sopromat.Скопинский, Захаров (968719), страница 18
Текст из файла (страница 18)
С учетом того что λ =P/c, ∆l= Pl/EF , получим:1c=lEF→c=EF,lгде c – жесткость пружины или стержня-связи.Величина, обратная жесткости, называется податливостью(l/EF). Зная жесткость пружины, всегда можно подобрать эквивалентный по жесткости стержень, и наоборот.8. Сложное сопротивление брусаРанее рассматривались простейшие виды деформации бруса, прикоторых от действия определённых нагрузок в поперечных сеченияхбруса возникали отдельные внутренние силовые факторы: растяжениеи сжатие (N), кручение ( M к), прямой изгиб ( M и Q). Однако в других случаях нагружения в поперечных сечениях бруса могут возникать различные сочетания внутренних силовых факторов (в общемслучае - все шесть). Такая сложная деформация бруса называетсясложным сопротивлением.
Используя принцип суперпозиции, сложное сопротивление бруса может быть представлено как сумма простых видов деформации. Особо оговаривается лишь случай бруса относительно большой жёсткости при действии сжимающей силы, чтобы исключить возможность потери устойчивости бруса (см. часть II).Чаще всего рассматривают специальные случаи сложного сопротивления бруса: косой изгиб, косой изгиб с растяжением (сжатием), внецентренное растяжение (сжатие), изгиб с кручением.8.1.
Косой изгибКосой изгиб возникает в случае действия поперечной нагрузки(P, M, q) в плоскости, проходящей через ось бруса и не совпадающейни с одной из главных плоскостей инерции. Плоскость действия нагрузки называется силовой плоскостью. Главной плоскостью инерцииназывается плоскость, в которой расположены соответствующиеглавные оси инерции всех поперечных сечений бруса. В общем случаетаких плоскостей две. Например, для призматического консольногобруса (рис. 8.1,а) - вертикальная (Оyz) и горизонтальная (Оxz) плоскости.Примечание. Исключение составляет брус, имеющий сечение в виде кругаили правильного многоугольника. Для такого бруса никогда не будет косого изгиба.Рассмотрим особенности косого изгиба на примере консольнойпризматической балки, нагруженной силой P в торцевом сечении подуглом α к оси y (см.
рис. 8.1,а). Разложим силу P на составляющие Pxи Py по осям:α ; Py = P cosαα.Px = P sinα(8.1)Каждая из этих сил действует в одной из главных плоскостейинерции и вызывает прямой изгиб. Используя принцип суперпозиции,представим косой изгиб как сумму двух прямых изгибов. Опасное сечение - в заделке, где расчётные значения изгибающих моментов отсил Px и Py равны:α= M cosαα; M y=Pxl= Pl sinαα= M sinαα; M =Pl. (8.2)M x=Pyl = Pl cosαРис. 8.1Напряжения при косом изгибеЗапишем выражения для нормальных напряжений в произвольной точке А(x,y) сечения балки (рис. 8.1,б), рассматривая их как сумму напряжений для каждого прямого изгиба (см. формулу (6.7)):σ ( x,y) =MxJxy+MyJyx.(8.3)Для вычисления максимальных напряжений необходимо знатьположение нейтральной линии сечения.
Согласно определению нейтральная линия представляет геометрическое место точек, где нормальные напряжения равны нулю:σ ( x,y) = 0 èëèMxJxy+MyJyx = 0.Откуда, учитывая соотношения (8.2), получаем уравнение нейтральной линии при косом изгибе:y= −MMJ⋅ xxx Jyyèëèy= −(Jxtgα ) x .Jy(8.4)Нейтральная линия проходит через центр сечения и расположенав квадрантах, противоположных тем, где расположена линия силовойплоскости (рис. 8.1,б). Из условия Jx≠Jy следует, что нейтральная линия не перпендикулярна силовой плоскости. При этом нейтральнаялиния повёрнута от направления, перпендикулярного силовой плоскости, в сторону главной оси минимального момента инерции.
Соответственно, при Jx=Jy невозможен косой изгиб, т.к. все центральныеоси сечения являются главными (всегда имеет место прямой изгиб).Зная положение нейтральной линии, можно построить эпюрунормальных напряжений в сечении (эп.σ на рис. 8.1,б). Максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удалённых от нейтральной линии (xm, ym - координаты такой точки):σ m ax =MxJxym +MyJyxm .(8.5)Для сечения произвольной формы координаты xm, ym обычно определяются графическим образом для точек касания контура сечения линиями, параллельными нейтральной линии (рис. 8.1,в).
Для сечений,имеющих наружные угловые точки и две плоскости симметрии (прямоугольник, двутавр и т.д.) xm=xmax, ym=ymax, максимальные напряжения определяются согласно формул (8.5) и (6.8) наиболее просто, используя моменты сопротивления сечения относительно осей x, y(Wx=Jx/ymax, Wy=Jy/xmax):σ m ax =x+M yW xW yM.(8.6)Из формулы (8.6) видно, что при косом изгибе могут значительноувеличиваться нормальные напряжения в балках, имеющих сечения ссущественно различными моментами сопротивления (например, двутавр, швеллер, для которых Wx >> Wy).Касательные напряжения при косом изгибе играют такую жевторостепенную роль, как и при прямом изгибе.
