sopromat.Скопинский, Захаров (968719), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

рис. 1.11,б).Рис. 1.11Принцип Сен-Венана распространяется и на тела, имеющие области резкого изменениягеометрическойформы. Например, брусс отверстиями, зонойступенчатого изменения сечения (рис. 1.12).Рис. 1.12В приближённых методах расчета, применяемых в сопротивлении материалов, часто используется гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения бруса, плоские до деформации, остаютсяплоскими и после деформации. Эта гипотеза хорошо соблюдается, заисключением зон возмущения, оговариваемых принципом СенВенана.162. Механические свойства материаловДля оценки прочности и жесткости конструкций необходимознать механические свойства используемых материалов, которые определяются при специальных испытаниях образцов. Рассмотрим процессы изучения механических свойств материалов при наиболее простых видах нагружения - растяжении и сжатии.2.1. Напряженно-деформированное состояние образцаНа рис.

2.1,а показана схема нагружения цилиндрического образца, который подвергается растяжению на испытательной машине. Надостаточном удалении от концов образца выделяется его рабочийучасток длиной l. Образец называется нормальным, если l=10d, еслиже l=5d, то коротким. Иногда для испытаний используются образцыпрямоугольного поперечного сечения, выполненные из полосы.На рис. 2.1,б показано нагружение и деформирование рабочейчасти образца. В соответствии с принципом Сен-Венана нагружениерабочей части образца не зависит от особенностей приложения нагрузки, а определяется равнодействующей внешних сил Р. В поперечных сечениях образца на границах рабочей части возникают внутренние силы, интенсивность распределения которых характеризуетсянормальными напряжениями σ. При растяжении рабочая часть образца удлиняется (∆l = l1 - l) в продольном направлении и сужается (∆d =d1 - d) в поперечном направлении.

При этом нанесенные на поверхности образца поперечные параллельные линии не искривляются и остаются параллельными, а расстояния между ними увеличиваются. Этоявляется экспериментальным подтверждением гипотезы плоских сечений (гипотезы Бернулли). Согласно этой гипотезе сечение плоскоедо деформации остается плоским и после деформации.Рассмотрим напряженно-деформированное состояние образцапри его деформировании в упругой области. Линейная деформацияотрезка АВ длиной S (см. рис. 2.1,б) ε = ∆S/S постоянна по сечениюобразца и не зависит от того, в каком месте рабочей части образца выделенэтот отрезок. Отсюда следует, что продольная деформация в любой точкерабочей части образца одинакова и может определяться по формулеε=l.l∆(2.1)В данном случае, продольная деформация ε - это отношение изменения длины участка к его первоначальной длине, т.е.

относительное изменение длины участка.17Рис. 2.1Соответственно, поперечные деформации определяются отношением:∆dε′ =.(2.2)dИз опыта следует, что поперечные и продольные деформациисвязаны соотношением:ε′ = -µµε,(2.3)где µ - коэффициент Пуассона.Коэффициент Пуассона может быть определен с использованиемэкспериментально замеренных поперечных и продольных деформаций:ε′µ =.(2.4)εДля изотропных материалов значения коэффициента Пуассоналежат в пределах 0 < µ < 0,5. Например, для сталей µ = 0,25 ÷ 0,33.Найдем объемную деформацию рабочей части образца:εv =18∆VV=V1 − VV=F1l1Fl− 1,где V = Fl - начальный объем рабочей части образца; F – площадь поперечногосечения образца до нагружения; V1 = F1l1 - объем рабочей части образца последеформирования; F1 - площадь поперечного сечения образца после нагружения.Учитывая соотношения d1 = d + ∆d, l1 = l + ∆l и формулы (2.1) - (2.3), получим:2ε=(d + ∆d)d2⋅l+ ∆l2− 1 = (1 − µε ) (1 + ε ) − 1 .lПренебрегая членами с ε2 и ε3 как величинами более высокого порядка малостипо сравнению с ε, получим следующее выражение:(2.5)εv = (1 - 2µµ) ε .Очевидно, что при растяжении εv > 0 и ε > 0, поэтому µ ≤ 0,5.В соответствии с постоянством деформаций по объему рабочейчасти образца приходим к заключению о неизменности напряженийво всех точках рабочей части.

Такое напряженное состояние стержня(образца) называется однородным (точки стержня находятся в одинаковых условиях). Напряженное состояние участков образца переменного сечения (см. рис. 2.1,а) является неоднородным.Нормальные напряжения σ и полные напряжения p соответственно в поперечных и наклонных сечениях рабочей части образца распределены равномерно (рис.

2.1,в). Отсюда следуют (см. рис. 2.1,б)соотношения:PP,(2.6)p=σ = ;FaFгде Fα = F / cosα - площадь наклонного сечения.Полные напряжения p в наклонном сечении (см. рис. 2.1,в) находятся из условия равновесия выделенной части:pFα = σF или p = σ сosα.(2.7)Полные напряжения p в произвольной точке K (рис.2.1,в,г) могутбыть разложены на нормальные и касательные напряжения:σα = p сosα ;τα = p sinα.Эти напряжения с учетом (2.7) определяются формулами:1σα = σ сos2α ; τα = σ sin2α.(2.8)2Анализ формул (2.8) показывает, что нормальные напряжения σαα = 0) стержня (образца), а камаксимальны в поперечных сечениях (αсательные напряжения τα максимальны в сечениях под углом α = 45°°,где они равны:τmax = σ / 2.(2.9)19В продольных сечениях (α = 90°°) касательные и нормальные напряжения отсутствуют.Используя соотношения (2.8), можно получить, что для взаимноперпендикулярных площадок (см.

