sopromat.Скопинский, Захаров (968719), страница 7
Текст из файла (страница 7)
рис. 3.2,а).Если принять Р1 = 2Р, q1 = 2Р/ l, l1 = 0,5l, q = Р/ l, то NA = P, NB = 2P.В соответствии с выражением (3.1) нормальная сила на участкеАВ меняется по линейному закону. На рис. 3.3,а показана эпюра (график) нормальных сил на выделенном участке бруса.Рис. 3.3Рассмотрим равновесие элемента бруса длиной dz (рис. 3.3,б):-N – qdz + (N + dN ) = 0.После преобразований получим дифференциальную зависимость при растяжении:dNdz36= q.(3.3)Из этого выражения следует, что величина q = const определяетугол наклона прямой на эпюре N (см.рис. 3.3,а). Если распределеннаянагрузка на участке отсутствует (q=0), то нормальные силы на этомучастке не меняются, т.е.
N = const (рис. 3.3,в). Отметим, что величина скачка на эпюре N равна значению сосредоточенной силы 4P, приложенной в сечении.В общем случае для эпюры нормальных сил соблюдается правило скачков: в том сечении, где приложена сосредоточенная сила наэпюре N имеет место скачок на величину этой силы.Изменение сечения бруса не влияет на величину N.3.2. Основные зависимости при растяженииДля решения любой задачи деформируемого тела (бруса) должныбыть получены три типа зависимостей.Кинематические зависимости связывают деформации и перемещения при рассмотрении деформирования элемента бруса. В сопротивлении материалов эти зависимости, как правило, получаются сиспользованием гипотезы плоских сечений (гипотезы Бернулли).Физические зависимости связывают напряжения и деформации(закон Гука).Статические зависимости связывают напряжения и усилия всечении бруса (уравнения равновесия).Рассмотрим получение этих зависимостей при растяжениисжатии бруса.Кинематические зависимости получим при рассмотрении деформирования выделенного элемента бруса длиной dz (рис.
3.4,а).Рис. 3.4В соответствии с гипотезой Бернулли левое сечение, оставаясьплоским, переместится на величину w, а правое сечение - на w + dw.Изменение длины элемента ∆ (dz) =(w + dw) – w = dw. Тогда линейнаядеформация ε =∆ (dz)/dz в пределах элемента равна:37ε=dw.dz(3.4)Считаем, что напряженно-деформированное состояние элементаоднородно (рис. 3.4,б), поэтому закон Гука запишем в видеσ = Eε.(3.5)Равнодействующая всех элементарных сил σdF в сечении равнанормальной силе N (рис. 3.4,в). В итоге для всего сечения получим:N = ∫ σdF .(3.6)FКак правило, придерживаются следующей схемы преобразованияполученных зависимостей.
С использованием кинематической зависимости (3.4) закон Гука записывается в виде:σ=Edw.dz(3.7)Это выражение используется в статической зависимости (3.6):dw .N = ∫EdFdzFdw= const , аС учетом того, что для сечения Е=const и ε=dz∫ dF = F , после преобразований получим:FNdw=.dzEF(3.8)Дифференциальное уравнение (3.8) используется для определения перемещений сечений бруса.Подставляя (3.8) в выражение (3.7), получим:Nσ= .(3.9)FЭта формула может быть получена и непосредственно из зависимости (3.6) с учетом равномерного распределения нормальных напряжений по сечению (σ = const, см.
рис. 3.4,б).Отметим, что формула (2.6) является частным случаем формулы(3.9) при N = Р и использовалась только для определения напряженийпри растяжении образца.3.3. Перемещения сечений стержняПродольные перемещения сечений стержня определяются интегрированием дифференциального уравнения (3.8):38w = wо+ ∫N dzEF,(3.10)где wo - постоянная интегрирования (перемещение сечения при z=0).Если учесть, что ε = σ/E = N/EF, то выражение (3.10) может бытьзаписано в виде:w = wo + ∫ ε dz.(3.11)Это выражение может быть получено и непосредственно интегрированием уравнения (3.4).Часто необходимо определять перемещение wк концевого (к) сечения участка стержня, зная перемещение wн начального (н) сечения.Например, необходимо определить перемещение wк концевого сечения участка, на котором ε =N /EF = const (рис.
3.5,а). Воспользовавшись формулой (3.11) при wo = wн, получим:w = wн + εz .(3.12)Рис. 3.5При z = l найдем перемещение концевого сечения участка:wк = wн + ∆l; ∆l = ∆l ,(3.13)где ∆l - изменение длины участка.Выражение для ∆l может быть получено и из формулы (2.1), таккак деформированное состояние участка бруса такое же, как рабочейчасти образца.39С учетом того что ε=N/EF, вторая формула (3.13) принимает вид:Nl∆l =,(3.14)EFгде EF – жёсткость при растяжении-сжатии (этот параметр зависит отсвойств материала (Е) стержня и площади его поперечного сечения).Формула (3.14) может быть получена непосредственно из законаГука (3.5) с учетом формул (3.9) и (2.1). Поэтому выражение (3.14)определяют как закон Гука для участка бруса при постоянной деформации на участке.Если на участке бруса действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности q (рис.
