sopromat.Скопинский, Захаров (968719), страница 9
Текст из файла (страница 9)
рис.3.9). Предположим, чтостержень нагрет на ∆T°C и выполнен короче своей номинальной длины на ∆0 (рис. 3.10). При нагреве стержень получил бы удлинение∆T=αT∆T.3l при отсутствии правой заделки. Если ∆0 ≥ ∆T, то усилия инапряжения в стержне не возникают. Если же ∆0 < ∆T, то в заделкахвозникают реакции RA и RD, которые не могут быть определены изодного уравнения статики:RD – RA = 0; RD= RA.(3.32)Отметим, что возникающие реакции самоуравновешены.Удалим правую заделку и вместо неё в сечении А приложим неизвестную реакцию X1 = RA. Учитывая, что изменение длины стержня(или перемещение сечения А) равно ∆0, запишем:∆l1 + ∆l2 = ∆0.(3.33)Нормальные силы на участках стержня равны:N1 = N2 = - X1.(3.34)Используя первую формулу (3.19) для определения ∆li и значенияNi , уравнение (3.33) запишем в виде:(− X1 lEF+ α T ∆Tl) + (− X 1 2lEF+ α T ∆T2l) = ∆ 0 .(3.35)Решая это уравнение, получим:X1 =EF2l( ∆ Τ − ∆ 0 ) ; ∆0 ≤ ∆T,(3.36)где ∆T = 3αT∆Tl - температурное удлинение стержня.49Если ∆T = ∆0, то X1 = 0.
На рис. 3.10 представлены эпюры N, σ иw. Эпюра w построена от сечения D (wD = 0). При этом получим:w B = ∆l 2 =− X 1 2lE2F+ α T ∆T2l ;w A = w B + ∆l 1 = w B+− X1 lEF+ α T ∆T l .С учетом формулы(3.36) получим:wВ = (∆О + αT∆T l)/2 ; wA = ∆0.Последнее равенство является проверкой расчёта. Из этого условия исходили, решая задачу.При одновременном воздействии на стержень нагрузки, температуры и наличии монтажных отклонений в соответствии с принципомсуперпозиции усилия, напряжения и перемещения, полученные присоответствующем расчете стержня (см. рис. 3.9) и (см. рис. 3.10),суммируются.504.
КручениеКручение является распространённым видом деформации дляэлементов машиностроительных конструкций (валы, витки пружин ит.д.). При кручении материал находится в условиях чистого сдвига,что приводит к определённым особенностям как в распределении напряжений, так и в характере разрушения материала.4.1. Чистый сдвигОпытно можно установить, что при кручении тонкостенной трубы для элементов стенки, выделенных продольными и поперечнымисечениями, происходит только искажение формы, а размеры остаютсянеизменными (рис. 4.1,а - элемент ABCD).
Это объясняется действиемна гранях элемента только касательных напряжений τ (рис. 4.1,б).Рис. 4.1Рис. 4.2Напряжённое состояние, при котором на гранях элемента действуют только касательные напряжения, называется чистым сдвигом.Угловая деформация элемента γ (деформация сдвига) равна углуповорота образующих цилиндрической поверхности трубы (см. рис.4.1,а).НапряженияНапряжения при чистом сдвиге изменяются в зависимости от положения рассматриваемой площадки. Из исходного элемента толщиной h, на гранях которого действуют только касательные напряженияτ (рис. 4.2,а), наклонным сечением под углом α выделим элементарную трехгранную призму АВС (рис. 4.2,б; для простоты показантолько вид в плане).
В таком сечении возникает полное напряжение,которое можно представить в виде составляющих - нормального σα икасательного τα напряжений. Составим уравнения равновесия выде51ленного элемента, проектируя действующие силы на нормальное ( n )и тангенциальное ( t ) направления:∑ Fn = 0; σα⋅AB⋅h - τ⋅BC⋅h ⋅cosα - τ⋅AC⋅h⋅sinα = 0;∑ Ft = 0; τα⋅AB⋅h + τ⋅BC⋅h ⋅sinα - τ⋅AC⋅h⋅cosα = 0 .(4.1)Используя очевидные соотношения BC=AB⋅sinα, AC=AB⋅cosα,после преобразований из уравнений (4.1) получаем зависимости:σα = τ⋅sin2α, τα = τ⋅cos2α .(4.2)В исходных площадках α = 0 и α = 90°° получается: σα = 0, τα = ±τ.Нормальные напряжения максимальны при sin2α = ±1, т.е. при α = ±45°°. В этих сечениях σα = ±τ, τα = 0, т.е.
