sopromat.Скопинский, Захаров (968719), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В математической форме этоможно записать так:∑ Pjδ j + U = 0,(6.22)jгде Pj - внешняя сила; δj - возможное перемещение точки приложениясилы Pj; U - возможная работа внутренних сил.Под возможными понимаются такие перемещения, которые могут быть осуществлены для данной системы в соответствии с имеющимися опорами, не нарушая сплошности системы. Чем меньше перемещения, тем точнее соблюдается принцип Лагранжа. Учитываямалость перемещений в реальных упругих системах, такие перемещения можно принимать в качестве возможных. Работа внешних ивнутренних сил на возможных перемещениях называется возможнойработой.Пусть криволинейный брус испытывает плоскую деформациюпод действием произвольной нагрузки, которую символически обозначим силой Р (рис. 6.17,а).
Требуется определить перемещение сечения К в заданном i-ом направлении ( δ (êi)).Рассмотрим два состояния заданной системы. Исходное состояние системы при действии реальной нагрузки, в котором возникаетискомое перемещение, называется действительным или грузовымсостоянием. Вспомогательное состояние системы определяетсядействием соответствующей единичной нагрузки и называется единичным состоянием (рис.6.17,б).
Термин «перемещение» понимается в обобщённом смысле: линейное или угловое перемещение. Вводимая единичная нагрузка должна соответствовать искомомуперемещению: прикладывается в заданном сечении и в заданномнаправлении; прикладывается единичная сила ( P = 1), если определяется линейное перемещение, или единичный момент ( M = 1),если определяется угол поворота.Рис. 6.17В рассматриваемом методе принцип возможных перемещенийзаписывается для единичного состояния. При действии единичной нагрузки в поперечных сечениях бруса возникают внутренние силовыефакторы: нормальная сила N1, изгибающий момент M 1 и поперечнаясила Q1. Возможные перемещения определяются дополнительнымдеформированным состоянием, которое накладывается на упругуюсистему, до того находившуюся в равновесии под действием приложенной нагрузки.
В качестве возможных принимаются реальные перемещения бруса в грузовом состоянии, при котором в поперечныхсечениях бруса возникают внутренние силовые факторы N, M , Q.Для единичного состояния внешней силой является только P = 1,которая совершает работу на искомых перемещениях δ (Êi); поэтомувозможная работа внешних сил равна P ⋅ δ (êi). При составлении работывнутренних сил рассматривается деформация элемента бруса длинойds (см.
рис. 6.17). Условно считая левое сечение неподвижным, правое сечение получит такие смещения: при растяжении (сжатии) - осевое перемещение ε⋅ds; при изгибе - поворот dθ=k⋅ds; при сдвиге - поперечное перемещение γ⋅ds (см. рис. 6.17,а). Работа dU внутреннихсил для элемента бруса всегда отрицательная, т.к. эти силы являютсясилами упругого сопротивления и препятствуют развитию деформации. Поэтому получим:dU = − N 1 ⋅ εds− M 1 ⋅ kds− Q 1 ⋅ γds.Перемещения за счёт сдвига записаны при условии равномерногораспределения касательных напряжений в сечении. Учитывая неравномерность их распределения при изгибе (см. раздел 6.4), вводитсяпоправочный коэффициент kc - коэффициент формы сечения (дляпрямоугольного сечения kc = 6/5, для сплошного круглого сечения kc= 10/9 и т.д.).Для бруса в целом работа внутренних сил получается интегрированием выражения для dU по длине l.
Подстановка полученных выражений в формулу (6.22) даёт уравнение:lll0001 ⋅ δ K − ∫ N 1ε ds − ∫ M 1kds − ∫ Q 1 kcγds= 0 .(i)Откуда выражение для искомого перемещения получается в видеlllδ K = ∫ N 1εds − ∫ M 1kds − ∫ Q 1kcγds.(i)00(6.23)0Подставляя в выражение (6.23) ранее полученные зависимости длядеформаций ε, k, γ через внутренние силовые факторы (ε=N/EF,k= M /EJx, γ=Q/GF), получаем расчётную формулу для определенияперемещений:lN 1 N ds l M 1 M ds lQ 1Q ds(i)δK = ∫+ ∫ kc+∫.(6.24)FFEEJGx000Формула (6.24) носит название интеграла Мора.В случае расчёта бруса, имеющего несколько участков, формула(6.24) может быть представлена в следующем виде:lim li N N ds li MQ 1iQ ids1i i(i)1iM i ds , (6.25)δ K = ∑ ∫+ ∫ kci+∫FFEEJGxiiiiiii= 1 000где m - количество участков бруса.Вклад каждого из интегралов в формулу (6.24) различный, чтообычно учитывается при расчёте конкретного бруса.
Для бруса прирастяжении-сжатии учитывается только первый интеграл. При плоском изгибе прямолинейного бруса обычно учитывается только второйинтеграл:lM M dzδ (Ki) = ∫ 1.(6.26)EJx0Определение перемещений по методу единичной нагрузки проводится в следующем порядке.1. Брус разбивается на участки в соответствии с действующей нагрузкой и характером изменения жесткости.2. На каждом участке для грузового состояния составляются выражения для N, Q, M в произвольном сечении бруса.3. Рассматривается единичное состояние бруса, определяемогодействием соответствующей единичной нагрузки: в направлении искомого перемещения при определении линейного перемещения прикладывается сила P = 1, при определении углового перемещения момент M = 1.4.
