ Fy = 0;YB + Yc + P = 0;YB = -P (h1 + a)/a,где a = l1 sinα1+ l2 sinα2 ; h1 = l1 cos(α1 + β ).(7.1)Рис. 7.1После определения реакций могут быть найдены внутренние силовые факторы (усилия) в любом сечении стержневой системы (рис.7.1,г). Правило знаков для нормальных сил N, поперечных сил Q и изгибающих моментов M определены в соответствующих разделах(“Растяжение” и “Изгиб”).
Пользуясь методом сечений усилия в первом стержне (рис. 7.1,г,д) определяются следующим образом:∑ Fz1 = 0; N1 + XB sinα1 + YB cosα1 = 0; N1 = -XB sinα1 – YB cosα1;∑Fy1=0; - Q1 – XB cosα1 + YB sinα1=0; Q1 = - XB cosα1 + YB sinα1; (7.2)∑MO1= 0; M 1+XB cosα1 z1–YB sinα1 z1=0; M 1 = (-XBcosα1+YBsinα1)z1..Аналогично находятся усилия в произвольном сечении второгостержня (рис. 7.1,г,е):∑ Fz2 = 0; N2 + YC cosα2 =0; N2 = -YC cosα2;∑ Fy2 = 0; Q2 + Yc sinα2 = 0; Q2 =- YC sinα2 ;(7.3)∑ MO2 = 0; - M 2 + YC sinα2 z2 = 0; M 2 = YC z2 sinα2 .Как видим, усилия N и Q по длине стержней не меняются, а изгибающие моменты M изменяются линейно.Величина N имеет порядок силы P, а величина изгибающего момента M имеет порядок величины Pl. Сравним напряжения в прямоугольном сечении стержневой системы от растяжения-сжатия и изгиба:σm ax( M ) Pl / Wx F l==;σ(N )WxP/Fσm ax( Mσ( N ))=bh lbh 2 / 6=6l.hЕсли учесть, что для стержней l/h >10, то напряжения от изгибаболее чем в 60 раз превышают напряжения от растяжения-сжатия.Следовательно, стержни конструкции (см.
рис. 7.1,б) в основном изгибаются. В этом случае можно пренебречь напряжениями и перемещениями, связанными с растяжением (сжатием) элементов по сравнению с напряжениями и перемещениями от изгиба. Стержневые системы, элементы которых главным образом работают на изгиб, называются рамами.Таким образом, расчет рам на прочность и жесткость можно проводить так же, как и балок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
