sopromat.Скопинский, Захаров (968719), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Определяем крутящие моменты на участках вала: M к1 = 2 M /3,M к2 = - M /3. Эпюра M к показана на рис. 4.15,в.4.7. Кручение бруса прямоугольного сеченияРешение этой задачи намного сложнее, чем для бруса круглогосечения. В первую очередь это связано с тем, что при кручении брусанекруглого сечения не соблюдается гипотеза плоских сечений. Поперечные сечения бруса искривляются (происходит депланация сечений), что внешне можно наблюдать, например, при искажении ортогональной сетки линий на поверхности бруса прямоугольного сечения.
Решение задачи о кручении бруса некруглого сечения проводится методами теории упругости, поэтому приведем лишь основныесведения, необходимые для расчета.Отметим общие положения: 1) касательные напряжения в точкахконтура поперечного сечения направлены по касательной к линииконтура; 2) касательные напряжения в угловых точках сечения равнынулю.
Оба эти положения легко доказываются от противного.Основные расчётные формулы - для максимальных касательныхнапряжений в сечении и относительного угла закручивания на участке- имеют вид, аналогичный соотношениям (4.11) и (4.8):M ê ,M ê;(4.28)τ m ax =ϕ′ =WêG Jêгде Jк, Wк - момент инерции и момент сопротивления сечения прикручении.Угол закручивания, например для консольного бруса, определяется по формуле, аналогичной формуле (4.15):M êl .(4.29)ϕ =G Jê65Для сечения прямоугольной формы распределение касательныхнапряжений показано на рис. 4.16.
Наибольшие касательные напряжения возникают в середине большихсторон (точки А и А1), напряжения всередине малой стороны прямоугольника (т.В и т.В1) меньше по величине:τ′ = ητmax; η ≤ 1.(4.30)Геометрические характеристикипрямоугольногосеченияприкручении определяются соотношениями:Wк = αаb2; Jк = βаb3; а ≥ b . (4.31)Коэффициенты α, β, η зависят ототношения сторон а/b; их числовыезначения приведены в табл. 4.2. ДляРис. 4.16прямоугольного сечения сильно вытянутой формы (а/b >10) α=1/3, β=1/3 .Таблица 4.2a/b 1.0 1.5 1.75 2.0 2.5 3.0 4.0 4.0 8.0 10.0 ∞α 0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333β 0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333η 1.0 0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.7424.8.
Кручение тонкостенного стержня открытого профиляСтержень называется тонкостенным, если один из размеров поперечногосечения значительно превышает другой. Поперечное сечение тонкостенногостержня часто называется профилем. Различают стержни открытого (а) изамкнутого (б) профиля (рис. 4.17). В силу определения: s/t > 10, si/ti > 10, где s, t- полная длина контура и толщина профиля; si, ti - длина и толщина i-ой частитонкостенного профиля (s=∑∑si). Наиболее часто применяются стержни открытого профиля.
Для их расчёта при кручении применяется приближенный метод сиспользованием формул для бруса прямоугольного сечения. При этом возможныдва подхода.1. Если профиль может быть развернут в прямоугольник вытянутой формы(рис. 4.17,а), то для расчета применимы формулы (4.28) - (4.31) при α=1/3, β=1/3(Wк=st2/3, Jк = st3/3):3M ê ;3M ê l.3M ê ;(4.32)τ m ax =ϕ =ϕ′ =233G ststG st66Рис.
4.17Рис.4.182. В том случае, когда открытый профиль является составным и не можетбыть развернут в прямоугольник (рис. 4.18), то расчет ведется следующим образом. Сечение разбивается на n частей, каждая из которых воспринимает моментM кi . При этомn1siti3 ; W31siti2 ,3i= 1а угол поворота всего сечения и отдельных его частей одинаковый:J ê = ∑ J êi ; Jêi =êi=(4.33)M ê l M ê 1lM ên l.(4.34)== ...=G JêG Jê 1G JênИз соотношений (4.34) следует, что крутящий момент распределяется в отдельных частях сечения пропорционально их моментам инерции:J êi . Максимальные касательные напряжения в i-ой части профиляÌ êi = Ì êϕ =Jêравны:τ im ax =MWêiêi=M ê J êi M ê .ti =J ê W êiJê(4.35)Наибольшего значения касательные напряжения в сечении достигают научастке максимальной толщины:τ m ax =M êtm ax .Jê(4.36)Данный метод является приближенным, т.к.
не учитывает повышенные местные напряжения (концентрацию напряжений) во внутренних углах ломаногопрофиля.4.9. Расчет витых цилиндрических пружин с малым шагомПружины широко применяются в технике в качестве упругих элементов. Вчастности, в механизмах, работающих в условиях динамической нагрузки, применяются пружины как амортизаторы, т.е. детали, способные получить значительную упругую деформацию. На практике наиболее распространены цилиндрические пружины, испытывающие действие растягивающих или сжимающихсил (пружины растяжения-сжатия).
Обычно пружины изготавливаются из стальной проволоки круглого поперечного сечения. Материал для пружин - качественная пружинно-рессорная сталь с высокими механическими характеристиками67(σσп = 800÷1000 МПа; σт = 950÷1600 МПа; σB = 1500÷1750 МПа; τT = 600÷1000МПа; τB=850÷1400 МПа).Витая пружина представляет собой пространственный брус, в поперечныхсечениях которого при нагружении возникают все внутренние силовые факторы.Для пружины с малым шагом вследствие малого угла подъема витка можно пренебречь влиянием изгибающего момента и нормальной силы. Поэтому для такихпружин растяжения или сжатия основными внутренними силовыми факторамиявляются крутящий момент M к и перерезывающая сила Q, определяемые действием в поперечных сечениях касательных напряжений τ.Основными параметрами цилиндрическойпружиныявляются(рис.4.19,а):D - средний диаметр витка; d - диаметр сечения проволоки; t - шагвитка; n - число рабочих витков.Для отдельного витка можноввести угол подъема α (рис.
