sopromat.Скопинский, Захаров (968719), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

При этом, кроме нормальных напряженийот растяжения (сжатия) в большинстве случаев пренебрегают и касательными напряжениями при изгибе по той же причине, что и прирасчете балок. Поэтому, как правило, нет необходимости в определении усилий N, Q и построении соответствующих эпюр.На рис. 7.2,а показана эпюра изгибающих моментов M . Эпюрымоментов строятся на осевых линиях стержней плоской рамы. Приэтом величина M в сечении откладывается по нормали к оси со стороны сжатых волокон.

Эпюра M может быть построена с использованием выражений (7.2), (7.3) для M 1 и M 2. Либо эта эпюра строится непосредственно, определяя моменты в концевых сеченияхстержней рамы с использованием схемы нагружения, показанной нарис. 7.1,в.Следует отметить, что из условия равновесия узла А рамы справедливо равенство моментов, действующих в концевых сечениях сходящихся в этом узле двух стержней (рис. 7.2,б):MA1 =MA2 =MA=YC l2 sin α2.(7.4)Если в каком-то узле рамы приложен внешний момент, то внутренние изгибающие моменты в сечениях возле узла будут отличатьсяна величину внешнего момента.В каждом сечении плоской рамы, а значит, и узле рамы можноопределить три перемещения (рис.

7.2,в): два линейных и одно угловое перемещения. Иначе говоря, узел плоской рамы имеет три степени свободы.Рис. 7.2Для определения перемещений сечений стержневой системыудобно использовать метод Максвелла-Мора и способ Верещагина.Например, для определения угла поворота (θА) узла А и горизонтального перемещения (uС) сечения С необходимо рассмотреть единичные состояния системы, приложив соответствующие единичные нагрузки, построить единичные эпюры M 1 и M 2 ⋅ (рис. 7.2,г,д) и перемножить грузовую эпюру M(см. рис. 7.2,а) на эпюрыM 1 и M 2 ⋅ В результате получим:θA =2121 M( M A l1) M A1 − ( M A l2) M A 2 = A (M A1l1 − M A 2l2), 3EJxEJx  232312121 M AM A)(l + l ),()uc =ll+(MMMMA 1AA 2A = 3EJx 1 2EJx  23231MA1MA= YB l1 sinα1; M(7.5)= YC l1 sinα 2; YB = YC = 1 /(l1 sinα1 + l1 sinα 2 );= l 1 cos α 1 = l 2 cos α 2 ; M А =YC l2 sinα2.A2Следует отметить, что не всегда три связи обеспечивают геометрическую неизменяемость плоской системы.

На рис. 7.2,е представлена та же рама с тремя связями, но она является мгновенно изменяемойсистемой. Реакция горизонтальной связи ХС не уравновешивает момент, создаваемый силой Р относительно узла В. Рама должна немного повернуться относительно шарнира В как жесткое целое, после чего рама станет геометрически неизменяемой системой. При этом реакция в подвижном шарнире С изменит направление и сможет уравновесить момент, создаваемый силой Р. Однако, величина реакции XCдолжна быть очень большой из-за малости "плеча" реакции.

Как следствие, в значительной степени возрастают изгибающие моменты инапряжения в стержнях, что может привести к потере несущей способности рамы.Статически определимые системы имеют минимально необходимое число внешних и внутренних связей. Три внешние связи (например, заделка или неподвижный и подвижный шарниры) препятствуютперемещению рамы как жесткого целого. По три внутренние связи влюбом сечении рамы препятствуют взаимному перемещению однойчасти рамы относительно другой. Удаление хотя бы одной внешнейили внутренней связи превращает систему в геометрически изменяемую. Например, удалив одну внутреннюю связь (врезав шарнир) в узле плоской рамы, получаем изменяемую систему (рис. 7.3,а).Рис. 7.3Для восстановления геометрической неизменяемости можно ввести связь, как показано на рис.

7.3,б. Это дает наглядное представление о ”жестком” узле рамы. Если же элементы соединены шарнирно,то для неизменяемости плоской стержневой системы необходимо ввести дополнительную (четвертую) внешнюю связь (рис. 7.3,в). В этомслучае получаем простейшую ферменную (шарнирно-стержневую)систему. Из-за наличия шарниров по концам стержни в этой системетолько растягиваются или сжимаются. Стержневые системы, элементы которых в основном испытывают деформацию растяжения илисжатия, называются фермами.Шарнирно-стержневые системы (фермы) могут быть нагруженытолько силами, приложенными в узлах. Для определения усилий всистеме можно использовать два способа.В первом способе применяется метод сечений.

Разрезаютсястержни-связи и одна часть системы с нижними закрепленными шарнирами отбрасывается. В сечениях стержней действие отброшенныхчастей заменяется усилиями N1 и N2 (рис. 7.3,г). Уравновешивая оставшуюся часть, определяют усилия N1 и N2. Для этого составляютдва уравнения равновесия для системы сходящихся сил.По второму способу усилия N1 и N2 по линии действия переносятся к узлу А (рис. 7.3,д). Тем самым производится преобразованиеусилий в реакции упругих связей, действующих на узел А.

