УМФ Тихонов (965259), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Предполагая возможность разложения произвольной функции у(О,В2) в ряд по сферическим функциям (возможность такого разложения для дважды непрерывно дифференцируемой функции будет подробно обоснована ниже, в и. 5), допускающий почленное интегрирование,получим 1"(В,1р) = ~ ~ (А„, совпир+ Во~ вшт1р) Р~"О(сову), л.=е лт=е Тем самым доказана ортогональность сферических функций, соответствующих разным Л. Выше мы получили для Л = 11(п + 1) систему (2п + 1) сферических функций и-го порядка.
Докажем, что и зти сферические функции ортогонольны между собой на сфере. Пусть 1„~ ' и У„две сферические функции. Интегрируя их произведение и пользуясь формулой (9) из В 2, получим з 3] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 727 где Ап и Впп, коэффициенты Фурье, определяемые формулами ) ДО,уг)Р~~~(созО) созтуг згпОООйр о о )(У77п) ((2 / ~(0,7р) РР"~(созО) сйппир з7пО<Юс6р о о ~~у( 7 ог 2пе ~п, т)~ 2 прит=о, !)У„' ~)(~ =,, е 27'+ 1 7п 77')' ), 1 при т > О. Общее решение внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа можно представить в виде и(г,0,7р) = ~ ( — ) Уп(0,уг). п=о Для внешней краевой задачи общее решение представимо в виде и(г,д,ог) = ~ ( — ) Уп(0,7р). п=о Здесь У77(07 уг) = ~ )о77п7 созглуг + рп777 БШ пгуг) Рп (сов д) п7=0 .-- сферическая гармоника.
4. Замкнутость системы сферических функций. Докажем замкнутость системы сферических функций, определяемых формулой (7). Докажем сначала, что любая функция ~(0, 7р), имеющая непрерывные вторые производные, может быть равномерно аппроксимирована некоторым полиномом из сферических функций. Рассмотрим разложение такой функции в ряд Фурье Я)В, 7р) = ~ ~~А,(0) соз пир+ В (О) згп ту7].
и=о Используя ограниченность второй производной, легко оценить коэффициенты Ап, и В этого разложения: М )А (( —; т2' 728 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. П где М = шах(( (. Отсюда следует, что для остаточного члена ряда Фурье имеет место равномерная оценка мО 1 — (А (0) соитИз+ В~(0) иштр) = ~В„, ~ < 2М ~ — < и', ш=и п,=,.и (10) где и' > 0 любое наперед заданное число. На основании з 2, и. 3 коэффициенты Фурье А,„(0) и В„,(0), являющиеся непрерывными функциями В, обращающимися в нуль при 0, равном 0 и х, могут быть равномерно аппроксимированы линейными комбинапиями присоединенных функций т;го порядка; п ! А,„(0) — ~ аьР~п'~(соиВ) < л В„,(0) — ~ ЬьР~Ь ~(соиВ) < 2то+ 1 Тогда из неравенств (10) и (11) будет следовать 'пи и 7(0,1о) — ~~ ~ ~(оьР~Ь™(соиВ)соитИз+ЬьР~'" (соиВ) йшту) < 2и', ш=о ь=а (12) что и доказывает возможность равномерной аппроксимации любой дважды дифференцируемой функции 1(В,Из) полиномом из сферических функций.
Отсюда следует, что и любую непрерывную функцию можно равномерно аппроксимировать полиномом сферических функций, а это доказывает замкнутость системы функций, определяемых формулой (7). Из замкнутости этой системы вытекает ее полнота. Таким образом, доказано, что уравнение сферических функций не имеет ограниченных решений при Л у': п(п + Ц и что всякая сферическая функция и-го порядка (при Л = п(п+ 1)) представима формулой (7') . 5. Разложение по сферическим функциям.
Сферические функции являются собственными функциями уравнения 1 д /, дпЛ 1 ди — (иш — ) + з +Ли=О, или ьзиеи+Ли=О, (13) на поверхности сферы Е (О < у < 2х, 0 < 0 < я) при дополнительных условиях ограниченности. з 3] ГАРМОНИЧЕСКИЕ НОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 729 1 д / ди'~ 1 дзи в'ч' !п0д0 ~ д0) з1 20д 2 (14) удовлетворяющую условию ограниченности решения при 0 = О, х. Как было отмечено вылив, Ьв ии = (г11я агаг! и)в ~ на поверхности сферы. Уравнение (14) можно рассматривать как уравнение стационарного распределения температуры или стационарного электрического тока на поверхности сферы.
С этой точки зрения понятно, что невозможно построить решение однородного уравнения (16) г.'зв „и = О с особенностью в одной только точке, так как для возможности существования стационарной температуры необходимо, чтобы сумма источников и стоков равнялась нулю. Введем обобщенную функцию источника, которая в нашем случае должна быть решением уравнения Ьвгви = г7 (д = 1/4к), (17) регулярным всюду, кроме полюса 0 = О, где она должна иметь ло- гарифмическую особенность. Правая часть уравнения (17) означает плотность отрицательных источников (стоков) тепла, равномерно рас- пределенных по поверхности сферы, так что (18) Предполагая, что искомая функция источника и является функцией только одного переменного 0, получаем для нее обыкновенное диффе- ренциальное уравнение, решая которое, .находим 0 и = — д!пап0+ с !п18 —. 2 (19) Требуя, чтобы и имело особенность только при 0 = О, получаем и 0 и = — 2в 1и зш — — г7 1п 2.
2 Пля обоснования разложимости произвольной дважды непрерывно дифференцируемой функции Д(0, ф в ряд по сферическим функциям перейдем к соответствующему интегральному уравнениях С этой целью построим функцию источника уравнения 730 ДОПОЛНЕНИЕ Н. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 1Ч. И Так как и~ = сопз1 является решением однородного уравнения, то функция источника С определена с точностью до произвольной по- стоянной.
