sopromat.Скопинский, Захаров (968719), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Скачки на эпюре N по величине равны силам,приложенным в соответствующих сечениях. Участок АВ не деформируется, участки ВС и DM растягиваются, а участок СD сжимается.Рис. 3.7Для построения эпюры σ определяются нормальные напряжения накаждом участке по формуле (3.9)σ( i)=NiFi;i = 1, 2, 3, 4(3.23)с учётом того, что F1=F2=F3=F и F4=2F.Если стержень изготовлен из пластичного материала, то участки3 и 4 равноопасны. Если стержень изготовлен из хрупкого материала,то более опасным может оказаться участок 4 (как правило, хрупкийматериал хуже работает на растяжение).Линейные деформации на участках определяются из закона Гука(3.5):ε(i) =σ( i)E( i);i = 1, 2, 3, 4.(3.24)43Если стержень выполнен из одного материала (E(i) = E), то эпюраε имеет такой же вид, как и эпюра σ.Эпюра осевых перемещений w строится, начиная с сечения, гдеизвестно перемещение.
Для рассматриваемого стержня – от сеченияМ, так как wМ= 0.В соответствии с формулами (3.13), (3.14) и учитывая, что wн =wМ= 0, а wк = wD, получим перемещение сечения D:4Pl2Pl=w D = ∆l4 =.E ⋅ 2FEFЕсли на i-ом участке стержня определена деформация ε(i) = const,то проще вычислять ∆li по второй формуле (3.13):∆li = ε(i) li .(3.25)Аналогично определяем перемещения других сечений по участкам:wC = wD +∆l3 =wB = wC + ∆l2 =2Pl+ ( −2P) 1,5l = −Pl;EFEFEFP lPPl) 1 ,5 l = 0 ,5−+ (EFEFEF; wA = wB.Участок АВ перемещается как жесткое тело, не деформируясь.Поэтому перемещения всех сечений на этом участке одинаковы. Сечение А перемещается вверх.
Направления перемещения просто определить по участку 4. Так как этот участок растягивается (N4 > 0), топри wD > 0 сечение D перемещается вверх. Отсюда следует, что сечения, у которых w > 0, перемещаются вверх, и наоборот.Полное изменение длины стержня (удлинение или укорочение), азначит и перемещение его концевого сечения относительно начального сечения, может быть определено суммированием изменений длинучастков:∆lm= ∑ ∆l ,ii=1(3.26)где m - число участков.В данном случае ∆l = wA = ∆l1 +∆l2 + ∆l3 + ∆l4.Из построенной эпюры w видно, что наибольшее перемещениеимеет сечение D (wmax = wD).Отметим, что в соответствии с формулой (3.4) значение деформации ε является производной от функции перемещений w.
Двигаясьв положительном направлении оси z (вверх) от сечения М (см.рис.3.7), значения на эпюре ε определяют возрастание или убывание44функции перемещений w. И наоборот, перемещения являются интегральной функцией от деформаций ε формула (3.11). Например, перемещение произвольного сечения w(z) на участке 4 равно площадипрямоугольника длиной z на эпюре ε (w(z) = ε4⋅ z).Рассмотрим различные варианты расчета стержня на прочность.Вариант 1. Проверить прочность стержня при заданных параметрах:F = 2 см2, Р=10 кН, σT = 320 МПа, nТ = 2.Определяем максимальные напряжения σmax (см. эпюру σ на рис.3.7) и допускаемые напряжения (3.21):3Pσmax=σ (2) =σ (3)= 2 , σmax= 2F[σ]=320= 16010 ⋅ 10−42 ⋅ 10=108 Па = 100 МПа;МПа.2Сравнивая максимальные напряжения с допускаемыми, делаем заключение, что условие прочности (3.21) для стержня удовлетворяется.Вариант 2.
Определить параметр F при следующих исходных данных:Р = 20 кН; [σ] = 160 MПа.Учитывая что σmах = 2P/F, условие прочности (3.21) примет вид:2P≤ [σ] .FРешая это неравенство относительно параметра F, находим:F≥2P3; Fmin = 2[σ ]2 ⋅ 20 ⋅ 106160 ⋅ 10−4 2= 2,5 ⋅ 10 м =2,5см2.Вариант 3. Определить максимально допустимое значение параметранагрузки Р для стержня из хрупкого материала, используя такие данные:F = 2 см2; σвр =240 МПа; σвс = 960 МПа; nв = 4 .Материал стержня хуже работает при растяжении, поэтому наиболее опасным является участок 3 (см. эпюру σ на рис. 3.7).
Подставляя σp,max= 2P/F в первое неравенство (3.22), получим:2P≤ [σ]р;F[σ]р = 240/4 = 60 МПа.Решая это неравенство, находим:Р ≤ [σ]р F/ 2; Pдоп = 60 106 2 10 –4/2 = 6 кН.Определим изменение длины стержня при значениях параметров:F = 2 см2; P = 20 кН ; l = 1м; E = 2 105 МПа.45Как следует из эпюры w (см. рис. 3.7,б), стержень удлиняется, таккак wA > 0 (сечение А перемещается вверх):wA−4= 0,520 ⋅ 10112 ⋅ 10⋅1−4⋅ 2 ⋅ 10−3= 2,5 ⋅ 10м = 2,5 ìì .При расчете стержня не учитывался его собственный вес. Считается, что им можно пренебречь по сравнению с действующими силами.
