sopromat.Скопинский, Захаров (968719), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Точка пересечения центральныхосей называется центром площади сечения.Принимая Sx1 = 0, Sy1 = 0, из выражений (5.1) координаты центраплощади сечения относительно вспомогательных осей x, y определяются по формулам (обозначим xс = а, yc =b):SS(5.2)xc = y ; y c = x .FFСоответственно, если площадь F и положение центра площадисечения (координаты xс, yc) в системе координат 0ху известны, то статические моменты сечения относительно осей x, y можно определитьиз выражений (5.2):Sx = F yc ; Sy = F xс.(5.3)Можно показать, что статистический момент относительно любой оси, проходящей через центр площади сечения, равен нулю.При определении центра площади сложного сечения применяетсяследующая процедура:1) сечение разбивается на n частей, площади (Fi) и положениецентров (Ci) площади которых известны;2) задается вспомогательная система координат, в которой определяются координаты центров площадей (xci, yci) этих частей;3) вычисляются координаты составного сечения по формулам:nn∑ Fi y ci∑ Fi x cixc = i =1F;y c = i =1F;nF = ∑ Fi .i =1(5.4)5.2.
Моменты инерции сеченияВ табл. 5.2 приведены часто используемые формулы для моментов инерции сечений простой формы, которые получены непосредственно интегрированием (для прямоугольника приведен также и момент инерции при кручении Jk).Моменты инерции типовых сеченийВид сеченияπD 464Таблица 5.2JxJyJp (Jк )в h3hв 3βhв 31212≈ 0,05D 4πD 464≈ 0,05D 4πD 432≈ 01, D4π D 4 (1 − α 4 ) ≈π D 4 (1 − α 4 ) ≈π D 4 (1 − α 4 ) ≈≈ 0,05D 4 (1 − α 4 )≈ 0,05D 4 (1 − α 4 )≈ 01, D 4 (1 − α 4 )вh3__________64643236Например, для прямоугольника (рис. 5.2)момент инерции относительно центральной оси хопределяется следующим образом :h2by 3J x = ∫ y dF = ∫ y bdy =3hF2−Рис.
5.222h2h−2bh3.или J x =12hb3Аналогично получим: J y =.12Отметим, что для круга и кольца Jx = Jy = 0,5Jp. Это следует изтого, что ρ2 = x2 + y2 (см. рис.5.1,а), следовательно, Jp = Jх + Jy.Рассмотрим изменение моментов инерции сечения при изменении системы координат - при параллельном переносе и повороте осей.При параллельном переносе осей, например, момент инерции Jх1изменяется следующим образом (x1 = x - a, y1 = y - b, см. рис. 5.1,б):J x1 = ∫ ( y − b )2 dF = ∫ y 2 dF - 2b ∫ ydF + b2 ∫ dF = Jх - 2bSx + b2F.FFFFВыполнив аналогичные преобразования и для других моментовинерции, получим:Jх1 = Jх - 2bSx + b2F; Jy1 = Jy - 2aSy + a2F;(5.5)Jх1y1 = Jхy - aSx - bSy + abF.Если оси x и y - центральные, то Sx = 0, Sy = 0, и тогда формулы(5.5) упрощаются:Jх1 = Jх + b2F; Jy1 = Jy + a2F; Jх1y1 = Jхy + abF.(5.6)Из формул (5.6) следует, что при переходе от центральных осей кнецентральным осевой момент инерции всегда увеличивается.При повороте осей, учитывая, что x1=xсosα+ysinα, y1=ycosαxsinα (рис.
5.1,в), моменты инерции изменяются следующим образом:Jx1 = Jx cos2α + Jy sin2α - Jxy sin2α;Jy1 = Jx sin2α + Jy cos2α + Jxy sin2α;(5.7)Jx1y1 =1(Jx - Jy) sin2α + Jxy cos2α.2Вторая формула может быть получена из первой при измененииугла α на 90°. Складывая первые две формулы, находим:Jx1 + Jy1 = Jх + Jy = Jp.(5.8)Это свойство инвариантности суммы осевых моментов инерции при повороте осей: сумма осевых моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции.Найдем положение осей, относительно которых осевые моментыинерции Jx1 и Jy1 принимают экстремальные значения.Для этого используем условие dJx1/dα = 0.
