УМФ Тихонов (965259), страница 104
Текст из файла (страница 104)
— 1п .р (5) 1Г с, В и. 4 будет показано, что определенные при помощи контурных интегралов (5) функции Н( ~(х) совпадают с функциями Ханкеля, ко- (19 торые были введены в з 2. Лля этого достаточно будет убедиться в том, что функции (5) имеют асимптотику Н(1г(х) ~)1 егв + Н(2((х) р — га + (6) Г2 я гг а,=х — — и —— 2 4 Пользуясь определением (5) функций Ханкеля Н( ' (х), можно по- (1,2( лучить для них рекуррентные формулы Н(„~1+Н( ~1 = — Н("1, Н( (1 — Н( ~1 = — 2Н("1 (х), В=1,2. Выведем первую формулу.
Замечая, что Ф,рг + Ф, 1 = 2 соз 1рФ„Ф, = = р"р, и интегрируя по частям, находим Н~,~г(х) + Н( ~ (х) = 2 Š— Гк мп Р-~-РРР СОЗ (Р Г(1Р гг 2гр — шип,ртюр Х1Г = — Н("1(*). х Из (5) и формулы р',(х) = (Н, + (г( + Н, )/2 можно получить представление в виде контурного ин- Рис. 96 теграла для функции Бесселя рр(х), полагая р(х) = — (',Н(П(х)+ Н(((х)) = -- 1'е--"р ™ 4., 1 з 4) ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 697 е "7о' Йр = Е оо е *х' Йх+е1' 1 " / е 'х' Йх+ (' е г~р' Йр. (11) оо р Покажем, что интеграл по С, стремится к нулю при е -+ О, если Нез > О.
В самом деле, ~е "~ на С, ограничен: ,~ — 1~ — гбо — 01п)т( — и аозт его — 1е — и огян — е е '"7оо Жр ( А2яе'ое """ян — о 0 при е — г 0 (зо > 0). Поэтому предельный переход в (11) приводит к (10). Формула (10) определяет справа от мнимой оси аналитическую функцию Г(з). В силу аналитического продолжения формула (10) справедлива на всей плоскости и Г(я) представляется в виде частного двух целых функций. При з = — и (и > 0) функция Г(з) имеет полюса. Справедлива формула е'' /' /' Г(з + 1) 2я1,/ (12) где 7 любой контур (на плоскости комплексного переменного ~р = 1оо + ирз) указанного на рис. 97 вида; этот контур идет из +ос, обходит вокруг точки оо = 0 и возвращается опять на +со.
Подынтегральная функция д(Эо) = е "~р' ~ = е. "е1' П'"г ком- н плексного переменного оо имеет точку ветвления ~р = О. Проведем разрез вдоль положительной части вещественной оси, полагая агкоо = = 0 на верхнем берегу разреза и агино = 2я на нижнем берегу разреза. В силу теоремы Коши контур 7 можно без изменения величины Рнс. 97 интеграла ) Д(1о) Й9о произвольно деформировать, сохраняя обход вокруг точки оо = 0 и удерживая концы контура на +ос. Выберем в качестве 7 контур, состоящий из луча (+со,е) на верхнем берегу разреза, окружности С.
с центром 9о = 0 и радиусом е и луча (е, +оо) вдоль нижнего берега. Тогда 7(9о) = е н+1' '1ь'и на верхнем берегу и ((~р) = е1' Пз"' " 1о Пь'" на нижнем берегу, где 1поо принимает вещоственные значения, так что 698 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. 1 Она следует из (9) и (10). В самом деле, 1 зшя(з+ 1) Иняз Г(з+ 1) я я — нс8 1лз г ив / е г~р " ~Ар= / е гр ' ~Ар.
— .;(,-"' ) / 4. Интегральное представление функции Бесселя. Покажем теперь, что функция х = — — е ызи тел и Н 1 г я (13) разлагается в ряд (15) из з 1. Для этого преобразуем контур Се (см. с. 696), полагая р = — ' е и и "~ (х > О). Из таблицы 2 ( юд — ~г) и — н~ преобразуем интеграл (13) к виду .ос= — — *) . * Я ..'" — "' (4 ='"').
(~е Разложим ехр (х~/4р) в степенной ряд и подставим в (14): з 09 5х1з ' г" .(х)=- — ~-( " ''-~.-"-~""Обр 2я ~-' Г(й+ 1) Пользуясь затем формулой (12) для 1/Г(к + и -~- 1), получим ь гх, т<- Г(к+ 1) Г(и+ к+ 1) (,2) видно, что Со преобразуется в контур у, показанный на рис. 98 и состоящий из луча (+со,х/2), окружности С* радиуса 0,5х и луча (0,5х, +со). Вычисляя з 4) ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 699 У (т) — с 'Яив'сэ""Рцр е Ямн '4ц6 (15) 1 Т з1п яи /' 2я,/ я о Если и = и целое число, то сйп яи = 0 и ,~„(х) = — е 1*а ~ те г,1р 1 г 2я,/ (16) Отсюда, в частности, следует, что для плоской волны е имеет место разложение в ряд Фурье с — гямяи ~~, ' 7 (я)е — гпе так как (16) есть формула для коэффициента Фурье этого разложения.