На каждом участке бруса для единичного состояния составляются выражения для N1, M 1, Q1 в произвольном сечении бруса.5. Вычисляется перемещение по формуле (6.24) (или (6.25),(6.26).Положительное значение показывает, что перемещение происходит по направлению приложенной единичной нагрузки, отрицательное - в направлении, противоположном приложенной единичнойнагрузки.6.7.3. Способ ВерещагинаИспользование формул (6.24) - (6.26) связано с необходимостьювычисления интегралов, иногда - путем численного интегрирования.Существуют различные способы, облегчающие вычисление этих интегралов. Один из них, графоаналитический способ А.К.
Верещагина, применяется для прямолинейного бруса.Рассмотрим прямолинейную балку постоянной жесткости(EJx=const), и формулу (6.26) представим в виде1 lδ=(6.27)∫ M 1M dz.EJx 0Для прямолинейной балки выражение для изгибающего моментаM 1 от единичной нагрузки является линейной функцией:= a + b⋅z.(6.28)Выражение для изгибающегомомента M грузового состояния может быть произвольнойфункцией (рис. 6.18). Послеподстановки выражения (6.28)в формулу (6.27) в результатепреобразований получим:Mδ11 l=∫ (a + bz)M dz =E Jx 0ll1=(a∫ M dz + b∫ zM dz).E Jx 00Рис. 6.18Введём обозначения (согласно геометрическому смыслу слагаемых):l∫ M dz = ∫ dω = ω - площадь грузовой эпюры M (см. рис.6.18);0lω∫ zM dz = ∫ zdω = zcω = S M - статический момент площади эпюры0ωM.Тогда получим:ω (a + bzc)1δ=(aω + bzcω ) =.EJxEJxСомножитель в скобках согласно выражения (6.28) является значением момента M 1 в сечении z = zc (см.
рис. 6.18). Обозначив η =M 1(zc) = a + bzc, формула для определения перемещений по способуВерещагина примет вид:δ=ω ⋅η.(6.29)E JxТаким образом, вычисление перемещений по способу Верещагиω) грузовой эпюры M на орна сводится к перемножению площади (ωη) единичной эпюры M 1 под центром площади грузовойдинату (ηэпюры.Следует обратить внимание, что эпюры M 1 и M для вычисленияперемещений по формуле (6.29) должны удовлетворять определённым условиям:1) грузовая эпюра M непрерывна и сохраняет знак на всем участке интегрирования;2) площадь и положение центра площади грузовой эпюры M известны или легко определяются;3) единичная эпюра M 1 является линейной (а не кусочнолинейной).В том случае, если эпюры M и M 1 не удовлетворяют указанным условиям, грузовая эпюра разбивается на n простых фигур, чтобы удовлетворялись эти условия, и перемещение вычисляется поформуле:1 nδ =(6.30)∑ ω iη i.E Jx i= 1Вспомогательная информация для некоторых фигур приведена в табл.
6.1.Таблица 6.1Фигуры 3 - 5 получаются для эпюры M , ограниченной квадратичной параболой (при действии распределенной нагрузки q = const),причем для фигур 3, 4 (параболические треугольники) т.К должнабыть точкой экстремума (min или max).Способ Верещагина применим для вычисления любого из интегралов (6.24) с использованием соответствующих эпюр и жесткостей.Отметим ограничение и дополнительные особенности примененияспособа Верещагина (на примере формулы (6.29) для балки).1. Способ Верещагина применим только для прямолинейногобруса.2. Ступенчатый брус следует разбивать на участки постояннойжёсткости; тогда расчётная формула примет вид:ωδ = ∑ iη i .n(6.31)EJxii= 13. Для бруса переменной жесткости EJx(z) можно построить приведённую грузовую эпюру Ì = Ì /ÅJx; тогда формула (6.30) преобразуется к виду:nδ = ∑ ω iη i .(6.32)i= 14.
Если обе эпюры ( M и M 1) являются линейными, то операция«перемножения» в формулах (6.29) - (6.31) обладает свойством коммутативности (перестановки), т. е. можно умножать площадь едиω⋅η=ωω1⋅ηр):ничной эпюры ω1 на ординату грузовой эпюры ηр (ωδ=ω ⋅η=ω 1⋅η ð.EJxEJx5. Знак каждого отдельного произведения ωiηi выбирается следующим образом: если эпюра M на данном участке и соответствующая ордината ηi расположены по одну сторону от оси, то произведение считается положительным, в противном случае - отрицательным.6.8.
Балки равного сопротивления изгибуДля уменьшения материалоёмкости конструкции на практике часто применяются балки переменного сечения. При расчете таких балок следует учитывать,что геометрические характеристики сечения Jx(z), Wx(z) являются функциями продольной координаты. Например, максимальные напряжения в сечении балкиравны:M (z),(6.33)σ m ax (z) =W x (z)и анализ их только для всей балки в целом позволяет выбрать наибольшие напряжения σmax в опасном сечении. Частным случаем балок переменного сеченияявляются балки равного сопротивления изгибу (равнопрочные балки), для которых во всех сечениях максимальные напряжения одинаковы (в частности, могут быть равны допускаемым):σ m ax (z) =M (z)W x(z)= const =σ m ax ; (σ m ax = [σ ]).Отсюда получается выражение дляразмеры сечений:Wx =M (z)σ m ax.Wx(z),(6.34)через которое можно определять(6.35)Закон изменения Wx(z) определяется и видом нагрузки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