Обратимвнимание, что реакции, направленные от узла, соответствуют растягивающим усилиям в стержнях (см. рис. 7.3,г,д). Реакции N1 и N2,(усилия в стержнях) опять-таки могут быть определены из уравненийравновесия узла:cos(α 2 − β )ΣFx = 0; -N1 sinα1+N2 sinα2 +P cosβ = 0; N1 =P;sin(α 1 + α 2 )cos(α 1 + β )ΣFy = 0; -N1 cosα1+N2 cosα2 +P sinβ =0; N2 = −P . (7.6)sin(α 1 + α 2 )При N i > 0 стержень растягивается, а при N i < 0 – сжимается.Выражения для N1 и N2 можно получить проще, используя оси,перпендикулярные стержням.Для определения перемещений узлов шарнирно-стержневой системы рационально использовать интеграл Мора (6.23), который с учетом постоянства деформаций по длине каждого стержня (εε = εi ) преобразуется в сумму:mδ = ∫ N εds= ∑ N i ∆l i ,l(7.7)i =1где N i – нормальная сила в i-ом стержне в единичном состоянии;∆li - изменение длины i-го стержня в грузовом состоянии; m – числостержней.Используя закон Гука для стержня в форме (3.22), учитывающейсиловое, температурное и кинематическое (за счет возможных отклонений длин от номинальных размеров) воздействия на стержень,формула (7.7) запишется в виде:mmN i N i li m+ ∑ N i δ T i ∆Ti l i + ∑ N ii =1 E i Fii =1i =1δ= ∑oi .(7.8)Отметим, что в ферменных системах шарнирные узлы имеюттолько линейные перемещения или две степени свободы.

Например,для определения горизонтального перемещения uA узла А (см. рис.7.3,д) необходимо:1) определить усилия в грузовом состоянии N1 и N2 по формулам(7.6);2) снять заданную нагрузку, в узле А горизонтально приложитьединичную силу (рис. 7.3,е), от которой найти усилия в единичномсостоянии (усилия  N 1 и  N 2 определяются из формул (7.6) при P=1и β = 0);3) найти искомое перемещение, используя первую сумму в формуле (7.8):N 1N 1l 1 N 2 N 2 l 2+uA =.E 1 F1E 2 F2Если стержни системы только нагреваются (∆Ti > 0) или охлаждаются (∆Ti < 0), то для определения перемещения узла используетсявторая сумма в формуле (7.8).

Если стержни имеют отклонения отноминальных размеров (∆oi > 0 или ∆oi < 0), то для определения перемещения узла после сборки относительно своего номинального положения используется третья сумма в формуле (7.8). Отметим, что приизменении температуры и отклонении от номинальных размеров встержнях статически определимой системы усилия не возникают.Система, показанная на рис.

7.3,а, становится геометрически неизменяемой, если добавить третий стержень (рис. 7.4,а). В этом случае получаем простую статически определимую ферму. Система,представленная на рис. 7.3,в, является простейшим примером неизменяемой системы, потому что даже малое перемещение узла невозможно без деформации стержней. Отсюда получается правило, чтовсякий новый узел, добавленный в процессе образования геометрически неизменяемой фермы, может быть присоединен при помощи двухстержней, оси которых не лежат на одной прямой (рис. 7.4,б,в).7.3. Моделирование связейЕсли жесткость прикрепляемого объекта намного выше, чем жесткость связей, то он моделируется “абсолютно жестким телом”.Для закрепления материальной точки (узла) с двумя степенями свободы необходимо два стержня-связи (см. рис.

7.3,в). Для закрепленияабсолютно жесткого тела с тремя степенями свободы необходимо тристержня-связи (рис. 7.5,а). Для определения трех реакций в этих связях используются три уравнения статики.Рис. 7.4Если реакции связей не уравновешивают нагрузку, то системаизменяема. Например, в системе, изображенной на рис.

7.5,б, не уравновешена горизонтальная составляющая нагрузки, а в системе, изображённой на рис. 7.5,в, не уравновешен момент от силы Р относительно точки А (точка пересечения осей всех стержней). Точнее говоря, указанные системы являются мгновенно изменяемыми.Рис. 7.5На рис. 7.6 показаны различные варианты статически определимого закрепления абсолютно жесткого тела с помощью упругих связей-стержней и жестких связей.На рис. 7.6,а,б,в у абсолютно жесткого тела исключаются по одной степени свободы, а в системах на рис. 7.6,г,д,е - по две степенисвободы. Отметим, что при определении усилий в стержнях нерационально использовать уравнения равновесия, в которые входят реакциижестких связей.Рис.

7.6Не рекомендуется применять стержневую систему, показаннуюна рис. 7.7,а, при углах α, близких 90°. В этом случае усилия в стержнях, даже при малой величине силы Р, очень велики. При α = 90° система превращается в мгновенно изменяемую (рис. 7.7,б).Такую систему более рационально проектировать в виде арки(рис. 7.7,в) с криволинейными стержнями. В этих конструкциях существенное значение имеет как изгиб, так и сжатие элементов. Горизонтальные (распорные) реакции увеличивают сжатие элементов, но приэтом существенно уменьшают изгибающие моменты.Рис.

7.7Конструкция, показанная на рис. 7.8,а может моделироваться комбинированной системой, представленной на рис. 7.8,б. Элементы комбинированной стержневой системы испытывают различные виды деформаций. Балка изгибается, а пружины моделируются стержнями–связями, которые растягиваются или сжимаются. Моделирование пружин стержнями осуществляется на основе равенства их жесткостей.Рис. 7.8Пружина и стержень эквивалентны по своим упругим характеристикам, если при одинаковой осевой нагрузке (рис. 7.8,в) изменениедлины стержня ∆l равно изменению длины пружины λ (∆l = λ).

Характеристики

Список файлов книги