После преобразованийполучим:2J x y.(5.9)tg 2α 0 =Jy − JxТакой же результат получается из третьей формулы (5.7) при Jx1y1 = 0.Оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения (один - max, другой - min), ацентробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции (оси x0, y0 на рис. 5.1,г). Соответственно моментыинерции относительно этих осей называются главными моментамиинерции (Jmax, Jmin). Иногда главным осям присваивают индексы «1»и «2». Соответственно главные моменты инерции обозначаются J1 иJ2.
Обычно считается, что J1 = Jmax, J2 = Jmin. На рис. 5.1,г принято,что Jx0 = Jmax и ось x0 обозначается цифрой 1.Ось симметрии сечения и любая ей перпендикулярная ось являются главными осями инерции сечения. На рис. 5.1,д показаны знакиJxy симметричных частей сечения. С учетом этого получается, чтоцентробежный момент инерции всего сечения равен нулю.Подробнее остановимся на определении главных моментов инерции. Если из формулы (5.9) определен угол α0, то из первых двухформул (5.7) при α = α0 находятся значения главных моментов инерции:Jx0 = Jx сos2α0 + Jy sin2α0 - Jxy sin2α0 ;Jy0 = Jx sin2α0 + Jy cos2α0 + Jxy sin2α0 .(5.10)Ясно, что если Jx0 > Jy0 , то Jx0 = Jmax, а Jy0 = Jmin, и наоборот.Получим формулы для главных моментов инерции, не содержащие тригонометрических функции. Для этого запишем сумму и разность выражений (5.10):Jx0 + Jy0 = Jx + Jy;Jx0 - Jy0 = (Jx - Jy) cos2α0 - 2Jxy sin2α0 = (Jx - Jy) / cos2α0 .(5.11)Во второй формуле использовалась замена 2Jxy = - (Jx-Jy)/tg2α0 из выражения(5.9).Теперь из формул (5.11) получим:Jx0 =12(( Jx + Jy)+(Jx - Jy)/cos2α0 ; Jy0 =1(( Jx + Jy) - (Jx - Jy)/cos2α0).2(5.12)Очевидно, что если Jx > Jy, то Jx0 > Jy0.Используя зависимость 1/cos214Jxy= ± 1+=±21 + tg 2a0222(Jx − J y )cos2a00=±2(Jx − J y ) + 4Jxy(Jx − J y )и формулу (5.9), запишем:.В результате получим:1(( Jx + Jy)21Jy0 = (( Jx + Jy)2Jx0 =± ( Jx − Jy )22+ 4J xy );# ( Jx − Jy )22+ 4J xy ).(5.13)Верхние знаки берутся при Jx > Jy, а нижние - при Jx < Jy.Часто формулы (5.13) объединяют в одну:J1,2 = Jm ax =m inJx + J y2± (Jx − J y 22) + J xy .2(5.14)При этом нужно дополнительно определить соответствие осей x0,y0 и осей 1, 2.Если главные моменты инерции известны, то моменты инерцииотносительно произвольных осей (рис.