При косом изгибевеличина полных касательных напряжений в определённой точкесечения находится как геометрическая сумма компонент τx и τy:τ = τ 2x + τ 2y .Напряжения τx и τy вычисляются по формуле (6.11) для каждого прямого изгиба, используя соответствующие значения поперечных силQx и Qy.Перемещения при косом изгибеПри определении перемещений также применяется принцип суперпозиции.
Например, компоненты линейного перемещения центрасечения δx и δy в главных плоскостях инерции вычисляются с использованием какого-нибудь метода, а полное перемещение δ (по величине и направлению) определяется как геометрическая сумма этих компонент (рис.
8.1,г):δ = δ x2 + δy2 ;tgβ =δx,δy(8.7)где β - угол между вектором δ и осью Оy.При косом изгибе β ≠ α, a вектор δ полного перемещения перпендикулярен нейтральной линии (см. рис. 8.1,г).8.2. Косой изгиб с растяжением (сжатием)В этом случае имеет место сложная деформация бруса,включающая изгиб и осевое растяжение или сжатие (рис. 8.2,а).Кроме изгибающих моментов ( M x и M y), определяемых дляопасного сечения по формулам (8.2), учитывается и нормальная силаN= ± Pо (знак «+» соответствует растягивающей силе Pо, знак «-» сжимающей силе). Используя принцип суперпозиции, по аналогии свыражением (8.3) суммарные напряжения записываются следующимобразом:σ( x,y)=MN M x+y+ y x .FJxJy(8.8)Уравнение нейтральной линии в сечении из условия σ(x,y)=0принимает вид:y = ax + b,Ma= MJx, b=Jyxy⋅N ⋅ JxMx⋅F.
(8.9)Рис. 8.2Таким образом, нейтральная линия не проходит через начало координат в сечении. Как следствие, наибольшие растягивающие исжимающие напряжения получаются различной величины для любогоσ) показана насечения. Эпюра нормальных напряжений в сечении (эп.σрис. 8.2,б. Максимальные напряжения определяются для точки, наиболее удалённой от нейтральной линии (координаты xm, ym т.М нарис. 8.2,б):σ m ax =MN M xym + y xm .+JxJyF(8.10)8.3. Внецентренное растяжение (сжатие)Внецентренным растяжением (сжатием) называется деформация бруса при действии двух равных и противоположно направленных сил по линии, параллельной оси бруса и не совпадающей с ней(рис.
8.3,а).В любом поперечном сечении бруса возникают следующие внутренние силовые факторы (на рис. 8.3,б изображение нормальной силыN соответствует внецентренному растяжению):N = P;M x = P⋅⋅yp; M y = P xp,(8.11)где xp, yp - координаты точки приложения силы P в торцевом сечении.(Расстояние от точки приложения силы до центра сечения называетсяэксцентриситетом.)Рис.
8.3Таким образом, внецентренное растяжение (сжатие) можно рассматривать как частный случай совместной деформации косого изгиба и осевого растяжения (сжатия). Подставляя формулы (8.11) в (8.8),получим выражение для нормальных напряжений в произвольнойточке сечения:yp y xp xP ⋅ xpP P ⋅ ypP σ ( x,y) = +y+x = 1 + 2 + 2 , (8.12)FJxJyF ixiy где ix =Jx /F ; iy =Jy /F - радиусы инерции сечения относи-тельно главных осей.При внецентренном сжатии первое слагаемое в выражении (8.12)подставляется со знаком минус, т.к. N = − P.Положение нейтральной линии определяется из условия σ(x,y)=0.Тогда из выражения (8.12) получаем уравнение нейтральной линии:1+yp y xp x+ 2 =0ix2iyèëèy x=1 .+ay ax(8.13)Нейтральная линия в сечении не проходит через начало координат (центр сечения).
Для её построения удобно использовать отрезки,отсекаемые нейтральной линией на координатных осях: ax=-iy2/xp,ay=-ix2/yp (рис. 8.3,в). Если xp > 0, yp > 0, то отрезки ax < 0, ay < 0, т.е.нейтральная линия расположена по другую сторону от центра сечения, чем точка приложения силы P (полюс р). Эпюра нормальных напряжений в сечении (эп.σ) показана на рис. 8.3,в. Чем ближе сила P коси бруса, тем дальше уходит нейтральная линия от центра сечения.При некотором положении силы P нейтральная линия может бытьрасположена вне сечения (рис.
8.3,г): тогда во всех точках сечениявозникают напряжения одного знака.Как обычно, опасными являются точки, наиболее удалённые отнейтральной линии. Зная их координаты (xm, ym), определяются максимальные напряжения из формулы (8.12):σ m ax =P ⋅ xpP P ⋅ ypym +xm .+FJxJy(8.14)Для сечения с выступающими угловыми точками формула (8.14)упрощается:σ m ax =P P ⋅ yp P ⋅ xp++.FW xWy(8.15)Для бруса из материала, по-разному сопротивляющегося растяжению и сжатию, следует определять максимальные растягивающие исжимающие напряжения (например, в т.А и т.В сечения на рис. 8.3,в):P ⋅ ypP ⋅ xpPσ mð ax = σ À = +;+FW xW y(8.16)P P ⋅ yp P ⋅ x pσ mñ ax = σ Â =.F W xW yОтметим практические случаи возникновения внецентренногорастяжения (или сжатия) бруса:1) конструктивные элементы с эксцентрично приложенной нагрузкой;2) конструктивные элементы с односторонними вырезами приосевой нагрузке;3) стержни с начальным прогибом.Во всех случаях необходимо проводить расчёты на прочность,т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
