sopromat.Скопинский, Захаров (968719), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для участков, где q=0, эпюра Q ограничена горизонтальнойпрямой, а эпюра M - наклонной прямой (если на участке Q = 0, тоM =const).2. Для участков, где q = const ≠ 0, эпюра Q ограничена наклоннойпрямой, эпюра M - квадратичной параболой.3. При q ≠ 0 выпуклость параболической эпюры M противоположна направлению нагрузки q.4. В сечении, где Q = 0 при q ≠ 0, эпюра M имеет экстремум:max - при q < 0, min - при q > 0.5.
В сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, наэпюре Q имеет место скачок на величину этой силы, а на эпюре M излом навстречу силе. В сечении, где приложен внешний сосредоточенный момент, на эпюре M имеет место скачок на величину этогомомента.6. Ордината эпюры M численно равна площади эпюры Q на соответствующем участке (если в пределах этого участка нет сосредоточенных моментов).6.2.
Основные зависимости при чистом изгибеВ теории чистого изгиба принимаются следующие кинематическая и статические гипотезы.1. Гипотеза плоских сечений: сечения, плоские до деформации,остаются плоскими и после деформации.2. Гипотеза ненадавливания продольных слоёв друг на друга:продольные слои балки не взаимодействуют в поперечном направлении, т.
е. нормальные напряжения в продольных сечениях равны нулю.3. Деформации и напряжения по ширине поперечного сечениябалки постоянны.Эти гипотезы хорошо подтверждаются экспериментально. Еслина поверхность недеформированной призматической балки нанестипрямоугольную сетку линий (рис. 6.3,а), то при чистом изгибе балкисетка искажается так, что: а) поперечные линии остаются прямыми,поворачиваясь на некоторый угол; б) продольные линии искривляются по дугам окружностей и остаются перпендикулярными поперечным линиям (рис. 6.3,б).
При этом изменяется и форма поперечныхсечений: в растянутой в продольном направлении зоне балки происходит сужение в поперечном направлении, в сжатой зоне - расширение.Рис. 6.3При изгибе продольная деформация ε(y) слоёв балки изменяетсяпо высоте сечения непрерывно, причем часть волокон испытываетрастяжение, часть - сжатие. Очевидно, что существует слой балки, вкотором деформация отсутствует - нейтральный слой no-no (см. рис.6.3,а,б). Линия пересечения нейтрального слоя и поперечного сеченияназывается нейтральной линией (линия CD на рис. 6.3,в).В соответствии с общей схемой решения задачи о деформируемом теле (см. раздел 3.2) рассмотрим получение кинематических, физических и статических зависимостей.Для анализа геометрической картины деформирования элементарной части балки (рис.
6.4) выделим отрезок ab произвольного слоябалки на расстоянии y от нейтрального слоя (ось y расположена вплоскости изменения кривизны). Приизгибе поперечные сечения, оставаясьплоскими, повернутся на угол dθ, а изменение кривизны k нейтрального слояопределяется из геометрического условия dz = ρ⋅dθ :1 dθРис. 6.4k= =,(6.3)ρ dzгде ρ - радиус кривизны нейтрального слоя.Линейная деформация отрезка ab определяется обычнымобразом:a1b1 − ab∆ (ab).ε==ababρ⋅dθ, a1b1 = (ρρ+y) dθθ (см. рис. 6.4), поУчитывая, что ab = dz =ρсле преобразований получим:yε = = ky.(6.4)ρСогласно гипотезам 2 и 3 продольные слои испытывают одноосное растяжение или сжатие. Поэтому физические зависисимости (закон Гука) записываются в простейшем виде:yσ = Å ε = Å = E ky .(6.5)ρСогласно формуле (6.5) справедливо и такое определение нейтральной линии: геометрическое место точек сечения, где нормальные напряжения равны нулю.Рассмотрим статические уравнения для произвольного сечения балки, в котором действуют только нормальные напряжения (рис.
6.5).Введём в сечении декартову систему координат так, что ось Оx совпадает с нейтральной линией сечения, ось Оy направлена вверх, осьОz - перпендикулярно сечению. При изгибе N= 0, и с учетом формул(6.5), (1.3) получаем:yN = ∫ σdF = 0; ∫ E dF = 0;ρFFkE ∫ ydF = 0.F1≠0ρ(для изогнутой балки), поэтому∫ ydF = Sx = 0 , т.е. ось x является ценОчевидно, что E ≠ 0, k =FРис. 6.5тральной осью сечения.Выбирая т.0 в центре площади сечения и учитывая, что рассматривается прямой изгиб, получаем, что оси х и у являются главнымицентральными осями поперечного сечения, а z - осью балки. Тогда ρ радиус кривизны оси изогнутой балки.Для изгибающего момента M в сечении имеем:M = ∫ σydF = ∫ E ky2dF = kE ∫ y2dF = kEJx ; Jx = ∫ y2dF ,FFFFгде Jx - момент инерции сечения относительно нейтральной линии.(При выводе направление изгибающего момента M принято в соответствии с направлением нормальных напряжений.)Отсюда получается зависимость для кривизны оси балки:1Mk= =,(6.6)ρ E Jxгде EJx - жесткость бруса при изгибе.6.3.