Но в ряде практических случаев необходимо учитывать напряжения от собственного веса.Рассмотрим стержень постоянного сечения (рис. 3.8,а), нагруженный собственным весом. Следует отметить, что расчетная схемастержня с сосредоточенной силой, равной силе веса стержня и приложенной в его центре тяжести (рис. 3.8,б), является весьма приближённой, так как нагруженной является половина стержня (см эпюру Nна рис.
3.8,б). Тогда как очевидно, что в произвольном сечении 1-1нормальная сила равна силе веса отсеченной части.Рис. 3.8Для расчётной схемы стержня (рис. 3.8,в) объемную нагрузку,определяемую собственным весом стержня P, заменим погонной нагрузкой интенсивности q = P/l. С учетом соотношения P = γ Fl, где γ –удельный вес материала стержня, получим q = γ F. Тогда N и σ впроизвольном сечении стержня (рис. 3.8,в) определяются выражениями:N = q (l - z) = γF (l - z); σ = N/F = γ (l - z).Соответствующие эпюры N и σ представлены на этом же рисунке.Найдем предельную длину стержня lпр, при которой максимальные напряжения в стержне у заделки достигнут предела прочности истержень разрушится:σmax = σвр; γ lпр = σвр; lпр = σвр/γ.46Как видим, предельная длина стержня постоянного сечения не зависит от его площади поперечного сечения.
Например, для стальногостержня с γ = 7,8⋅104 Н/м3 и σвр= 780 МПа получим lпр= 104м.Более эффективно применять материал, у которого высокиепрочностные характеристики (σвр) и/или наименьший удельный вес(γ), т.е. материал, имеющий большее значение lпр=σвр/γ. В наибольшейстепени таким условиям удовлетворяют волокнистые композитныематериалы (углепластик, органопластик и др.).Осевые перемещения сечений стержня определяются по формуле(3.18) при wн = 0 (в заделке):2ql zqzq z2 N í z+=−+w (z) = −.2EF EF2EF EFФункция w(z) является квадратичной параболой.
Перемещениеконцевого сечения стержня (при z = l и c учетом ql = P) равно:w = Pl/2EF.Отметим, что этот же результат получается и с использованиемприближённой расчетной схемы на рис. 3.8,б. Следует также отметить, что при использовании этой схемы правильно определяютсямаксимальные напряжения в стержне у заделки, однако распределение N , σ и w по длине стержня описываются неверно.3.7. Расчёт статически неопределимого стержняСтатически неопределимым является стержень с двумя заделками(рис.
3.9). Две реакции не могут быть определены из одного уравнения статики:ΣFz = 0; RA + P – 5P + RD = 0.(3.27)Второе уравнение должно быть получено из рассмотрения деформирования стержня. Для этого условно сделаем стержень статически определимым, удалив одну из заделок, например правую. Вместоудаленной заделки приложим неизвестную реакцию X1=RA. Получимстержень, аналогичный (статически эквивалентный) заданному. Приэтом нужно учитывать, что из-за наличия двух заделок изменениеполной длины стержня равно нулю (деформационное условие). В соответствии с формулой (3.26) запишем:∆l1 +∆ l2 +∆ l3 = 0.(3.28)Для определения ∆li (3.14) получим нормальные силы Ni в сечениях каждого участка:N1 = X1; N2 = X1 + P ; N3 = X1 + P – 5P = X1 – 4P .(3.29)47Используя формулу (3.14), значения Ni (3.29) и физико-геометрические параметры участков (Ei, Fi, li), уравнение (3.28) запишем ввиде:X1 lEF+( X1 + P ) lE2F+( X1 − 4 P ) lE2F=0.(3.30)Это уравнение является дополнительным к уравнению статики(3.27).Уравнение (3.30) может быть преобразовано к виду :2lEFX1 −3 Pl2 EF=0.(3.31)Первое слагаемое в этом уравнении определяет для эквивалентного стержня перемещение концевого сечения А от неизвестной реакцииХ1, а второе слагаемое – перемещение от заданных сил.
При этом коэффициент при Х1 численно равен перемещению сечения А от силыХ1=1.Решая уравнение (3.31), находим Х1 = RA = 3/4P, а затем из (3.29)- усилия на участках. После чего строятся эпюры N, σ и w, которыепредставлены на рис. 3.9. Эпюра w построена, начиная с сечения D.Правильность решения контролируется равенством нулю перемещения сечения А.Рис.3.9Рис.3.10Для статически неопределимого стержня практическое значениеимеет вычисление температурных и монтажных напряжений.48При изменении температуры статически определимого стержня внем не возникают усилия и напряжения.
Стержень просто удлиняетсяили укорачивается. Если же нагревать или охлаждать статически неопределимый стержень, то в нем возникают температурные усилияи напряжения. Это объясняется тем, что жесткие заделки не позволяют изменяться длине стержня. В результате при нагреве возникаютсжимающие усилия и напряжения, а при охлаждении стержня – растягивающие усилия и напряжения.Если длина стержня имеет отклонение от номинального размера(например, стержень выполнен длиннее на величину ∆0 = l – l0), то после принудительной установки такого стержня между жесткими опорами в нем возникают так называемые монтажные усилия и напряжения.Учет вышеуказанных факторов покажем для стержня, рассмотренного в предыдущем примере (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
