УМФ Тихонов (965259), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Прямоугольные координаты: 6, =1,. 6,=1, 6з =1, Х2 — У~ Хз = 2, ди. ди. ди ради = — 1+ — ) + — 1с, дх ду дз 49 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский дА, дАн дА, метрические коэффициенты, или коэффициенты Лама. Ортогональная координатная система полностью характеризуется тремя метрическими коэффициентами 61., 62, 6з. Приведем обгцее выражение для операторов кгад, дгн, гоз, Ь в ортогональной криволинейной системе координат: дА, дАя д д д дх ду дя сов А = А, Ая А, Ьи = ияя+ияя+ и:., где |, 1 и 1г .
направляющие единичные векторы осей х, у, з. 2. Цилиндрические координаты х| —— т, хз 'р |3 связаны с прямоугольными координатами уравнениями х = тсов|р, у = тв|п~р, я = з. Координатные поверхности; т = сопя| —. цилиндры, |р = сопя| плоскости, я = сопя| плоскости.
Метрические коэффициенты равны 6,=1, 6| =т, 6,=1, так что ди. 1 дц. ди. Кга|1и = — || + — — 1з + — |з, дт т д|р дз 1 д д 12 дАЗ |1|я А = — — (тА|) + — + т дт т д|р дз го|А = 1 дАз дАз . дА| дАз . 1 д 1 дА| 3. Сферические координаты х =О, связаны с прямоугольными координатами формулами у = твшув1п|р, х = твшдсов|р, я =тсов0.
Координатные поверхности: концентрические сферы т = сопвс, плоскости |р = сопя|, конусы 0 = сопвц Метрические коэффициенты равны 6з = тв|п0, 6,=1, 62 =т., 770 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ |Ч. 1У 1Ч. РАЗЛИЧНЫЕ ОРТОГОНАЛННЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 771 так что Ди. 1 ди. 1 ди. Игас1и = — 1г + — — 1г + — 1з,, Дт т ДВ тяпВ Д~р 1 д 1 д 1 ДАз с)1гА = — — (тгАг) + — (япВАг) + тг дт тяпВ ДВ тяп В Д~р 1 ( Д ДАг1. гоФА = ~ — (вшВАз) — Д ) (г + тяпВ (ДВ др ) 1( 1 ДАг Д 1.
1(Д ДАг1. + — ' — — (тАз)~ 1г + — ~ — (тАг) — ~ 1з, (вшВ д~о Дт ~ т (дт ДВ ~ 1Д(,ДЛ 1 Д( Д1 1 Дги гни = — — ( ' — ) + — (в1п  — 1 + т' Дт 1 Дт/ т'в1пВ ДВ 1 ДВ/ т'в1п'В Дзгг ' 4. Эллиптические координаты к, = Л, определяются с помощью формул преобразования = э, д= ~'ТР-эе — Ф), где с масштабный множитель.
Метрические коэффициенты равны Лг-д Ьг=с г, Ьз=1. Лг дг ''11 Л' — 1 ' В тг = Л = ъ'2т вш 2' В тг = д = ъ'2т сов —, 2' Координатные поверхности Л = сопвФ и д = сопев представляют собой пересекающиеся параболические цилиндры с образующими, параллельными оси з. Связь с декартовыми координатами дают форму- лы и= — (д — Л), г г 2 В =Лр, г=г. Метрические коэффициенты равны Ьг = Ьг = ~/Л~ + д~, Ьз = 1. Координатные поверхности: Л = сопвг цилиндры эллиптического сечения с фокусами в точках и = тс, у = 0; д = сопев семейство конфокальных гиперболических цилиндров; г = сопке — плоскости.
5. Параболические координаты. Если т,  —.— полярные координаты точки на плоскости, то параболические координаты могут быть введены с помощью формул 772 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ !Ч. 1У б. Эллипсоидальные координаты. Вводятся с помощью уравнений (а > 6 > с); 2 2 2 + + = 1 (Л > — с ) (уравнение эллипсоида), а,з+Л 6'+Л с'+Л 2 2 2 (уравнение одно+ + — 1 (-с > д > -6 ) полостного гипера + р 6з+ р с + Р баланда), Каждой точке (т, д, з) соответствует только одна система значений Л, р, и. Параметры т! — — Л, лз = р, .аз = и и называются эллипсоидальными координатами.
Координаты в, р, з выражаются явно через л... Коэффициенты Ламэ равны (Л вЂ” 1!) (Л вЂ” ) 1 (д — )(д — Л) 62 2 1 61 =— 2 1 (и — Л)(и — д) Аз =— 2 где гс(з) = (з=Л,р,и). Оператор Лапласа можно представить в виде 4 д !г даЛ (Л вЂ” р) (Л вЂ” и) (р — и) дЛ ~, дЛ) д Г ди! д Г ди! + (и — Л) Я(р) — ~ Л(1!) — ) + (Л вЂ” р) й(и) — ~ й(и) — ) дд ~, д1!) ди ди тз у 2 аз+и 6з+и сз+и + + =1 ( — 6з>и> (уравнение двух- -а, ) полостного гипер- 2 баланда).