3.5,б), то нормальная сила в произвольном сечении при известном значении в начальном сечении (Nн ) равна:N = Nн – qz .(3.15)При z = l Nк = Nн - q l.Подставляя выражение (3.15) в формулу (3.10), после интегрирования при wo = wн получаем:N н z qz 2w = wн +−.(3.16)EF 2EFСледовательно, эпюра w (см. рис.
3.5,б) ограничена параболойвыпуклостью вверх (d2w/dz2< 0). Если на участке эпюра N пересекаетось, то в этом сечении функция w имеет экстремум (dw/dz = 0). Этотслучай на рис. 3.5,б показан штриховыми линиями. При z = l перемещение концевого сечения участка равно:N н l q l2−wк = wн +.EF 2EF3.4. Учет факторов, влияющих на изменение длины стержняИзменение длины стержня может вызываться различными причинами: силовым воздействием, изменением температуры, отклонением от номинальной длины стержня.Если на стержень действуют заданные нагрузки, то изменениедлины любого его участка с постоянной деформацией (рис. 3.6,а) определяется по формуле (3.14).40Рис 3.6При изменении температуры стержня на ∆T° (температурное воздействие) любой его участок изменяет длину (рис.
3.6,б) на величину∆lT = αT ∆T l ,(3.17)где αT – температурный коэффициент линейного расширения мате-5риала. (Например, для стали αT =1,25⋅10 1/град.)Соответственно возникают температурные деформации:εò =∆lTl= α T ∆T .(3.18)Если силовое и температурное воздействия осуществляются одновременно, то изменение длины и деформация определяются с использованием принципа суперпозиции:∆l =Nl+ α T ∆T l ;EFε=σE+ αΤ ∆Τ .(3.19)Использование принципа суперпозиции, при котором силовая итемпературная деформации рассматриваются как независимые, справедливо в том случае, когда модуль упругости Е и температурный коэффициент αT не зависят от температуры.
Практически это имеет место при умеренном температурном воздействии. Например, для малоуглеродистой стали при Т < 300°C (cм. рис. 2.10).Кроме того, изменение длины стержня или его участка можетбыть связано и с тем, что он изготовлен длиннее или короче своейноминальной длины на величину ∆o= l - lo (рис.
3.6,в). Отклонение отноминального размера положительно (∆o> 0), если стержень длиннее,и отрицательно (∆o< 0), если - короче.С учетом всех перечисленных факторов изменение длины участкастержня определяется выражением∆l =Nl+ αΤ ∆Τ l + ∆ 0 .EF(3.20)Полное изменение длины стержня равно сумме изменений длинего участков.413.5. Расчет стержня на прочностьПрочностной анализ стержня заключается в определении напряжений для стержня в целом, выявлении максимальных напряжений исопоставлении их с допускаемыми или предельными напряжениями.Сечение стержня, в котором возникают максимальные напряжения, называется опасным.
Если максимальные напряжения действуютна всем участке стержня, то такой участок также называется опасным.При расчете на прочность стержня из пластичного материала используется условие прочности:σmax ≤ [σ]; [σ] = σт / nт или [σ] = σ0,2 / nт .(3.21)Максимальные напряжения σmax = (N/F)max в опасном сечениимогут быть как растягивающими (положительными), так и сжимающими (отрицательными). В последнем случае величина напряженияберется по модулю. Допускаемые напряжения [σ] либо заданы, либовычисляются по второй формуле (3.21) при известном пределе текучести σт (или σ0,2) и коэффициенте запаса nт.При расчете на прочность стержня из хрупкого материала используется система условий прочности:σр,max ≤ [σ]р; [σ]р = σвр / nв,σс,max ≤ [σ]с; [σ]с = σвс / nв.(3.22)Расчет ведется как для опасного сечения, в котором возникаютмаксимальные растягивающие напряжения σр,max, так и для опасногосечения с максимальными сжимающими напряжениями σс,max.Условия прочности (3.21), (3.22) подробно рассмотрены в разделе 2.5.При известных допускаемых напряжениях для материала стержнямогут проводиться три варианта расчетов.1.
Если заданы нагрузки и размеры сечений стержня, то проводится поверочный расчет.2. Если заданы нагрузки, то могут быть определены размеры сечений стержня (проектировочный расчет).3. Если заданы размеры сечений, то могут быть определены допускаемые нагрузки.Эти варианты расчета на конкретном примере рассмотрены вследующем разделе.423.6. Расчёт статически определимого стержняДля статически определимого стержня (рис. 3.7) реакция в заделке (или нормальная сила в любом сечении) может быть определенас использованием уравнений статики.
Если реакция в заделке предварительно не определена, то построение эпюры N рациональнее начинать со свободного конца стержня. При этом, используя метод сечений, необходимо отбрасывать часть стержня с заделкой. Последовательно применяя метод сечений на каждом участке (i =1, 2, 3, 4), определяются нормальные силы на участках. По полученным значениямстроится эпюра N.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
