УМФ Тихонов (965259), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Введя полярные координаты, преобразуем урав- нение (2) к виду 1д/ ди11ди — — г — + — +й и=О. г дг ~, дг/ гг д~гг (3) Полагая и = Л(г) Ф(уг) и разделяя в (3) переменные, получаем — — — + йг — — В=О Ф" + ЛФ = О. Условие периодичности для Ф1д) дает Л = пг, где и целое число. Полагая затем т = кг, приходим к уравнению цилиндрических функ- ций — — ) т — ) -~ 1 1 — — 1 у = О, Л(г) = у(кг), дт( 1 тг) или 1, / пг1 у +-у + 1 — — у=о. ,г / 668 ПОПОЛНЕНИЕ П.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ~Ч. 1 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В случае решений волнового уравнения (2), обладающих радиальной (цилиндрической) симметрией, мы получим уравнение Бесселя нулевого порядка 1 — — [х — ) +у=О, или у" + — у'+у=О. ,» [,'»*) х 1. Степенные ряды. Уравнение Бесселя сс-го порядка г 1 а у ~- — у+~» — — ~у=о, *'( или х~у~~ + ху + [хг — сс~)у = О (и произвольное действительное или комплексное число, действительную часть которого мы можем считать неотрицательной) имеет особую точку при х = О. Поэтому решение у(х) следует искать в виде степенного рядаП (4) у[х) = х [ао+ агх+ агх +...
+ аьх +...), начинающегося с х, где а характеристический показатель, подлежащий определению. Подставляя ряд (4) в уравнение (1') и приравнивая нулю коэффициенты при х, х ег, ..., х +~, получаем уравнение для определения а и систему уравнений для определения коэффициентов аь. ао(а~ — мг) = О, аз[(а + 1) — цг[ = О, аг[(а + 2) — ссг) + ао = О; (5) аь[(а + к) — сс~) + ад †= О (1с = 2, 3, ...). Так как мы можем предположить, что ао ф О, то из первого уравнения (5) следует, что ссг — сс~ = О, (б) или а=хм Перепишем к-е уравнение (5) [1с ) 1) в виде [а + Й + и) (а + й — и) ая + аг г = О.
П Смз Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1959; Эльс голь ц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариацнонное исчисление. М., 1969. 670 ПОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. 1 Оставим пока в стороне тот случай, когда а+ и или а — и (и соответственно — 2и или 2и) равно отрицательному целому числу. Тогда из второго уравнения (5), в силу (6), будем иметь (8) аг = О. Уравнение (7) дает рекуррентную формулу для определения ая через аь-г.' аь — г (9) (о + й + и)(о + Й вЂ” и) Отсюда и из (8) заключаем, что все нечетные коэффициенты равны нулю.
Если и вещественно, то при о = — и решение обращается в бесконечность в точке и = О. Остановимся на случае о = ю Из (9) следует, что каждый четный коэффициент может быть выражен через предыдущий: 1 огм — огш — г 2 т(т+ и) (10) Последовательное применение этой формулы позволяет найти выражение аг через ао. аг, = ( — Ц~ . (1Ц 2г'пт1(и+ Ц(и+2) (и+т) Воспользуемся свойством гамма-функции Г(в) Ч Г(в+ Ц = вГ(в) =...
= в(в — Ц... (в — п)Г(з — и). Если в целое число, то Г(в+ Ц = вй 1 2яГ(р+ Ц (12) и используя отмеченное выше свойство гамма-функций, получаем ага = -Ц )ь 1 2гь+"Г(к + ЦГ(к -1- и+ Ц Если же н = -и, и ф и, где п > 0 целое число,то,полагая 1 2 — и1'( м+ Ц ' (12') П Булак Б. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М., 1967. Коэффициент ае до сих пор оставался произвольным. Если и ~ — и, где п > О целое число,.то,полагая 671 ЦИЛИНЛРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ будем иметь а = — 1 ь 1 2гь — Г(й+ 1)Г(й — + Ц (14) Ряд (3), соответствующий а = и > О, с коэффициентами (12) и (13) 1 7 и З гз-~-г Г(й+ ЦГ(й+ и+ Ц ( 2) (15) называется функцией Бесселя 1-го рода и-го порядка. Ряд ць гь — г .7,(*) = 5 ~- Г(й+ ЦГ(й — и+ Ц 12) (16) Рассмотрим теперь тот случай, когда и равно половине целого числа. Пусть и = (п + 1/2) , где и > Π— целое число.