4.19,б),где tgα=t/ππD. Для пружины с малымшагомобычноα ≤ 5°°. Применяя метод сечений ирассматривая равновесие отсеченнойРис. 4.19части пружины (рис. 4.19,в), можноопределить Q и M к для любого поперечного сечения:Q ≈ P;M1к = 2 P⋅⋅D.(4.37)Рассматривая касательные напряжения от деформаций кручения и среза(последние условно считаем равномерно распределенными в сечении), для максимальных касательных напряжений получим:Mτ m ax =Wêpπd3πd2Q+ , где W p =; F=.F164С учётом (4.35) расчётная формула для касательных напряжений примет вид:τ m ax=8PDπd 3(1 +d).2D(4.38)Для пружины из тонкой проволоки (d/D < 0,1) можно пренебречь напряжениями от среза.
Тогда с достаточной точностью в расчёте можно определять касательные напряжения только от кручения:τ m ax =8P Dπd 3.(4.39)В то же время для силовых пружин, изготовленных из толстой проволоки(например, винтовых рессор), следует пользоваться формулой (4.38), а анализдействующих напряжений от кручения и среза показывает, что наибольшие касательные напряжения всегда возникают на внутренней стороне витка.68Под действием осевой нагрузки пружина деформируется, и происходит изменение её длины ∆L по оси.
Изменение длины пружины при действии сжимающей силы называется осадкой пружины (λλ=∆∆L). При определении осевогоперемещения (λλ) пружины можно воспользоваться законом сохранения энергии.12Работа внешних сил A= Pλλ (коэффициент 1/2 отражает статический характернагружения) идет на создание внутренней энергии деформации Uкр упругойпружины. Рассматривая энергию деформации как работу внутренних сил (Mк) наугловых перемещениях (ϕϕ) для элемента бруса получим (с учетом формулы(4.8)):dU êð1= M22M ê dz.ê ⋅ dϕ =2G JpДля всего бруса (пружины), т.к.U êð = ∫ dU êðlMк = const, GJp = const, получим:Ì ê2l=.2G JpПринимая l≈≈πDn, Jp=ππD4/32, в итоге определяем перемещение λ из условияA=Uкр:8PD 3n.∆L = λ =G d4(4.40)Нетрудно получить расчетные формулы для τmax и ∆L=λλ для пружины изпроволоки некруглого сечения, используя соответствующие выражения для геометрических характеристик Jк и Wк.Обычно при определении перемещений по формуле (4.40) под n понимаетсярабочее число витков.
Так, для пружины растяжения не учитывается отогнутаячасть концевых витков, для пружины сжатия исключается по 3/4 витка с каждоготорца, т.е. nраб ≈ n - 1,5 (за счет шлифовки или поджатия концевых витков).Характеристикой пружины растяжения-сжатия называется зависимостьP(λλ) между нагрузкой и перемещением, которая в области упругих деформацийматериала является линейной. Параметрc=PG d4.=λ 8D 3n(4.41)называется жёсткостью пружины.695. Геометрические характеристики сеченийПри определении напряжений и перемещений используются различные геометрические характеристики поперечных сечений бруса.Например, при растяжении - площадь сечения F, при кручении - момент инерции Jp (Jk).
В настоящем разделе обобщим понятия геометрических характеристик сечений бруса.Геометрические характеристики сечений, представляющие интегралы вида ∫ f(x,y)dF (рис. 5.1,а), приведены в табл. 5.1.FГеометрические характеристики сечений Таблица 5.1Названиеf(x,y) ∫ f ( x, y )dFF1F = ∫ dFySx = ∫ y dFxSy = ∫ x dFy2Jx = ∫ y 2dF2Jy = ∫ x 2dFxПлощадь сеченияFFFFFJxy = ∫ xy dFxyFρ=Jp = ∫ ρ 2dF22=x +yF2Статический моментсечения относительнооси xСтатический моментсечения относительнооси yМомент инерциисечения относительнооси xМомент инерциисечения относительнооси yЦентробежный моментинерции сеченияПолярный моментинерции сеченияРазмер- Интерность вал значенийcм2F> 03cмSx ≥ 0Sx ≤ 0cм3Sy ≥ 0Sy ≤ 0cм4Jx> 0cм4Jy> 0cм4Jxy ≥ 0Jxy ≤ 0cм4Jp> 0При определении геометрических характеристик сложного (составного) сечения используется свойство определенного интеграла:интеграл по всей площади сечения равен сумме интегралов по частям,на которые разбито это сечение:∫Fnf(x,y)dF = ∑ ∫ f(x,y)dF ,i =1 Fiгде n - число частей сечения.5.1.
Статистические моменты сеченияСтатические моменты сечения Sx и Sy используются главным образом для определения положения центра площади сечения и центральных осей.Рассмотрим изменение статических моментов при параллельномпереносе осей (рис. 5.1,б). Считая известными F, Sx и Sy в системе координат 0XY определим статические моменты Sx1, Sy1 относительноновых осей x1, y1.Учитывая соотношения x1 = x - a, y1 = y - b, получим:Sx1 = ∫ y1dF = ∫ ( y − b )dF ; Sy1 = ∫ x1dF = ∫ ( x − a )dF илиFFFFSx1 = Sx - bF ; Sy1 = Sy - aF.(5.1)Оси x1, y1 можно выбрать таким образом, чтобы выполнялись условия: Sx1 = 0, Sy1 = 0.Оси, относительно которых статические моменты сечения равнынулю, называются центральными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