рис. 2.1,в) справедливы равенства:σα + σα+90 = σ,τα = τα+90.(2.10)Из первого равенства следует, что сумма нормальных напряжений во взаимно перпендикулярных площадках есть величина постоянная.Во втором равенстве проявляется общее свойство касательныхнапряжений - закон парности касательных напряжений: во взаимно перпендикулярных площадках действуют равные по величине касательные напряжения, направленные либо от ребра, либо к ребрупересечения этих площадок.2.2. Испытание на растяжениеОбразец из соответствующего материала растягивается на испытательной машине (см.

рис. 2.1,а). Обычно испытание образца проводится до разрушения. В результате испытания образца получаетсядиаграмма растяжения - кривая зависимости между растягивающейсилой P и удлинением образца ∆l, записанная автоматически диаграммным аппаратом испытательной машины. На рис.2.2,а показанахарактерная диаграмма растяжения для пластичного материала.Диаграмма растяжения зависит от размеров образца. Для получения прочностных характеристик материала диаграмму растяженияперестраивают в координатах σ-εε с использованием формул (2.1),(2.6):σ=P;Fε=l,l∆где F и l – площадь поперечного сечения и длина рабочей части образца до нагружения.При этом получается диаграмма условных напряжений, показанная на рис. 2.2,б сплошной линией. Если по оси ординат откладывать напряжения, определяемые с учетом изменения площади поперечного сечения образца, а по оси абсцисс - наибольшие деформациив данный момент нагружения, то получается диаграмма истинныхнапряжений.

Эта диаграмма показана на рис. 2.2,б пунктирной линией (заметное отличие от условной диаграммы наблюдается только отточки D на участке DK).20Рис. 2.2Рассмотрим характерные участки и точки на диаграммах.Участок ОА носит название зоны упругости - материал подчиняется закону Гука при одноосном напряженном состоянии:σ = Еεε,(2.11)т.е. напряжения прямо пропорциональны деформациям. Коэффициент пропорциональности Е – модуль Юнга (модуль продольнойα (см.упругости, модуль упругости первого рода).

Численно Е = tgαрис. 2.2,б). Например, для сталей Е = 190-210 ГПа.Наибольшее напряжение, до которого выполняется закон Гука,называется пределом пропорциональности:σ ïö=Pïö.F(2.12)При нагружении до P = Pпц и последующей разгрузке образецпринимает первоначальные размеры , т.е. деформируется упруго.Вычисляя напряжения по формуле (2.6) при заданной нагрузке иэкспериментально определяя деформации ε, можно найти величинумодуля Юнга для данного материала:Е = σ / ε.(2.13)Модуль Юнга и коэффициент Пуассона являются упругимихарактеристиками материала и при нормальных условиях зависят только от его свойств.Участок ВС называется площадкой текучести или участкомобщей текучести.

На этой стадии нагружения происходит существенное изменение длины образца без заметного увеличения нагрузки.Явление роста деформации без увеличения нагрузки (напряжений) называется текучестью материала.Напряжение, при котором наблюдается явление текучести материала, называется пределом текучести:21Pт.(2.14)FПри испытании специальных образцов можно наблюдать, что настадии общей текучести полированная поверхность образца покрывается сеткой тонких линий или полос скольжения (рис.

2.3,а), называемых также линиями Чернова. Эти линии являются следами плоскостей скольжения (сдвига) частиц материала относительно друг друга. Они совпадают с плоскостями действия максимальных касательных напряжений τmax и наклонены под углом 45° к оси образца (см.(2.9)).В упрощенном виде механизм удлинения образца в результатесоскальзывания кристаллических слоев материала по наклоннымплоскостям показан на рис. 2.3,б.

Соответствующие деформации образца, связанные с действием касательных напряжений, называютсяпластическими.σт =Рис. 2.3Если появились пластические деформации, то при разгрузкеобразец не принимает первоначальные размеры. При этом образецполучает остаточные удлинения ∆lост и деформации εост. Для большинства элементов конструкций возникновение пластических дефор22маций недопустимо, поэтому напряжения σT считаются предельными.При расчетах часто используют схематизированную диаграммуупругопластичного материала - диаграмму Прандтля (рис. 2.3,в).Экспериментально установлено, что пластическое деформированиепротекает без изменения объема материала и µ → 0.5, как следует из(2.5).

Это физически объяснимо, так как пластические деформацииопределяются сдвигом слоев материала, а не увеличением расстояниймежду частицами, как в упругой зоне. В тех случаях, когда на диаграмме растяжения отсутствует площадка текучести (рис.

Характеристики

Список файлов книги