на гранях элемента, выделенного сечениями под углом 45°° к исходным площадкам, действуюттолько нормальные напряжения, причем на одной паре граней - растягивающие, на другой - сжимающие (рис. 4.3). Это эквивалентное определение чистого сдвига.Рис. 4.3Рис. 4.4ДеформацияПри отсутствии нормальных напряжений на гранях элемента(рис. 4.4,а) не происходит изменения длины ребер. В то же времяпроисходит удлинение диагонали АС и укорочение диагонали BDвследствие действия в этих направлениях растягивающих и сжимающих нормальных напряжений. В результате квадрат ABCD превращается в ромб A1B1C1D1, т. е. происходит искажение только формы элемента. Угол сдвига как изменение элементарного прямого угла γ =∠B1A1K (см. рис. 4.4,а) может быть получен при наложении исходнойформы элемента на деформированную (A1K ⊥ A1D1).
Наиболее простодеформацию сдвига γ можно представить при условно неподвижнойодной из граней элемента (рис. 4.4,б).52Закон Гука при сдвигеКасательные напряжения τ и угловая деформация γ связаны законом Гука при сдвиге:τ = Gγγ,(4.3)где G - модуль упругости второго рода или модуль сдвига.
Модульсдвига является характеристикой материала. Для изотропного материала модуль сдвига связан с модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона µ определенной зависимостью:G =E.2(1 + µ )(4.4)Диаграмма сдвигаВ результате испытания на кручение образцов из различных материалов в условиях чистого сдвига может быть построена диаграммасдвига τ=f(γγ).
Обычно проводятся испытания на кручение образцовцилиндрической или трубчатой формы. Для пластичных материаловдиаграммы сдвига показаны на рис. 4.5а,б, где приведены и характеристики прочности материала при сдвиге - предел пропорциональности τnц, предел текучести τТ, условный предел прочности τВ. Чащевсего диаграмма сдвига не имеет площадки текучести (рис. 4.5,б); вэтом случае определяется условный предел текучести τ0,3 - напряжение, при котором остаточная деформация сдвига равна 0,3%.
Однакотеория пластичности позволяет построить диаграмму сдвига и непосредственно из диаграммы растяжения. Поэтому прочностные характеристики при сдвиге для пластичных материалов выражаются черезпрочностные характеристики при растяжении, например τТ ≈ 0,6 σT.Для хрупких материалов обычно σвр < τВ < σвс, например для чугунаσвс. Диаграмма сдвига для хрупкого материала показанаτВ = (0,3 ÷ 0,4)σна рис. 4.5,в.Рис. 4.5534.2.
Кручение бруса круглого сеченияКручение бруса вызывается действием моментов (пар сил) относительно оси бруса (рис. 4.6,а). На расчётных схемах крутящиймомент, действующий в плоскости, перпендикулярной оси бруса,схематично изображается парой сил, как показано на рис 4.6,б. Брус,работающий на кручение, часто называют валом.Рис.
4.6При кручении в поперечных сечениях бруса возникает толькокрутящий момент M к (рис. 4.6,в), который определяется по методусечений. При построении эпюр M к обычно пользуются условнымправилом знаков: положительный момент M к направлен против хода часовой стрелки при взгляде на сечение со стороны внешней нормали n (рис. 4.6,г).4.2.1. Основные зависимостиВ теории кручения бруса круглого сечения используются геометрическая и статическая гипотезы:1) гипотеза плоских сечений - поперечные сечения, плоские додеформации, остаются плоскими и после деформации; при этом радиусы сечений поворачиваются на некоторый угол, оставаясь прямолинейными;2) статическая гипотеза - в поперечных сечениях бруса возникают только касательные напряжения.Для получения расчётных зависимостей рассмотрим элементарный объём длиной dz, выделенный из бруса поперечными сечениямии цилиндрической поверхностью радиуса ρ (рис.