Полагая в формулах г г (5) а = а+ 1/2, получаем 2(п -'г Цаг = О, й(й+2п+ Цаь+аь г = О (й > Ц, так что аз=О, аь й(й -~- 2п, З- Ц Послеловательно применяя эту формулу, находим ( — Ц ае 2 4... (2й)(2п + 3) (2п З- 5)... (2п + 2й "; Ц Полагая здесь и = п + 1/2, получаем формулу (1Ц. Положив палое 1 2п+ 1гГ(п Ь 3)2) получим формулу (13). Пусть 1 а= — и — —, 2' тогда уравнения (5) для аь принимают вид аг.Ц вЂ” 2п) =О, й(й — 1 — 2п)аь + аь г = О. соответствующий и = — и, прецставляет второе решение уравнения (1), линейно независимое от Х,(т).
Ряды (15) и (16), очевидно, сходятся на всей плоскости т. 673 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ уи(х) = Сз ув(х) + С2У вЂ” и(х). Если ищется ограниченное решение уравнения (1), то С2 = О и у,(х) = Сзо'„(х) при В.ем ) О. 2. Рекуррентные формулы. Установим следующие соотношения, существующие между функциями Бесселя 1-го рода различных порядков: г1 ( У,(х)) у,тг(х) дх 1, х / х' (17) — (х'у.(хи = х 1.-2(х). (18) Эти формулы проверяются непосредственным дифференцированием рядов для бесселевых функций. Покажем, например, справедливость соотношения (17); хйзь — 1 ь 2атр — О Г(к) Г(й+ р+ 1) (2) В последней сумме й меняется от 1 до со.
Введем новый индекс сум- мирования 1 = и — 1, который будет меняться от О до со. Тогда будем иметь 1 у,(х) 1 ( — 1)' х ~ 21-~-(и-~-г) Г(1+ 1)Г[1 + (р + 1) -~- Ц г 2 ! что и доказывает формулу (17). Справедливость формулы (18) доказывается аналогично. Отметим два важных частных случая рекуррентных формул. При и = О из (17) следует 7о(х) = -гг(х). (19) 43 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский в точке х = О. Таким образом, если н нецелое число, то всякое решение у,(х) уравнения Бесселя (1) может быть представлено в виде линейной комбинации функций 7„(х) и У в(х): х (х.Уз(х)1' = хЛо(х), или х,У1(х) = ~ ~,Уо® сК. (20) о Установим рекуррентные формулы, связывающие У,(х), У т1(х) и ,У, 1(х).
Производя дифференцирование в (17) и (18), получаем и,У,(х) —,У,'(х) =,У,~.,(х), (17') и,У, (х) + о',(х) = У 1(х). (18') Складывая и вычитая (17') и (18'), находим рекуррентные форму- лы 2и У..ьз(х) + Х. о(х) = — о.(х), У,„1(х) — У„з(х) = — 2У,'(х). (21) С помощью формулы (21) можно вычислять У,тз(х), если известны ,У,(х) и У, з(х): ,У„.е1(х) = -У, 1(х) + 2и,У,(х) (21') 3. Функции полуцелого порядка.
Найдем выражения для функций Л, (х) и,У 1, (х): ( 1)»" х 18-~ зт ~~-' гл. 'Г(ЗУ'2+ т,) (2) (22) ( 1)ш . !Аз з~ ,У ~ (х)=7 х- гл!Г(1/2+т) (2) (23) Пользуясь свойством гамма-функции, находим 3 1 3 5...(2гл+1) 1 (24) 1 1 3...(2т — 1) 1 где 674 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. 1 Для случая и = 1 формула (18) дает 675 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Подставляя (24) в формулы (22) и (23), получаем 'А У кх ~ (2гл+ 1)~ т — О (25) т.=е (26) Нетрудно видеть, что сумма в (25) представляет собой разложение зш х, а сумма в (26) разложение соя х по степеням х.
