sopromat.Скопинский, Захаров (968719), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е. из уравнений равновесия определяются внутренние силовые факторы.При необходимости наглядного представления возникающихвнутренних силовых факторов для бруса в целом строятся эпюры отдельных внутренних силовых факторов - графики их изменения подлине бруса.1.3. НапряженияНапряжения являются мерой интенсивности действия внутреннихсил в теле. Выделим малую площадку ∆F в окрестности т.А сечениябруса и равнодействующую внутренних сил ∆ R на этой площадке(рис.
1.6,а). Существуют понятия среднего напряжения pср наплощадке и полного напряжения p в точке, которые определяютсясоотношениями:pñð = ∆∆RF;p = limÄRÄ F →0 Ä F=ΔdRdF.(1.1)11Вектор полного напряженияp может быть представлен в видесоставляющих (рис. 1.6,б): нормальное напряжение σ (направленопо нормали n к площадке) и касательное напряжение τ (в плоскости сечения). Нормальные и касательные напряжения необходиморазличать, потому что материал по-разному сопротивляется их действию. Если обозначить через α угол между векторами p и нормальюn , то имеют место следующие соотношения:22σ = p cosα; τ = p sinα; p = σ + τ .(1.2)Рис. 1.6Рис.
1.7Напряжения в точке зависят от положения площадки. Совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через точку, характеризуют напряжённое состояние в точке.Внутренние силовые факторы являются равнодействующими внутренних сил в сечении, поэтому с учетом формул (1.1) они могут бытьвыражены через нормальные и касательные напряжения соотношениями (рис.
1.7):N = ∫ σdF , Q x = ∫ τ xdF , Q y = ∫ τ ydF ,FMx=∫ σydF , MFFy= − ∫ σxdF ,FFÌê(1.3)= ∫ (τ y x − τ x y)dF .FВ системе СИ единицей измерения напряжения является паскаль: 1 Па = 1 Н/м2. В расчетах на прочность это очень маленькаявеличина, поэтому практически используются килопаскали (кПа),мегапаскали (МПа), гигапаскали (ГПа):1 кПа = 103 Па; 1 MПа = 106 Па; 1 ГПа = 109 Па .Связь единиц напряжения систем СИ и МКГСС такова:1 МПа ≈ 10 кгс/см2 = 0,1 кгс/мм2.121.4.
Перемещения и деформацииПод действием нагрузки тело изменяет свою форму и размеры, т.е. деформируется. При этом точки тела меняют свое положение впространстве. Вектор δ , соединяющий начальное (до нагружения) иконечное (после нагружения) положения точки, называется линейным перемещением точки (рис. 1.8,а). В системе координат Oxyzполное линейное перемещение имеет составляющие по осям δx, δy, δz(также будем использовать их обозначения u, v, w).
Вводится понятие и углового перемещения θ как угла поворота элементарного (бесконечно малого) отрезка в пространстве (см. рис. 1.8,а). Угловое перемещение также может быть представлено составляющими θx, θy, θz.Перемещения точек тела при его деформировании обычно являютсямалыми величинами по сравнению с линейными размерами тела (такие тела называются относительно жёсткими).Рис. 1.8Для характеристики интенсивности изменения формы и размеровтела при нагружении вводится понятие деформации - линейной и угловой.
Под линейной деформацией в произвольной точке А в направлении S (рис. 1.8,б) понимается предел отношения:S1 − S0ÄS= lim.S 0 →0S 0 →0 S 0S0å s = lim(1.4)Условно изменение длины малого отрезка показано на рис. 1.8,в.Соответственно, в направлении осей x, y, z получаем компоненты(составляющие) линейной деформации εx, εy, εz.Изменение элементарного прямого угла (см.
рис. 1.8,б)ã CDE =limCD → 0, DE → 0(∠CDE − ∠C1D 1E 1 )(1.5)называется угловой деформацией (или деформацией сдвига) в т.D вплоскости CDЕ. В координатных плоскостях угловая деформацияобозначается γxy, γyz, γxz.13Деформация является безразмерной величиной. Положительнаялинейная деформация (деформация растяжения) соответствует увеличению длины отрезка, отрицательная линейная деформация (деформация сжатия) - уменьшению длины отрезка, положительная угловая деформация - уменьшению прямого угла (переходу его в острый угол).