Поэтому мы можем написать 1 В С = — — 1пзш 2х 2 (20) Если источник находится в некоторой точке Ме, то функция источника имеет вид С(М Ме) — 1и а1п Тмм, 2п 2 (21) где умм . угловое расстояние между точками Ме(Ве, ~эе) и М(В, фО. Перейдем теперь к решению неоднородного уравнения 1 д / дий 1 дзи азии = — )э1п — ) + = — Р(В,Р).
(22) Это уравнение может иметь регулярное всюду на Е решение только при выполнении условия (23) означающего, что сумма источников и стоков должна быть равна нулю. Его легко получить из формул Грина для оператора ла „, установленных в и. 3. Покажем, что всякое решение уравнения (22), удовлетворяющее условию (23), представимо в виде и(М) = ~~ С(М, Р) Р(Р) дог + А, 1 = ~~ 1и йС вЂ” С сзи) Йт. п,=п — к,м — км' 1 Угол у определяется из формулы соээ = соэВсозВе -~-сйпВэ1пВе соя(у — уе). где А -- некоторая постоянная, а С(М, Р) -- - функция источника, определяемая формулой (21). Пусть М некоторая фиксированная точка сферы, в которую мы помещаем северный полюс (В = О), а М~ диаметрально противоположная ей точка. Точки М и М~ являются особыми точками уравнения (22).
Поэтому построим на Х в этих точках малые кружки Как и К~' и рассмотрим интеграл з 3] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 731 Подставляя в правую часть выражения для Ьи и ЬСв имеем г=1 1 ~„— „' (л,в — ) — а„— (л.в — ')) вввв-:— о дС ди) дС ди зш0 и — — С вЂ” и и — — С вЂ” =ив д0 д0~ ду ду причем и~о2' — — О,получаем после интегрирования Палее, замечая, что дС 1 д, 0 1 0 — = — — — 1п яш — = — — с1К вЂ”, д0 2я д0 2 41г 2 ' будем иметь 1 1~. 0 0 0 1 1 = — ~ ~згп — соя — ссК вЂ”, п~ дгр 2к,/ ~ 2 2 2 о гл л — в — — 81П0 1П81П вЂ” — гвггв = 11 + 12. 2я ~ 2/ д0 о Отсюда видно, что 1пп 11 —— и(М) и в — ве 1пп 12 = О.
— во Следовательно, ив,М) = ~~ С(М. Р) Р(Р) г1ггр + А, (24) где А= — о в Учитывая, что в квадратных скобках стоят точные производные от выражений 732 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. П постоянная. Решение нашей задачи определено с точностью до аддитивной постоянной. То решение, для которого О и до = О, определяется формулой и(М) = ~~ С(М, Р) Р(Р) Йтр.
Применяя (24) к уравнению сферических функций 11в .и = — Ли, приходим к следующему заключению. Сферические функции., определяемые формулой (7), првдстлавляют совокупность всех линейно независимых собственных функций интегрального уравнения и(М) = Л~~ С(М,Р) и(Р) дор с симметрическим ядром С(М,Р), определяемым формулой (21). К этому уравнению применима общая теория интегральных уравнений с симметрическим ядром. Отсюда следует, что произвольная дяажды дифференцируемая функция 1(о, ю) может быть разложена в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по сферическим функциям: 1(о,~о) = ~ Уп(В,~Р) = ~ ~ (Ап созт~Р+ В„п, ЯшпюР)Р~~~~(созо), п=в п=о ы=о (25) где У (О,чз) = ~~ (А„соягшр+Вп яйптуз)Р~ 1(соей), (26) ы=о Апы и В„- коэффициенты Фурье. $4. Некоторые примеры применения сферических функций Рассмотрим несколько типичных задач математической физики, требующих применения сферических функций.
Напомним, что общее решение уравнения Лапласа в сферической системе координат (г, у, у) имеет вид где У,(0., у) сферическая гармоника, т. е. линейная комбинация всех (2п + 1) сферических функций. Если решение ищется в области г ( а (внутренняя задача), то Вп = О; для задачи в области т ) а (внешней з 4) ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 733 задачи) следует положить А„= О; и, наконец, в случае области а < < г < Ь, не содержащей ни г = О, ни г = оо, в решение, вообще говоря, входят слагаемые с г" и 1)г "+~. 1.
Задача Пнрнхле для сферы. Пусть дана сфера радиуса а. Поместим в центр этой сферы начало сферической системы координат (г, В, р) и рассмотрим две задачи Пирихле: Ьи = О пРи г < а, и~г „= 7(в,оз) (внУтРеннЯЯ задача), (1) Ьи = О при г > о, и~„—, = 7(в,оо) (внсшняя задача), (1') где 7' = Дв, Оо) заданная функция на поверхности сферы. Разложим 1(0, р) в ряд по сферическим функциям: У(в, р) = ~ 1„(в, р), ь=.о У„(влр) = ~~ (А„„,созтп~р+ В„,з1плир) Р~ О(созд), т=о где А„и В„вычисляются по формулам (9') из 3 3.
Решение внутренней задачи ищем в виде ггз и и(г,в, р) = ~ ~ — ) У„(в,эз) при ~ < а. а =о Пользуясь граничным условием при г = а и учитывая разложение для Д(0, оо), находим К (О зз) = Ул(0, Р). Аналогично находим решение внешней задачи (2): и(г,в,оо) = ~~~ ( — ) 1'„(В,р) при г > о. з=-о 2. Проводящая сфера в поле точечного заряда. Найдем электростатическое поле точечного заряда е в точке Р в присутствии идеально проводящей сферы радиуса а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