Таким образом, ,7Г~ (х) и 7 ~7 (х) выражаются через элементарные функции: /2 ,7Г~ (х) = г/ — зшх, (27) /2 ,г Гг (х) = г/ — созх. (28) Рассмотрим функции У„„г~г(х), где п целое число. Из (21') сле- дует 1 /2 / ЗГПХ Г Огу (х) — — ГГГ (х) —,7 Г (х) = — — сов х+ т г 2 (, .г 1 гг гГХ 2 х 2 Л,,(х) = г/ — 1 — зш х + — ~згп ( х — — ) + — соз ( х — — ! х ~ ( 2) х ( 2г' т 3) — ~ зш(х — я) ( 1 — — ( + соз(х — гг) *( Применяя последовательно формулу (21'), найдем (29) где Р„(1/х) — — многочлен степени п относительно 1/х, а Я„(1/х)— многочлен степени и — 1.
Отметим, что Р„(0) = 1, а ГЗ„(0) = О. 4. Асимптотический порядок цилиндрических функций. Решения уравнения Бесселя обычно называют цилиндрическими функциями. В и. 1 была определена одна из цилиндрических функций — функция Бесселя. 676 ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. 1 и(х) У= у — ~ Зг о вычисляя производные у' = — 0,.5х "и + х Узи', з~ — х йо' + 0,75х 'и и подставляя их в уравнение ем уравнение (31) рв — ~уз о Бесселя, получа- и + 1 — и=О, (32) являющееся частным случаем уравнения ио + (1+ р(х)) и = О, (33) где р(х) = О (34) Положим и = уяп(х+ б), и' = усов(х+б), (35) где у(х) и д(т) некоторые функции х, причем у(х) не равна нулю ни в одной точке, иначе и и и' одновременно обращались бы в нуль и и(х) было бы тождественно равно нулю. Пользуясь (35) и (33), будем иметь и' = у сов(х + б) = у' яп(х + д) + у(б' + 1) сов(х + б) ., ио = у'сов(х+ д) — у(д'+ 1) яп(т+ б) = — (1+ р) узш(х+ д). Отсюда находим д' = ряпз(х+ д) = О (36) у' б' / 1 1 — — = — ряп(х+б)соз(х+б) = О ( — (.
(37) у 16(х+ б) ~") Основным свойством цилиндрических функций является их поведение при х -+ 0 и х — ~ оо (асимптотическое поведение). Ниже будет показано, что любая цилиндрическая функция однозначно определяется своей асимптотикой при х — > оо, точнее, главным членом асимтоотического разложения. Покажем, что любая вещественная цилиндрическая функция при больших х представима в виде р,(х) = у + О ( з 1, зш(т+д, ) / 1 (30) зух где у ф О., б, -- некоторые постоянные, .О(1ух У') означает члены порядка не ниже 11'х'У'. Полагая 677 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Покажем, что существуют предельные значения 7 и б при х — у оо. В самом деле, а б(х) = б(а) — / б'(з) сЬ, откуда в силу (36) следует, что существует предел 1пп б(а) = б и б(х) = б + О ( -) . /1з (38) Аналогично находим из (37) у(*) = у 1+ О (39) причем у ф О.
Таким образом, всякое решение уравнения (33) и, следовательно, уравнения (32) при х — ~ оо имеет вид У'11 е(х) = у з1п(х + б, ) + О ( — 1 . Ы (40) Тем самым установлена справедливость асимптотической формулы (30) для любой цилиндрической функции д,(х). Покажем, что не может существовать двух различных цилиндрических функций с одинаковой асимптотикой. В самом деле, пусть д (х) и дя(х) --. две различные цилиндрические функции, для которых 7~ — 70О ~ (41) Разность этих функций д,(х) = у,(х) — д„(х) ф 0 у~(х) — О з Однако это противоречит формуле (30) для любой цилиндрической функдии д,(х).
Следовательно, д„(х) = 0 и д (х) = д,(х). Решением уравнения Бесселя может быть и комплексная функция Я,(х) = г',(х) + зл (х), где 2,(х) и л (х) .--. вещественные цилиндрические функции. Из вышесказанного следует, что комплексная цилиндрическая функция также однозначно определяется своей асимптотикой при х -у со. также является цилиндрической функцией, имеющей в силу (41) сле- дующую асимптотику: 678 ПОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. 1 Значения постоянных 7 и б определяются с помощью дополнительных исследований, которые дают Г2 7= = )/ — для всех и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