Совокупность линейных и угловых деформаций во всехнаправлениях и плоскостях, проходящих через точку, характеризуетдеформированное состояние в точке.Примечания.1. Силы, напряжения, перемещения являются векторными величинами. Вдальнейшем для упрощения записи и рисунков черточки для обозначения векторов не ставятся.2. Следует иметь в виду, что термин «деформация» часто употребляется вдвояком смысле. Во-первых, как физическая величина (линейная и угловая деформация). Во-вторых, как синоним деформирования; в этом смысле существуют понятия простейших видов деформации бруса - растяжение и сжатие, срез,кручение, изгиб.1.5.
Закон Гука. Основные принципыПроводя опыты над различного типа пружинами, стержнями инитями, английский учёный Р. Гук пришёл к выводу, что при их нагружении и при упругих деформациях в материале перемещения пропорциональны величине действующей силы δ=kP. Эта зависимостьполучила название закона Гука. Однако коэффициент пропорциональности k зависит как от свойств материала, так и от геометрических параметров системы.
В современной трактовке закон Гука устанавливает линейную или прямо пропорциональную зависимостьмежду напряжениями и деформациями в точке тела. Коэффициентпропорциональности зависит только от свойств материала. Таким образом, закон Гука отражает свойства идеальной упругости материала.Тела (системы), для которых выполняется закон Гука, называются линейно упругими. Системы, для которых зависимость между напряжениями и деформациями является нелинейной, называются физически нелинейными. Если выполняется закон Гука для материала, нозависимость между перемещениями и силами является нелинейной(при относительно больших перемещениях), то система называетсягеометрически нелинейной.
В общем случае, для нелинейных системмогут присутствовать нелинейности обоих типов - физическая и геометрическая.14В механике деформируемых тел при анализе расчётной моделииспользуются три основных принципа: принцип начальных размеров,принцип суперпозиции и принцип Сен-Венана.Согласно принципу начальных размеров для упругих систем, вкоторых перемещения малы, уравнения статики (равновесия) можносоставлять для недеформированного состояния.
Смысл принципа показан на примере стержневой системы (рис. 1.9). Применяя метод сечений и составляя уравнение равновесия для отсечённой части системы при α1≈αP,∑ Fy = 0; 2Ncosα - P = 0; N =2cosαможно достаточно просто найти внутренние силы в упругих элементах (стержнях). Принцип начальных размеров неприменим для гибкихсистем, в которых имеют место большие перемещения, и для кинематически изменяемых систем, допускающих перемещение системыкак жёсткого целого.Рис. 1.9Рис. 1.10В соответствии с принципом суперпозиции (принципом независимости действия сил) эффект от действия нескольких сил равенсуммарному эффекту от раздельного действия каждой силы.
При этомвеличина искомых параметров (перемещений, внутренних сил и т.д.)не зависит от порядка приложения внешних сил. Например, вертикальное перемещение концевого сечения (vA) консольной балки присовместном действии сил Р1 и Р2 (рис. 1.10,а) равно алгебраическойсумме перемещений при действии каждой силы (рис 1.10,б,в):vA (P1, P2) = vA (P1) + vA (P2).Принцип суперпозиции справедлив только для систем, которыеподчиняются закону Гука и принципу начальных размеров.Принцип Сен-Венана устанавливает, что особенности приложения нагрузки не сказываются в упругом теле на расстояниях, превышающих характерные поперечные размеры.
Например, если рассматривать случаи действия на малой площадке различных распределён15ных нагрузок (рис. 1.11,а), причём равнодействующие этих поверхностных нагрузок одинаковые, то отличаться будут местные напряжения и деформации в пределах малой области. При удалении от местаприложения нагрузки, на расстоянии порядка размера а площадки нагружения (см. рис.
1.11,а), напряжения и деформации будут практически одинаковы. Нагрузки, имеющие одинаковые равнодействующиеусилия, называются статически эквивалентными. Таким образом,применяя принцип Сен-Венана, можно не учитывать особенностиприложения внешних сил, но вне зоны их действия. Например, прирасчёте троса на растяжение не играет роли способ приложения нагрузки: за счет подвески грузов или тяги через крюк (рис. 1.11,б). Отбрасывая части троса, примыкающие к его концам, и прикладываястатически эквивалентную нагрузку P, получаем единую расчётнуюмодель стержня (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
