sopromat.Скопинский, Захаров (968719), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Геометрические характеристики кругкого сеченияРасчётную формулу полярного момента инерции удобно полуρ, ϕ), в которой элемент площачить в полярной системе координат (ρρdρρdϕϕ (на рис. 4.9 для общноди равен dF=ρсти рассматривается кольцевое сечение).Тогда2 π D /2J p = ∫ ρ 2 dF = ∫FРис. 4.93∫ ρ dρ dϕ=0 d /2d4 πD4πD 4== −2 1616 324 d 1 − D В итоге для кольцевого и сплошного круглого (d=0) сечений получим расчётные формулы:Jp =πD 4dπD 4(1 − α4)≈ 01, D 4(1 − α4 ); α = ; и Jp =≈ 0,1D 4 ,32D32(4.18)57где α = d/D - коэффициент полости кольцевого сечения.α≠0)Для полярного момента сопротивления кольцевого сечения (αα=0) в соответствии с формулой (4.15)и сплошного круглого сечения (αрасчётные формулы примут вид:Wp=πD 3(1 − α 4 ) ≈ 0,2D 3 (1 − α 4 ) и W16p=πD 3≈ 0,2D 3 .
(4.19)164.3. Сравнительный анализ полых и сплошных валовИз распределения касательных напряжений (4.9) в сечении ясно,что материал внутренней части вала загружен в меньшей степени, чемпериферийный. Наиболее предпочтительным с точки зрения использования материала является его равномерное нагружение напряжениями, что в наибольшей степени реализуется для кольцевого сеченияс большим значением α. Поэтому на практике более рациональнымявляется применение полых валов, что обеспечивает малую их материалоёмкость. Например, сравним по массе равнопрочные сплошнойи полый валы, нагруженные одинаковыми моментами (рис.
4.10).))сУсловие равнопрочности τ (mñax= τ (mïaxучетом формулы (4.11) приводит к соотношениямW p(ñ) = W p(ï)илиD ñ = D 3 1− α4 ,α=d/D. Отношение масс валов из одинакового материала равно отношению площадей поперечных сечений:m c FcπD 2c /4===m ï Fï πD 2 (1 − α 2 )/43(1 + α 2 )21− α2.Рис. 4.10Таблица 4.1α=d/D0Fc/Fп1С увеличением коэффици0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 ента полости α растёт и весовая эффективность примене1,01 1,09 1,28 1,63 2,58 ния полых валов (табл.
4.1).4.4. Расчет валов на прочность и жесткостьДля обеспечения работоспособности валы должны удовлетворятьусловиям прочности и жесткости. При расчёте на прочностьограничиваются напряжения в сечениях вала от действующих нагрузок. Для обеспечения необходимой жёсткости вала ограничиваютсяугловые перемещения отдельных сечений (в местах расположения со58пряженных деталей шкивов, зубчатых колёс и др.). Как правило, ограничения накладываются на относительные углы закручивания.При расчете валов на кручение часто нагрузку (внешниемоменты) определяют исходя из передаваемой мощности N (кВт) искорости вращения вала n (об/мин):Ì = 9550Nn/Í ⋅ ì /.(4.20)На практике применяются валы гладкие (постоянного сечения) иступенчатые. В случае ступенчатого вала необходимо получить расчётные напряжения и относительные углы закручивания на каждомучастке постоянного сечения, т.е.
построить соответствующие эпюрыдля вала.Для вала при заданной нагрузке можно построить эпюру крутящих моментов. На каждом участке вала могут быть определены максимальные касательные напряжения и относительные углы закручивания по формулам (4.11) и (4.8), а для вала в целом можно построитьэпюру углов закручивания с использованием зависимости (4.13) или(4.14).При расчёте вала на прочность определяются наибольшие значения касательных напряжений τmax для вала (индекс стоит внизу, вотличие от максимальных напряжений в сечении τmax !).Условие прочности вала из пластичного материала имеет вид:M êτmax ≤ [ττ] или(4.21)≤ [τ ],W p[τ ] =τâτòили [τ ] =,nânòгде [τ] - допускаемые напряжения вала при кручении; nT, nВ коэффициенты запаса по текучести и по прочности; M к - значениекрутящего момента в опасном сечении (где возникают τmax).Для вала из хрупкого материала может использоваться условиепрочности исходя из максимальных нормальных растягивающих напряжений:σ âðM êσmax ≤ [σσ]p, σmax = τmax или,(4.22)≤ [σ ]p , [σ ]p =nâWpгде σвр - предел прочности материала на растяжение.Величина допускаемых напряжений при кручении зависит отразличных факторов, в том числе и от материала вала.