Полагая д = ф + я/2 и учитывая, что в силу периодичности подынтсгральной функции в (16) интегрирование можно производить по любому промежутку длиной 2я, получаем вторую интегральную формулу я 1" ,Т (и) — — е ы соз и о~ы НФ 2я,/ которая соответствует следующему разложению плоской волны: исае — ~ ~( 1)а 1 (я)е 'ат В частности, при и = О имеем 1 у ( ) — гхсоье 16 2я / (18) 5. Интегральное представление К„(и). Покажем, что для функции Макдональда К,(х), определяемой по формуле (см. 8' 3) Ки (и) т1е Н (1т) .пю з (19) Таким образом, функция (13) есть функция Бесселя,У,(х), введенная в 8 1, и. 1. Преобразуем интеграл (13), разбив его на три части: по оси рз (от — я до я) и по бесконечным ветвям.
Для вычислеч ния интеграла по ветвям (тя + 1со) введем новую переменную, полагая соответственно Рис. 98 9з = гс т я. В результате получаем для функции Бесселя и-го порядка следующее интегральное представление: 700 ПОПОЛНЕНИЕ Н. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. 1 справедливо интегральное представление е я с ~ ~ ~ ~ ~ 4 С вЂ” я га — г (20) 2,/ Отсюда видно, что К,(х) — вещественная монотонно убывающая положительная функция. При ц = 0 формула (20) дает (21) Пля доказательства (20) обратимся к (19) и представлению (5) для функции Н, .
Пусть Сци — контур (рис. 99), у которого верти- 01 С„Сзз Рис. 99 кальные части пути Сз вместо — я и 0 имеют абсциссы — я — ф и ф (ф < 0); в частности, Сз е = См В силу теоремы Коши замена Сз в (5) контуром Сз „. не влияет на значение интеграла, если при больших ~~р~~ выполнено условие сходимости интеграла Не( — 1х в!и р) < О, где х = х~ +1хз, у = ~рз + Бааз. В силу (19) нас интересует функция Ханкеля Н~ (1т) чисто мнимого аргумента. Условие сходимости при 01,. хз = О, х = 1хз, у = ф имеет вид хз зш рз с1зьзз < 0 или хз з1пзс < О.
Мы выберем контур Сь ~з при ф = — я/2. Заменим хз на х и введем з 4) ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 701 новую переменную интегрирования (, положив 9г = — я/2+ гч; тогда а19г = а а1с, зш ~р = соя Ц = сЬ с и интеграл (5) по Сг „,. примет вид Н(Ц(гх) — аиа72 / —:алга — 'а лат 1 Отсюда и из (19) следует (20). 6. Асимптотические формулы для цилиндрических функций. Пользуясь методом перевалац, покажем, что для функций Н, ' (х), определяемь|х при помощи контурных интегралов (5), спра- О,г1 ведливы при больших значениях вещественного аргумента х > 0 следующио асимптотичсскис формулы; НОО( ) а (г — ааг/г — аа/41 + О ях ~.'-) х > О. (22) Н121( ) — а (я — гауз — г/41 ях хааа Отсюда в силу 9 1, и. 4 будет следовать, что функции (5) тождественно совпадают с функциями Ханкеля.
введенными в 9 3 при помощи формул (12), (13). Из формул Н„, = 7и + акЛю Н„= 7к — аНи и (22) следуют асимптотические формулы для функций Бесселя 7,(х) и функций Неймана г"а', (х): ,7„(х) = ~/ — соз ~х — — и — — ) -~- О ~ а (, (23) ~/ ях 1 2 4) 1,хаЬ,а) ' Л',(х) = ~ — з1п р — — и — — ) + О ~ ., ( . (24) 2 4) ~ хз6,~ Напомним, что в п. 4 мы доказали тождественность функций ,7„(х), введенных при помощи контурных интегралов, с функциями .7,(х) а введенными в 9 1 пРи помощи РЯдов. При выводе асимптотических формул (22) мы будем пользоваться контурными интегралами (5).
Рассуждения достаточно провести для 01 Нй (х). Подынтегральная функция с — гкамаа-~-и т я > О в формуле (5) не имеет особенностей в конечной части плоскости комплексного переменного ~р. Н Лаврентьев М. А., Шабат В. В. Методы теории функций комплексного переменного.М., 1973. 702 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ )Ч. 1 Поэтому в силу теоремы Коши контур интегрирования в конечной плоскости можно произвольно деформировать при условии, что асимптоты ветвей контура, уходящих в бесконечность, лежат в тех же заштрихованных полосах плоскости у, что »2 и для контура Сы Если выбранный контур С2 целиком лежит в заштрихованной области (рис.
100), то во всех точках, где зш ф О, подынтегральная функция экспоненциально стремится к нулю при л — В со, так как — см о 1ш эш 22 < О. Если отдельные части контура 3 " Во и т, проходят по незаштрихованной области, то '2, 2 ' — ' '2 на этих частях в подынтегральном выражении происходят сложные интерференционныс явления. Для выяснения асимптотического повес, О), дения функции Н (л) при больших значениях аргумента л целесообразно контур С2 Рис. 100 выбрать так, чтобы он целиком лежал в за- штрихованной области. Такой контур, очевидно, пройдет через точку -л/2, в которой действительная часть Не( — 2 21пу) = соя ~р2 з12222 обращается в нуль. При л -э сс подынтегральная функция в окрестности этой точки не стремится равномерно к нулю, поэтому главной частью интеграла по С2 при л — 2 со является интеграл по малой дуге, содержащей точку 22 = — х/2.
Поэтому С2 следует выбрать так, чтобы на нем множитель е '«"" н убывал наиболее быстро при удалении от точки 2 = — я/2. Рассмотрим «топографию» функции е '2""и в окрестности у2 = — я/2. Положим у2 = — я/2+ Ве'В. Для малых значений В найдем — зэш22 = 2 соя(зе ) = 2 ~1 — — е +... ~В В 2аВ 2 2 ,2 = — зш20+ 2 ~ 1 — — соз20 + ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