4.7,а). При кручениибруса поперечные сечения поворачиваются относительно оси - получают угловые перемещения ϕ. Рассматривая геометрическую картинудеформации выделенного объёма бруса, можно представить её какϕвзаимный поворот правого сечения относительно левого на угол dϕ(рис. 4.7,б). При этом образующие поверхности поворачиваются наугол γ (деформация сдвига). Отрезок BB1 можно представить двояко:54из ∆ABB1 → BB1 = AB⋅tgγγ ≈ γ⋅dz; из ∆ОBB1 → BB1 = OB⋅dϕϕ ≈ ρ⋅dϕϕ.ϕ, получим зависимость:Приравняв полученные соотношения γdz = ρdϕγ=ρρ⋅ϕϕ′, ϕ'==dϕ.dz(4.5)Рис. 4.7Параметр ϕ′ называется относительным углом закручивания иопределяется как отношение взаимного угла поворота двух сечений красстоянию между ними.Крутящий момент M к в поперечном сечении бруса является статическим эквивалентом действующих в этом сечении касательныхнапряжений (рис.
4.7,в). На каждой элементарной площадке dF касательное напряжение τ перпендикулярно текущему радиусу ρ. Поэтому возникающий элементарный момент равен d M к =ττ⋅dF⋅⋅ρ, а длявсего сечения получим:Ìê=∫ τρdF .(4.6)FПодставляя в закон Гука (4.3) соотношение (4.5)τ = Gγγ = Gρρϕ′,а полученное выражение - в зависимость (4.6), получим:Ìê= ∫ G ρ 2ϕ ′dF = G ϕ ′ ∫ ρ 2dF =FFϕ ′G Jp ;(4.7)Jp = ∫ ρ 2 dF ,Fгде Jp - полярный момент инерции сечения; GJp - жёсткость бруса накручение. Отсюда получается расчётная формула для относительногоугла закручивания в сечении бруса:ϕ′ =M êdϕ.=dz G Jp(4.8)НапряженияПодставляя зависимость (4.8) в (4.7), получаем расчетную формулу для касательных напряжений в произвольной точке сечения:55τ=M ê .ρJp(4.9)На рис.
4.8 показаны эпюры касательных напряжений τ(ρρ) длясплошного (а) и кольцевого (б) сечений: согласно формуле (4.9) напряжения распределяются вдоль радиуса по линейному закону и достигают максимального значения в точках при ρmax = D/2, наиболееудалённых от центра сечения.Для вычисления максимальных касательных напряжений в сечениивводится характеристика сеченияWp - полярный момент сопротивления:W p =Jpρ m ax.(4.10)Тогда максимальные напряжения всечении определяются по формуле(4.11)τ m ax = M ê .Рис.
4.8W pПеремещенияУгловое перемещение или угол поворота ϕz произвольного сечения z определяется интегрированием выражения (4.8):M dz(4.12)ϕ z = ϕ 0 + ∫ ê = ϕ 0 + ∆ϕ ,G Jpгде ϕ0 - угол поворота сечения, совпадающего с началом координат(z=0); ∆ϕ - угол закручивания участка длиной z.Если для участка бруса выполняются условия M к = const, GJp = const,тоM z(4.13)ϕ z = ϕ o + ê или ϕz = ϕ0 + ϕ′z; ϕ′ = const .G JpФормула (4.13) может быть представлена и в другой форме,удобной для практических расчётов и построения эпюр угловповорота:ϕ ê = ϕ í + ∆ϕ i ;∆ϕ i =M êili,G Jpi(4.14)где ϕн - угол поворота начального сечения участка; ϕк - угол поворотаконечного сечения участка; ∆ϕi - угол закручивания i-го участка длиной li.56В частности, для консольного бруса (см. рис.
4.7,а) угол поворотаконцевого сечения определяется по формуле (4.14) при ϕн=0:ϕ m ax =M êl.G Jp(4.15)В общем случае, когда крутящий момент или диаметр поперечного сечения (или обе эти величины) изменяются непрерывно по длиневала, угол поворота сечения вала вычисляется по формулеnM (z)dzϕ z = ϕ î + ∑ ∆ϕ i ; ∆ϕ i = ∫ l êi,(4.16)i G Jpi(z)i= 1где n - число участков от начала координат до рассматриваемого сечения.Если крутящий момент M кi и жесткость Gjpi постоянны в пределах каждого участка, то формула (4.12) принимает вид:nM ê ili.GJipi= 1ϕz = ϕo + ∑(4.17)Все приведенные формулы дают значения угла поворота ϕ в радианах.Если вычисляется угол закручивания вала (взаимный угол поворота концевых сечений вала), то используется формула (4.17) или(4.16), принимая ϕо=0.Практически для построения эпюры углов поворота ϕ(z) вала чаще всего используются зависимости (4.13), (4.14).4.2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