Нормальные напряжения при изгибеПодставляя зависимость (6.6) в формулу (6.5), получаем выражение для нормальных напряжений в произвольной точке поперечного сечения:Myσ =.(6.7)JxВыражение (6.7) определяет закон изменения нормальных напряжений в плоскости сечения - линейная зависимость от координаты у(рис. 6.6,а).Рис. 6.6Максимальные нормальные напряжения в сечении возникают вточках, наиболее удалённых от нейтральной линии:σ m ax =M ym axJx=M ,W(6.8)xгде Wx - момент сопротивления сечения при изгибе:Jx.(6.9)W x =y m axУсловно эпюра σ(y) изображается в плоскости сечения (рис.6.6,б,в).
Знаки напряжений на эпюре ставятся в зависимости от направления изгибающего момента M в сечении (на рис. 6.6,б знакипоказаны для момента отрицательного направления). Если сечениенесимметричное относительно нейтральной линии, то максимальныерастягивающие и сжимающие нормальные напряжения будут различной величины (см.
рис. 6.6,в).Момент сопротивления Wx для сечений различной формы определяется через момент инерции Jx сечений (см. раздел “Геометрические характеристики сечений”). Например, для типовых сеченийполучим:• прямоугольное сечение со сторонами b и h:bh3hJx =; ym ax = ;122• кольцевое сечение ( α =bh2Wx=;6d):DπD 4DJx =(1 − α 4 )≈ 0,05D 4 (1 − α 4 ); ym ax = ;6423πDWx=(1 − α 4 )≈ 0,1D 3 (1 − α 4 );32• сплошное круглое сечение (d=0, α = 0):Jx =πD 4πD 3≈ 0,05D 4 ; W x =≈ 0,1D 3 .64326.4.
Рациональные формы сечения балок при изгибеНапряжения в сечении балки распределяются неравномерно. Поэтому встаёт вопрос о проектировании балок рациональной формысечения, обеспечивающих наилучшим образом использование материала. Вопрос в том, как обеспечить заданную прочность балки привозможно минимальной ее материалоемкости. А эти факторы зависятот характеристик сечения - Wx и F. Рациональными формами сечений балок при изгибе считаются такие, которые при заданной площади F обеспечивают наибольшую величину момента сопротивления Wx(или при минимальной площади F обеспечивают заданную величинуWx).
Качественным показателем рациональности сечения может служить величина Wx/F: чем она больше, тем более рациональное сечение.Оптимально было бы использование материала только в областинаибольших напряжений, т.е. распределять материал подальше отнейтрального слоя. Так как в сечении балки при изгибе возникают напряжения разного знака, то выбор рационального профиля зависит иот материала.Пластичные материалы чаще всего имеют одинаковые (или близкие по величине) прочностные характеристики на растяжение и сжатие (σтр ≈ σтс).
Поэтому для балок из пластичных материалов рационально использовать сечения, симметричные относительно нейтральной линии. А идея периферийного распределения материала привелана практике к созданию стандартных профилей в виде двутавра ишвеллера (рис. 6.7). Наибольшие значения параметра Wx/F у двутавра. Основываясь на таком подходе, можно убедиться, что лучше применять балки не сплошного круглого сечения, а кольцевого; не прямоугольного сечения, а коробчатого.Рис. 6.7Рис. 6.8Для балок из материалов, неодинаково работающих на растяжение и сжатие, выгодным является применение сечений, несимметричных относительно нейтральной линии.
Причём положение нейтральной линии желательно иметь таким, чтобы выполнялось условиеσcmax = σвp/σσpmax/σσвc. При этом важна правильная ориентация сечения в зависимости от положения растянутых и сжатых волокон. Например, для консольной чугунной балки таврового сечения (рис. 6.8)при показанном направлении нагрузки необходимо расположить балку полкой вверх, т. к. в этом случае будет σcmax > σpmax, а для чугунаσвc > σвp.6.5. Напряжения при поперечном изгибеПри поперечном изгибе в сечениях балки возникают не тольконормальные σ, но и касательные τ напряжения.
Поперечная сила Q всечении является результирующим силовым фактором от действиявертикальной составляющей τ касательных напряжений: Q = ∫ τ dF .FВ результате возникающей деформации сдвига γ поперечные сеченияне остаются плоскими, а искривляются. Кроме того, действие поперечной нагрузки, в частности распределенной q(z), приводит к взаимодействию продольных слоёв балки. Таким образом, строго говоря,при поперечном изгибе балки не соблюдаются гипотезы 1 и 2, принятые при чистом изгибе. Однако экспериментальные результаты, атакже сопоставление с более строгим решением по теории упругостипоказывают, что несоблюдение отмеченных гипотез при поперечномизгибе приводит к несущественной погрешности при использованииформул чистого изгиба.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