5.1,е) могут быть получены изформул (5.7) с учетом того, что Jx0y0 =0:Jx = Jx0 cos2α + Jy0 sin2α;Jy = Jx0 sin2α + Jy0 cos2α;(5.15)Jxy = 0,5(Jx0 - Jy0) sin2α .В частности, из третьей формулы следует, что максимальное значение центробежный момент сечения принимает относительно осей,повернутых на угол α = 45° к главным осям. При Jx0 = J1 = Jmax, Jy0 =J2 = Jmin получим:J1 − J2maxJ xy=.(5.16)2В расчетных зависимостях для бруса используются характеристики сечений относительно главных центральных осей инерции. Дляопределения положения этих осей требуется:1) определить координаты центра площади сечения;2) определить осевые Jx, Jy и центробежный Jxy моменты инерцииотносительно центральных осей x, y, параллельных вспомогательным;3) определить положение главных осей (угол α0) и главные моменты инерции (Jmax, Jmin) по формулам (5.9), (5.14).5.3.
Радиусы инерции сеченияМоменты инерции сечения относительно осей х и у можно представить как произведения площади F сечения на квадрат некоторойвеличины, называемой радиусом инерции:Jx = F ix2, Jy = F iy2,(5.17)где ix , iy - радиусы инерции площади сечения относительно осей х иу.Из выражений (5.17) следует, что:ix =JxF;iy =JyF.(5.18)Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции сечения:6. ИзгибИзгиб бруса вызывается действием поперечной нагрузки (рис.6.1,а). Прямым изгибом называется нагружение бруса, при которомплоскость действующей нагрузки проходит через ось бруса и совпадает с одной из главных плоскостей инерции бруса (плоскость расположения главных осей инерции поперечных сечений бруса).
Частнымслучаем прямого изгиба является плоский изгиб бруса, при которомнагружение происходит в плоскости симметрии бруса.Брус, работающий на изгиб, обычно называют балкой.В поперечных сечениях бруса при прямом изгибе возникаютвнутренние силовые факторы - изгибающий момент M и поперечнаясила Q, которые определяются по методу сечений. Для них используется правило знаков, показанное на рис. 6.1,б. Положительная поперечная сила вызывает поворот рассматриваемой части бруса по ходу часовой стрелки; положительный изгибающий момент вызываетсжатие верхних волокон бруса (для горизонтально расположенногоучастка бруса).
(Для произвольного положения бруса при построенииэпюр обычно положительный момент откладывается со стороны сжатых волокон.)Рис. 6.1Различают чистый и поперечный изгиб. При чистом изгибе в поперечных сечениях бруса возникает только изгибающий момент, припоперечном изгибе - изгибающий момент и поперечная сила.6.1. Дифференциальные и интегральные зависимостипри изгибеДля внутренних силовых факторов при изгибе балки существуютопределенные зависимости. Рассмотрим произвольно нагруженнуюбалку (рис. 6.2,а), где положительное направление нагрузки q(z) совпадает с направлением оси у.
Для элементарного участка dz балки впределах действия только нагрузки q учтём возникающие в сеченияхвнутренние силовые факторы (рис. 6.2,б). В пределах малого участкаdz нагрузку q можно считать равномерно распределенной, M и Qприложены в положительном направлении с учётом их изменения подлине.Рис. 6.2Уравнения равновесия выделенной части балки имеют вид (дляуравнения моментов поперечная ось x рассматривается для правогосечения):∑ Fy = 0; Q + q⋅⋅dz - (Q+dQ) = 0;dz∑ mx = 0; - M - Q⋅⋅dz - q ⋅ dz⋅+ ( M +d M ) = 0.2Отбрасывая во втором уравнении члены второго порядка малости, получаем дифференциальные зависимости при изгибе:dQdMd2M= q;=Q=q⇒(6.1)dzdzdz2(третье соотношение получено на основе первых двух).Из соотношений (6.1) путем интегрирования можно получитьинтегральные зависимости при изгибе:Q(z)= ∫ q(z)dz+Q0;zM (z) = ∫ Q (z)dz+ M 0,(6.2)zгде Q0, M 0 - значения поперечной силы и изгибающего момента вначальном сечении участка.На основе зависимостей (6.1), (6.2) и способов исследованияфункций в математическом анализе следуют выводы о характерефункций Q(z) и M (z), которые можно рассматривать как правилаконтроля и построения эпюр Q и M .1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