1У. РАЗЛИЧНЫЕ ОРТОГОНАЛЫНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 773 Частное решение уравнения Лапласа, зависящее только от Л, 77 = = 73(Л), дается формулой Р 3Л / л(л) где А и В произвольные постоянные. 7. Вырожденные эллипсоидальные координаты. а) Вырожденные зллипсоидальные координаты (а, д, р) для вытянутого зллипсоида вращения определяются при помощи формул я = ссЬасоя)3, у = сяЬая1п,Зя1п3о, и = сяЬая1п~Зсоя~р, где с — масштабный множитель, 0 < а < со, 0 < д < я, — я < у < я. Координатные поверхности: вытянутые эллипсоиды вращения а = сопя1, двухполостные гиперболоиды вращения З = сопя1 и плоскости Зз = сопяг. Квадрат элемента длины дается выражением дя =с 1яй а+я1п 33)(йх +фаз)+с яЬ аяш бсср~, откуда для метрических коэффициентов получаются значения Ьз = Ьн = сяЬая1пд. Уравнение Лапласа имеет вид 1 ~ 1 д ( ди'~ 1 д ( диз) А.
=,, ~ — (.. — 1+ — (.;.З вЂ” 1+ сз(яй~а+я1пзд) ~яЬа да ~, да/ яшд д33 1, дд/ яЬ' а яш' д др' б) Система вырожденных эллипсоидальных координат (а,)3, р) для сплюснутого эллипсоида вращения определяется с помощью равенств я = сяЬасоя,З, у = ссЬая1пдяшуз, т = ссЬаяшдсояр, 0<а<со, О<В<я, — я<у<я.
Координатные поверхности: сплюснутыо эллипсоипы вращения а = сопя1, однополостные гиперболоиды вращения д = сопя1 и плоскости ~р = сопяФ, проходящие через ось з. Квадрат линейного элемента и оператор Лапласа в рассматриваемой системе координат имеют вид г3я = с 1сЬ а — яп,З) (Йа -~-Щ3 ) + с сЬ аяш ~ЗЙр~, 1 1 д ( ди1 1 д ( ди1 Лил сЬа — + — япд — + сз(~Ьз — я1~з13) ~сЬа да 1, да,3 яп,З дд ~, дЯ 774 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 1Ч.
1У я1пв д 8. Тор он дальные координаты. Система тороидальных координат 1а, 11, 1э) определяется при помощи формул где с масштабный множитель, О < а < со, — я < ~3 < гг, — гг < ~р < я. Координатные поверхности суть торы а = сопя1; 2 1р — сс1Ьа) + в = ( ) (р = тггив+ р~), сферы д = соггвв: 2 1в — ссвкд) + р =, ) г,в1п13 плоскости 1э = сопя1. Выражение для квадрата линейного элемента имеет вид св 1г1сгэ + г1рэ + яЬв а гор~) 1с1г а — соя 11) в метрические коэффициенты равны с Ь. = Ьв = сЬа — сояд и оператор Лапласа дается следующим выражением: д ( вЬа ди г) д ( вЬа ди') гаи =— — +— — + да 1,сЬа — саяр да/ дд 1,сЬа — соя,д др/ Удобно вводить вместо и новую функцию е с помощью соотношения 2 Ь вЂ” 2 г при этом уравнение гэи = О приводится к уравнению 1 1 Сгггг + СЗВ + Егг С11Га+ Е+ 2 СЕИ = О.
1в 9. Биполярные координаты. а) Биполярные координаты на плоскости. Переменные с вЬ а сов вэ Х = сЬ а — соя 1э' свЬав1п~р 9= сЬа — соя 11 ' свш я = ) сЬ а — соя 11 ся1га сЬ а — соя д 1 д и 1сЬгт — сояд) яЬа дВэв 1Ч. РАЗЛИЧНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 775 называются биполярными координатами, если имеют место равенства авЬа ав1п13 х = У= ой а — соя)3 сЬа — соя д ' о Метрические коэффициенты равны Ьг = Ьг = сЬа — сов13' б) БисфеРические кооРдинаты х1 = а, хг = д, хз = Зг опРеделЯютсЯ при помощи формул свЬ33 г = сЬ)3 — сова с сйп а в1п ~р у= сЬ)3 — сова ' с вш а сов ~р х = сЬ|3 — соя а ' где с постоянный множитель, О < а < 33, — оо < д < оо, — х < уг < х.
Эти формулы можно представить в компактной форме: а+1д я+ гР = сяоси (Р = хгхг+ Уг) . 2 г [р — соска)'+гг = ( ) сферы,3 = соней зг р + [г — ссгЕ)3) = ) плоскости зг = сопвФ. Выражение для квадрата линейного элемента в бисферических координатах имеет вид г дя = [да +г[д +сйп агйр ), [сЬ|3 — соя а)г откуда следует саша Ав= сЬ 33 — сов а с Ьд = Ьг = сЬд — сова и уравнение Лапласа принимает вид д ( яша ди1 — + да з,сЬ33 — сова да/ д ( сйп а ди'~ 1 ди — О. д)3 ~сЬ)3 — сова дДу вша[сЬ)3 — сова) д3гг При решении уравнения Лапласа удобна подстановка 2из — 2 Координатные поверхности суть веретенообразные поверхности вращения а = сопяы ДОПОЛНЕНИЕ П1 ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В предыдущих главах книги рассматривались в основном классические решения краевых задач, т. е.
решения, имеющие все непрерывные производные нужного порядка и удовлетворяющие уравнению, граничным и начальным условиям в каждой точке рассматриваемых множеств. Рассмотрение таких решений накладывает существенные ограничения на исходные данные задачи. Вместе с тем при выводе основных дифференциальных уравнений (см., например, гл. П, 9 2, и. 9) было показано, что если исходить не из дифференциальных, а из интегральных уравнений, то класс решений, а значит, и класс исходных краевых задач можно существенно расширить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