Чаще всего для÷0,6)[σσ]p, для хрупкихпластичных материалов принимается [τ]=(0,5÷59материалов - [τ] = (0,8÷1,0)[[σ]p. Значения nв для валов из хрупкогоматериала принимаются в 1,5-2 раза больше, чем nт для валов из пластичного материала.Следует отметить, что в большинстве практических случаев нагрузки, действующие на вал, вызывают деформации изгиба и кручения. Поэтому на первом этапе расчёта вала только на кручение в условии прочности используются заниженные значения допускаемыхнапряжений или завышенные значения коэффициентов запаса.Для изготовления валов применяются различные материалы: углеродистые стали марок 20, 30, 40, 45, 50, легированные стали марок20Х, 40Х, 30ХМ, 40ХН и др., титановые сплавы (ВТ5, ВТ6, ВТ20), внекоторых конструкциях - алюминиевые сплавы (Д16, Д6 и др.).При проведении проектировочного расчета вала определяютсяразмеры поперечных сечений вала или значение максимально допустимой нагрузки на вал.
При определении требуемых размеров сечениявала из условия прочности (4.21) получаем:M ê16 M êоткуда D ≥ 3.(4.23)[τ ]π (1 − α 4 )[τ ]При определении допускаемой нагрузки (допускаемого внешнегомомента) из формулы (4.20) получим неравенство такого вида:M к ≤ Wp[τ],(4.24)где в M к входит неизвестная величина нагрузки.Расчет вала на жесткость обычно проводится исходя из наибольшего относительного угла закручивания ϕ/max, и условие жесткости вала имеет вид:M ê≤ [ϕ / ],ϕ/max ≤ [ϕϕ/] или(4.25)G Jpϕ/] - допускаемый относительный угол закручивания для вала.где [ϕϕ/] можно укаВ качестве наиболее распространенных значений [ϕ÷2,0) град/м. Следует обратить внимание, что в формузать [ϕ/]=(0,25÷ϕ/] подставляется в рад/м.лу (4.25) значение [ϕРасчет вала на жёсткость может быть не только поверочным, но ипроектировочным, т.е.
служить для определения размеров сеченияили допускаемой нагрузки. Так, при расчёте вала на жёсткость можноопределить необходимое значение диаметра из соотношения (4.25) сучётом зависимости (4.18):W p ≥D ≥60432 M ê./4π (1 − α )[ϕ ](4.26)При совместном расчёте вала на прочность и жёсткость дляопределения величины диаметра вала из расчётных значений, полученных по формулам (4.23) и (4.26), выбирается наибольшее, чтобывыполнялись оба условия, т.е. какое-либо из этих условий окажетсяопределяющим.4.5. Характер разрушения валовПри анализе поведения вала вплоть до разрушения следует принимать во внимание напряжённое состояние вала и свойства материала.Материал вала, работающего на кручение, находится в условияхчистого сдвига.
В различных сечениях вала возникают касательные инормальные напряжения. При этом в поперечных и продольных сечениях возникают только касательные напряжения, а в сечениях под углом 45°° к оси - только нормальные напряжения, растягивающие исжимающие (рис. 4.11).Следует учитывать, чтомаксимальные напряжениявозникают в наружных слоях вала, причём максимальные касательные и нормальные напряжения одинаковы по величине: τmax =σmax. Поэтому характерразрушения валов будет заРис. 4.11висеть от материала, т.е. отспособности данного материала сопротивляться действию касательных и нормальных напряжений.Для большинства пластичных материалов σтр ≈ σтс, τт ≈ 0,6 σт ,поэтому наиболее опасными для вала являются касательные напряжения. Диаграммы сдвига для пластичного материала приведены нарис. 4.5,а,б. Для анализа упругопластического деформирования валаможно воспользоваться упрощённой диаграммой сдвига (рис.
4.12,а),состоящей только из линейного участка и площадки текучести (диаграмма Прандтля). До тех пор пока напряжения в материале не превышают предела текучести τт, вал деформируется упруго. Величинакрутящего момента, при котором появляются первые пластическиедеформации на поверхности вала (при условии τmax=ττт), определяетсяиз формулы (4.11): M т=ττтWp (рис. 4.12,б).
При дальнейшем увеличении нагрузки область пластической деформации материала постепен61но будет распространяться внутрь сечения. Согласно принятой диаграмме сдвига в сечении образуется кольцевая пластическая зона (1),где τ = τт, и упругое ядро (2), где τ < τт, (рис. 4.12,в). Когда областьпластической деформации достигнет центра сечения, наступает предельное состояние вала (рис. 4.12,г).Рис. 4.12Предельное значение крутящего момента определяется согласновыражению (4.6), учитывая, что во всех точках сечения τ=ττт:DπD 32Ì ïð = ∫ τòρdF = 2π ∫ τòρ dρ = τòèëè Ì ïð = τò ⋅ W ï , (4.27)12F03πD /12 - пластический момент сопротивления сечения пригде Wп=πкручении.Сравнивая выражения для моментов M т и M пр, видим, что ихотношение составляет M пр / M т = 4/3. Отсюда можно сделать вывод: от начала возникновения пластических деформаций до потеринесущей способности вала крутящий момент увеличивается ∼ на 33%.Это - «запас» несущей способности вала при расчёте по предельномусостоянию по сравнению с расчетом по допускаемым напряжениям(nт=1) за счёт неравномерного распределения касательных напряжений в сечении.Более полное представление об упругопластическом деформировании вала даёт использование схематизации диаграммы сдвига в виде двух прямых линий (рис.
4.13,а) - участка упругой деформации (доτт) и участка линейного упрочнения (до τв). Характерные распределения напряжений в сечении на различных стадиях деформирования вала показаны на рис. 4.13,б,в. Предельное значение крутящего моментабудет больше, чем при использовании диаграммы Прандтля (в зависимости от отношения τв/ττт).62Рис. 4.13Таким образом, разрушение валов из пластичного материалапроисходит по поперечному сечению от действия касательных напряжений; причем разрушению предшествует появление и развитиезначительных пластических деформаций.Для хрупких материалов, как правило, σвр < τв < σвс, поэтомунаиболее опасными являются нормальные растягивающие напряжения.
Например, вал из чугуна разрушается по винтовым линиям подуглом 45°° к оси от действия максимальных растягивающих напряжений (рис. 4.14,a).Рис. 4.14Для анизотропных материалов важно знать направления наименьшего сопротивления их действующим напряжениям. Так, прикручении деревянного бруса трещины появляются на поверхностивдоль образующих (рис. 4.14,б) от действия максимальных касательных напряжений в продольном направлении (по закону парностикасательных напряжений, рис. 4.14,в), т.к. древесина плохо сопротивляется скалыванию вдоль волокон.При конструировании валов из композитных материалов, имеющих волокнистую структуру определенной ориентации, также следует учитывать направления действующих напряжений.
Например,рационально применять композитные валы с ориентацией волокон повинтовым линиям, составляющим угол 45°° с осью.634.6. Статически неопределимые задачи на кручениеСтатически неопределимые задачи на кручение включают в себярасчёты валов, в которых реакции опор (реактивные моменты) ивнутренние силы (внутренние крутящие моменты) не могут быть определены только из уравнений статики. Расчёт таких валов производят, используя условия совместности перемещений дополнительно куравнениям статики.
При наличии абсолютно жёстких связей в отдельных сечениях вала углы поворота этих сечений равны нулю. Приналичии упругих связей (или ограничителей поворота отдельныхсечений) задаются угловые перемещения соответствующих сеченийвала, используя деформационные соотношения. Методику решениятаких задач рассмотрим на примере.Пример 4.1. Построить эпюру крутящих моментов для гладкоговала, жёстко закреплённого в торцевых сечениях и нагруженноговнешним моментом M (рис. 4.15,а).В жёстких опорах вала возникаютреактивные моменты M А и M В(см. рис. 4.15,а), для нахождения которых одного уравнения равновесиянедостаточно:∑ M z = 0; M А - M + M В = 0.Для составления дополнительного уравнения условно перейдём кстатически определимой задаче, отбросив одну из заделок.
Например,отбросим левую опору и введём вкачестве нагрузки неизвестный момент МА (рис. 4.15,б). Для его определения запишем условие отсутствияугла поворота левого сечения,Рис. 4.15используя формулу (4.17):2 MêiliϕА = 0; ϕ À = ϕ o + ∑.i= 1 G Jpiϕо = ϕВ = 0). ТогдаЗа начало отсчёта углов ϕ примем сечение В (ϕдополнительное уравнение примет вид:Ì ê1l1 M ê 2l2+= 0.G Jp1G Jp 264Применяя метод сечений, определяем внутренние крутящиемоменты на участках M к1 = M А, M к2 = M А - M . Учитывая, что l1= l, l2 = 2l, GJp1=GJp2=GJp, получаем:2Ì À ⋅ l (Ì À − Ì )⋅ 2l+=0 è Ì À = Ì .3G JpG JpДальнейший расчёт ведётся как для статически определимого вала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
